4.7解三角形的綜合應用答案

4.7解三角形的綜合應用課標要求精細考點素養(yǎng)達成能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題測量高度、距離、角度問題通過利用正、余弦定理解決測量和計算問題,培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)三角形中的三角函數(shù)通過平面向量在解三角形中的應用,培養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)正、余弦定理在幾何中的應用通過三角形的綜合應用,培養(yǎng)數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列選項中,說法正確的有().A.俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍是0,B.方位角與方向角的實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系C.方位角大小的取值范圍是[0,2π),方向角大小的取值范圍一般是0,D.在△ABC中,AB=a,AC=b,若a·b=0,則△ABC是直角三角形答案BCD解析對于A,俯角是在豎直平面內(nèi)的水平線與向下遞降線段之間的角度,朝下看時,視線與水平面的夾角為俯角,故A錯誤;對于B,方位角與方向角的實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關系,故B正確;對于C,方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角,故其大小的取值范圍是[0,2π),由定義可知方向角大小的取值范圍為0,π對于D,a·b=0,則a⊥b,所以AB⊥AC,所以△ABC為直角三角形,故D正確.2.(對接教材)如圖所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A,B兩點的距離為().A.502m B.503mC.252m D.252答案A解析在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=AC又∠CBA=180°45°105°=30°,所以AB=ACsin∠ACBsin∠CBA=50×223.(對接教材)小李從地面點D看樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進72m到達點E,此時看點C的仰角為45°,若BC=AC,則樓高AB約為().A.58m B.68m C.78m D.88m答案A解析設AC=x,則由題意可得AB=2x,BC=BE=x,BD=ABtan∠ADB=23x,所以DE=BDBE=23xx=72,解得x=7223-1=4.(易錯自糾)(多選)如圖,△ABC的三個內(nèi)角A,B,C對應的三條邊分別是a,b,c,∠ABC為鈍角,BD⊥BA,cos2∠ABC=725,c=2,b=8A.sinA=55 B.BD=2C.5CD=3DA D.△CBD的面積為答案AC解析由cos2∠ABC=725,得2cos2∠ABC1=725,又∠ABC為鈍角,解得cos∠ABC=由余弦定理得645=a2+44a×-35,解得a=2,可知△ABC為等腰三角形,即A=C,所以cos∠ABC=cos2A=(12sin2A)=3可得cosA=1?sin2A=255,在Rt△ABD中,cAD=cosA,得AD=CD=bAD=8555=355,可得|CD||DA|S△BCD=12×2×355×55.(真題演練)(2023·全國甲卷理)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的平分線交BC于點D,則AD=.

答案2解析如圖所示,記AB=c,AC=b,BC=a.(法一)由余弦定理可得22+b22×2×b×cos60°=6,因為b>0,所以解得b=1+3,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得12×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+解得AD=3b1+b(法二)由余弦定理可得22+b22×2×b×cos60°=6,因為b>0,所以解得b=1+3,在△ABC中,由正弦定理可得6sin60°=bsinB=2sinC,解得sinB=6因為1+3>6>2,所以C=45°,B=180°60°45°=75°,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.測量高度、距離和角度的問題典例1(1)如圖,航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機飛行的海拔高度為10000m,速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(參考數(shù)據(jù):2≈1.4,3≈1.7)().A.7350m B.2650mC.3650m D.4650m(2)(2024·山東青島期初調(diào)研)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)”,若要測量某藍洞口邊緣A,B兩點間的距離(如圖),現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點的距離為海里.

