重難點10 空間幾何體的表面積、體積與球的內(nèi)切外接十一大題型-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)【重點·難點】（解析版）

重難點10空間幾何體的表面積、體積與球的內(nèi)切外接十一大題型匯總

滿分技巧］

LI--------------------------I

技巧一.幾何體的表面積體積

L公式法：

使用情景：幾何體是規(guī)則的幾何體

第一步：先求出幾何體表面積和體積公式中的基本量；

第二步：再代入幾何體的表面積和體積公式即可得出結(jié)論.

2.割補(bǔ)法

使用情景：幾何體是不規(guī)則的幾何體或者直接求比較困難

第一步：先分割或補(bǔ)形；

第二步：再求分割的各部分的面積和體積或求補(bǔ)形后的幾何體的體積；

第三步：最后求出所求的幾何體的體積.

3.等體積法

使用情景：一般三棱錐

第一步：先變換三棱錐的頂點；

第二步：運用等體積法求出幾何體的體積.

技巧二.多面體與球接、切問題

(1)截面法：過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w

中元素間的關(guān)系.

(2)補(bǔ)形法："補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則利用4必=于+加+d求解.

技巧三.球的切、接問題的常用結(jié)論

(1)長、寬、高分別為a,b,c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即后工萬心后=2/?.

(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個面的棱錐)的高為h,底面外接圓半徑為x,則該幾何體外接球半

徑月滿足展=(9+后

(3)外接球的球心、在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心.

(4)球(半徑為/?)與正方體(棱長為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時2R=a;二

是球與正方體的十二條棱相切，此時2/7=位a;三是球外接于正方體，此時2/?=V5a

題型1柱體的表面積體積

【例題1](2022春?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末)已知某圓柱的高為5,底面半徑為我,則該圓柱的體積為

()

A.6TlB.9n

C.12nD.15n

【答案】D

【分析】直接利用圓柱的體積的公式求解.

【詳解】解：由題意得該圓柱的體積為(73)2.5=15/7.

故選：D

【變式1-1]（2022春?廣西河池?高一統(tǒng)考期末）已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則此圓柱的

體積為（）

A.6nB.4TTC.2TTD.TI

【答案】C

【分析】由圓柱體積公式計算.

【詳解】圓柱體積為nxFx2=2n.

故選：C.

【變式1-2]（2022春?河北張家口?高一統(tǒng)考期末）已知長方體的長、寬、高分別為口，口，口.若口:□:口=

4：2V2：1,且其外接球的表面積為25TT,則該長方體的體積為.

【答案】8V2

【分析】先求出邊長22。，即可求出長方體的體積.

【詳解】由=4：2叵1,不妨設(shè)◎（0>0）.

因為長方體的外接球的直徑為具體對角線，設(shè)外接球的半徑為r,則有（2。2=4+仃+爐，即44=

16￡^+84+仃=25仃.

而外接球的表面積為25TT,所以0=4皿=25己□=25D,解得：□=1.

所以。=4,￡7=275,￡7=1,

所以該長方體的體積為。=□□口=4x2V2x1=8V2.

故答案為：8V2

【變式1-3]（2022春?遼寧撫順?高一校聯(lián)考期末）在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)接圓柱，若圓柱

的表面積等于圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為（）

A.V2B.2C.2V2D.y

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出圓錐的軸截面，結(jié)合圖形設(shè)出圓柱的底面圓半徑和高，以及圓錐的底面半徑和高，

求出母線長，再列方程求得圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑之比.

【詳解】解：如圖所示,為圓錐的軸截面，

乙□□口=90°,設(shè)圓柱的底面圓半徑為。，高為〃,

圓錐的底面半徑為D,則圓錐的高為D,母線長為夜O,

由題意知，2Z7萬+2UUh=,

即2爐+26=；

由相似邊成比例得年=年，

即力=□一□,

.??2爐+2￡7（￡7-D）=V2ZJ2,

即2。=\[2LJ,

二0=%

D2'

即圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為他.

故選：D.

【變式1-4]（2022秋?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章第術(shù)》中記載了一種稱為“曲

池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個

如下圖所示的"曲池"，其高為3,1底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為母，白口長度為小長度的3

倍，且線段口。=口口=2,則該"曲池"的體積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)弧長與半徑的關(guān)系，將兩個弧所對應(yīng)的半徑求出，再根據(jù)圓柱的體積公式求出曲池的體積.

【詳解】設(shè)DD對應(yīng)半徑為R,用步寸應(yīng)半徑為r,根據(jù)弧長公式可知￡7也=口口,口皿=口口,

因為兩個扇環(huán)相同，e口長度為S長度的3倍，

所以63￡7,

因為ZZ7/Z7=□口=□—ZZ7=2,

所以｛存，

所以曲池體積為〃=乂口仃力-口孫=60.

故選：D

題型2錐體的表面積與體積

【例題2]（2022春?天津?高一校聯(lián)考期末）已知圓錐的母線長為3,其側(cè)面展開圖是圓心角為爭勺扇形，

則該圓錐的體積為（）

A.嚶B.2V2OC.苧D.V2O

【答案】A

【分析】根據(jù)弧長計算公式，求得底面圓半徑以及圓錐的高，即可求得圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為〃，故可得20￡7=早X3,解得。=1,

設(shè)圓錐的高為力,則力=V32-12=2V2,

則圓錐的體積O=gX皿x4=gxZ7x2夜=等77

故選：A

【變式2-1]（2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？计谀┮阎硤A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為r的半圓,

且該圓錐的體積為學(xué)，則r=（）

A.V2B.2C.3D.V3

【答案】B

【分析】用事示出圓錐的母線、底面半徑、高，再由圓錐體積公式列方程求解.

【詳解】由題意圓錐的母線長為。