答案(1)B(2)85解析(1)如圖,設飛機的初始位置為點A,經(jīng)過420s后的位置為點B,山頂為點C,作CD⊥AB于點D,則∠BAC=15°,∠CBD=45°,所以∠ACB=30°,在△ABC中,AB=50×420=21000(m),由正弦定理得ABsin∠ACB=BC則BC=2100012×sin15°=10500(6因為CD⊥AB,所以CD=BCsin45°=10500(62)×22=10500(3所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為100007350=2650(m).(2)如圖,在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°150°15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64?2×8×8×cos150°=8×2+3在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°15°135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BCsin15°,BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°30°)=16×22×3在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB2=AC2+BC22×AC×BC×cos120°=128+643+16(843)2×8×2+3×4(62)×-12=256+64×2+3×1.求距離、高度問題(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,要先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.有時需設出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的量.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.2.求角度問題(1)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關鍵、最重要的一步,畫圖時,要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義,并能準確找到這些角.(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后,注意正、余弦定理的綜合應用.訓練1一艘船航行到點A處時,測得燈塔C與其相距30海里,如圖所示.隨后該船以20海里/小時的速度,沿直線向東南方向航行1小時后到達點B,測得燈塔C在其北偏東25°方向,則sin∠ACB=().A.23sin70° B.23sin75°C.32cos70°答案A解析由題意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,AC=30海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入數(shù)據(jù)得sin∠ACB=三角形中的三角函數(shù)典例2已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,滿足sinB+sinCsinA=2?cosB-cosCcosA,函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間(1)證明:b+c=2a.(2)若fπ9解析(1)因為sinB+sinCsinA=2?cosB所以sinBcosA+sinCcosA=2sinAcosBsinAcosCsinA,所以sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,所以sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA,即sinC+sinB=2sinA,所以b+c=2a.(2)由題意知f(x)=sinωx在x=π3處取到最大值,且最小正周期T≥4π3,所以sinωπ3=1,2πω≥4π3,得ω=32.因為fπ9=sinπ6=12=cosA,A∈(0,π),所以A=π3,由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=1關于三角函數(shù)、三角變換與解三角形的綜合題的解題思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某個量作為下面問題的已知量,然后利用三角變換,將所求的量化成f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值或者范圍.解三角形問題的總體思路就是轉(zhuǎn)化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多種表達形式及公式的靈活應用.訓練2(2023·福建廈門一中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期為π,(1)求ω,φ;(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,fA2=3解析(1)依題意,T=2πω由題意得2×π3解得φ=kπ2π3(k∈Z),而0<φ<π所以取k=1,則φ=π3(2)由(1)知,f(x)=sin2x+π3,因為fA2=32,所以sin因為A∈(0,π),所以A+π3∈π3,4π3,則A+π由余弦定理得4=b2+c2bc,因為b2+c2≥2bc,所以4=b2+c2bc≥2bcbc,所以bc≤4(當且僅當b=c=2時,bc有最大值4).因為S△ABC=12bcsinA=34bc,所以△ABC面積的最大值為正弦定理、余弦定理在幾何中的應用典例3如圖,平面四邊形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ADC=2π3,△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足a+bc=(1)求四邊形ABCD的外接圓半徑R;(2)求△ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.解析(1)在△ACD中,AC2=AD2+DC22AD·DC·cos2π3由正弦定理,得a+bc=sinA-sinCsinA-sinB=a-再由余弦定理,得cosB=12,又0<B<π,所以B=π因為∠ADC=2π3則四邊形ABCD的外接圓半徑就等于△ABC外接圓的半徑.又2R=bsinB=732=14(2)由(1)可知a2+c2ac=49,則(a+c)2=49+3ac,S△ABC=12acsinB=1則r=32·ac7+a+c=123·(在△ABC中,由正弦定理,得asinA=csinC=bsinB所以a=1433sinA,c=則a+c=143=14=14=14=14sinA·32又A∈0,2π3,所以A+π6∈π6,5π6,所以sinA+1.幾何中的長度、角度的計算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角度的計算,這樣就可以利用正弦定理、余弦定理解決問題,解決此類問題的關鍵是構(gòu)造三角形,把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中.2.在三角形的面積公式中,S=12absinC=12bcsinA=3.解題過程中,要用到平面幾何中的一些知識點,如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的性質(zhì)等,要注意把這些性質(zhì)與正弦定理、余弦定理相互結(jié)合.訓練3(2023·江蘇通州中學質(zhì)檢)某園區(qū)有一塊三角形空地(如圖△ABC),其中AB=20m,AC=40m,∠B=π2,現(xiàn)計劃在該空地上選三塊區(qū)域種上三種不同顏色的花卉,為了劃分三種花卉所在的區(qū)域且澆灌方便,需要在空地內(nèi)建一個正三角形形狀的水池,要求正三角形的三個頂點分別落在空地的三條邊界上(如圖△DEF),則水池面積的最小值為m2答案300解析設DE=EF=DF=x,∠BDE=θ,因為AB=20m,AC=40m,∠B=π2所以∠A=π3,∠C=π因為θ+∠FDE+∠ADF=θ+π3∠AFD+∠ADF+∠A=∠AFD+∠ADF+π3所以∠AFD=θ.在△ADF中,由正弦定理得ADsinθ=DFsinπ3,即所以AD=233xsinθ,因為AB=20m,所以233xsinθ+xcosθ=20,所以x=20233sinθ+cosθ=2032sinθ+3cosθ,所以x=2032sinθ+3cosθ=2037sin(θ+φ),其中tanφ=32,θ∈0,與三角形的中線及角平分線和高的相關問題1.涉及中線問題如圖1,在△ABC中,設D為邊BC上的中點,與中線長AD有關的計算問題,常見的處理方法如下:(1)補成平行四邊形:如圖2,AE=2AD,可在△ABE中求解AE,從而得出AD.(2)利用向量:由AD=12(AB+AC),兩邊平方后得|AD|2=14(AB2+AC2+2圖1圖2典例1在銳角三角形ABC中,BC=4,sinB+sinC=2sinA,則中線AD的取值范圍是.

答案[23,13)解析設AB=c,AC=b,BC=a=4,對sinB+sinC=2sinA運用正弦定理,得到b+c=2a=8,所以c=8b.因為該三角形為銳角三角形,所以根據(jù)余弦定理,可得cosA=b2+由bc=b(8b)=b2+8b=(b4)2+16,得到15<bc≤16.因為AD=12(AB+AC所以|AD|=1=1=122b因為15<bc≤16,所以|AD|=12112?4bc∈[23,13),|AD|的取值范圍為[23,把中線AD表示為含三角形邊的函數(shù)再求解,注意條件中三角形為銳角三角形對邊的范圍的限制.訓練1在△ABC中,a=1,b=3,AB邊上的中線長為1,則△ABC的外接圓的半徑為.

答案1解析如圖,在△ABC中,設D為AB邊的中點,則CD=CB+BD,CD=CA+AD,BD+AD=0,所以2CD=CA+CB,故4CD2=(CA+CB)2,而|CD|=1,|所以4=3+1+2CA·CB=4+23cos∠ACB,則cos∠ACB=0,由于∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=π2所以c=3+1=2.設△ABC的外接圓的半徑為R,則csinC=2R,所以R=12×2.涉及角平分線問題如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c.(1)內(nèi)角平分線定理:ABAC=BD(2)等面積法:S△ABD+S△ACD=S△ABC.(3)角平分線長公式:AD=2bccosA典例2如圖,在△ABC中,AB=2AC,∠BAC的平分線交BC邊于點D.(1)證明:BC=3DC.(2)若AD=AC,且△ABC的面積為67,求BC的長.解析(1)設∠BAD=α,∠BDA=β,則∠CAD=α,∠CDA=πβ.在△ABD和△ACD中分別運用正弦定理,得ABBD=sinβsinα,ACDC所以ABBD=ACDC,即ABAC又因為AB=2AC,所以BD=2DC,即BC=3DC.(2)設AB=2AC=2t,所以AD=AC=t,設∠CAD=θ.由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得12·t·2t·sin2θ=12t·t·sinθ+所以2sinθ·cosθ=12因為sinθ≠0,所以cosθ=34所以cos2θ=2cos2θ1=18又0<2θ<π,所以sin2θ=1?cos22θ又S△ABC=67=12·t·2t·sin2θ=378t2所以BC2=t2+4t22·t·2t·cos2θ=92t2=9所以BC=62.三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應的兩邊之比,是常用的轉(zhuǎn)化方法.訓練2已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=3,ab=4,點D滿足2AD=DB.若CD為∠ACB的平分線,則△ABC的周長為.

答案3+32解析在△ADC中,ADsin∠ACD=AC在△BCD中,BDsin∠BCD=BC因為CD為∠ACB的平分線,所以ADBD=ACBC=又因為2AD=DB,所以ba=1又因為ab=4,所以a=22,b=2,所以△ABC的周長為3+32.3.涉及高線的問題h1,h2,h3分別為△ABC邊a,b,c上的高,則h1∶h2∶h3=1a∶1b∶1c=1sinA∶典例3△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知1+tanAtanB=2c(1)求角A的大小;(2)若BC邊上的中線AM=22,高線AH=3,求△ABC的面積.解析(1)因為1+tanAtanB=1+sinAcosBcosAsinB=cosAsinB+sinAcosBcosAsinB=sin(A+B所以由正弦定理得sin(A+B)cosAsinB=因為A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC,又B,C∈(0,π),所以sinB≠0,sinC≠0,所以cosA=12,又A∈(0,π),所以A=π(2)如圖所示,因為M是BC的中點,所以AM=12(AB+AC所以|AM|2=14(AB+AC)2=14|AB|2+12|AB|·|AC|cosA+14|AC|2=14(|AB|2+|AB|·|AC所以c2+bc+b2=32.①因為S△ABC=12BC·AH=12AB·ACsinA,所以32根據(jù)余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc,③由①②③得bc22所以S△ABC=12bcsinA=12×8×32求高一般采用等面積法,即求某邊上的高,需要求出面積和底邊長度.高線的兩個作用:(1)產(chǎn)生直角三角形;(2)與三角形的面積相關.訓練3在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AH為△ABC的高線,則AB·AH=.

答案3解析在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·ACcos120°=7,即BC=7,所以S△ABC=12AB·ACsin120°=1所以AH=AB·ACsin120°BC由向量數(shù)量積的幾何意義得AB·AH=|AH|2=21一、單選題1.(2023·江蘇新海中學月考)一艘客船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°方向,之后它以每小時32海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時測得船與燈塔S相距82海里,則燈塔S在B處的().A.北偏東75°B.北偏東75°或南偏東15°C.南偏東15°D.南偏東75°答案B解析如圖所示,由題意可知AB=32×3060=16(海里),BS=82在△ABS中,由ABsinS=BSsinA,得sinS=ABsinABS=16sin30°所以S=45°或135°,故B=105°或15°,即燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°.2.(2023·江蘇揚州中學調(diào)研)小明同學學以致用,欲測量學校教學樓的高度,他采用了如圖所示的方式來測量,小明同學在運動場上選取相距25米的C,D兩觀測點,且C,D與教學樓底部B在同一水平面上,在C,D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為45°,30°,并測得∠BCD=120°,則教學樓AB的高度是().A.20米 B.25米 C.153米 D.202米答案B解析設AB=x,在Rt△ABC與Rt△ABD中,BC=AB=x,BD=ABtan30°=3在△BCD中,BD2=BC2+CD22BC·CDcos120°,即3x2=x2+2522×25×x×-12,解得x1=25,x2=3.(2023·江蘇如皋中學期中改編)如圖,四邊形ABCD四點共圓,其中BD為直徑,AB=4,BC=3,∠ABC=60°,則BD的長為().A.36 B.23 C.2393答案C解析在△ABC中,因為AB=4,BC=3,∠ABC=60°,所以由余弦定理,得AC=42+3由正弦定理,得BD=ACsin∠ABC=13sin60°=4.(2023·福建福州一中調(diào)研)如圖,這是某商業(yè)小區(qū)的平面設計圖,初步設計該小區(qū)邊界輪廓是半徑為200米,圓心角為120°的扇形AOB,O為南門位置,C為東門位置,小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD,若OD=2006A.50π米 B.53π米 C.55π米 D.100π米答案A解析如圖,連接OC,因為CD∥OA,所以∠DCO=∠COA,∠CDO=180°∠DOA=180°120°=60°.在△OCD中,由正弦定理可得ODsin∠DCO=OC即20063sin∠DCO則sin∠DCO=20063×因為∠DCO=∠COA,且0°<∠COA<120°,所以∠DCO=∠COA=45°,所以AC=π4二、多選題5.(2023·江蘇中華中學月考)如圖,在海岸上有兩個觀測點C,D,C在D的正西方向,距離為2km,在某天10:00觀察到某航船在A處,此時測得∠ADC=30°,5分鐘后該船行駛至B處,此時測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則下列結(jié)論正確的是().A.當天10:00時,該船位于觀測點C的北偏西15°方向B.當天10:00時,該船與觀測點C相距2kmC.當船行駛至B處時,該船與觀測點C相距2kmD.該船在由A處行駛至B處的這5min內(nèi)行駛了6km答案ABD解析A選項中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因為C在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正確.B選項中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,則∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=CDsin∠ADCsin∠CAD=2C選項中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,則BD=CD=2km,于是BC=22km,故C不正確.D選項中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB=2+82×2×22×12=6,即AB=66.如圖,△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,3(acosC+ccosA)=2bsinB,且∠CAB=π3A.∠ABC=π3B.∠ACB=π3C.四邊形ABCD面積的最大值為532+3答案ABC解析因為3(acosC+ccosA)=2bsinB,所以由正弦定理得3(sinAcosC+sinCcosA)=2sin2B,所以3sin(A+C)=2sin2B,整理得3sinB=2sin2B,sinB=32因為∠CAB=π3,所以B∈0,2π3所以C=πAB=π3S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=34AC2+1=34(AD2+DC22AD·DC·cos∠ADC)+1=34×(9+16cos∠ADC)+3=532+3sin∠ADC-因此C正確,D錯誤.三、填空題7.周末,某班級部分同學去濕地公園拍鳥的照片,甲、乙兩人分別站立在相距120m的A,B兩地,B在A的北偏東15°方向,若有一只水鳥在A地的正東方向,在B地的東南方向,則水鳥的位置距離B地km.

答案603+60解析作圖如下,由題意得A=75°,B=60°,C=45°,AB=120,故BCsinA=ABsinC,則BC=120sin45°得BC=603+60.8.(2023·江蘇鹽城中學調(diào)研)在△ABC中,已知AB=3,AC=5,∠BAC=2π3,點D在邊BC上,且滿足AD=BD,則BC=,sin∠DAC=答案74解析在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2解得BC=7,所以cosB=AB2+BC2又AD=BD,可得∠BAD=∠B,故cos∠BAD=cosB=1114,sin∠BAD=5所以sin∠DAC=sin(∠BAC∠BAD)=sin∠BACcos∠BADcos∠BACsin∠BAD=32×1114-12×四、解答題9.(2024·江蘇淮安高三調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為邊BC上一點,AD=2.(1)若△ABC的面積S=2,∠ADB=π4(2)若D為∠BAC的平分線與邊BC的交點,c=2,C=π4解析(1)△ABC的高h=ADsin∠ADB=2sinπ4=2所以S=12BC·h=12·a·2=2,則a=2(2)因為AD是∠BAC的平分線,所以∠BAD=∠DAC,設∠BAD=∠DAC=θ,則∠ADB=∠DAC+∠C=θ+π4在△ABD中,因為AB=AD=2,所以∠B=∠ADB=θ+π4由內(nèi)角和定理,∠B+∠ADB+∠BAD=2θ+π4+θ=3θ+π2在△ABC中,由正弦定理得asin∠BAC=csinC,則a=csin∠BACsinC=2sin10.(2023·山東青島二模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2ac=2bcosC.(1)求角B的大小.(2)若點D為邊BC的中點,點E,F分別在邊AB,AC上,∠EDF=π3解析(1)因為2ac=2bcosC,所以2ac=2b·a2+b2-c22ab=所以cosB=a2+c2-因為B∈(0,π),所以B=π3(2)如圖,由B=π3又因為∠EDF=π3,∠BDE=α,所以π6≤α≤在△BDE中,∠BED=2π3由正弦定理可得DEsinB=BDsin∠BED,即DE=在△CDF中,∠CFD=α,由正弦定理可得DFsinC=CDsin∠CFD,即DF=所以S=38×1sin2π3-αsinα×sinπ3因為sin2π3-αsinα==32sinαcosα+12sin2α=34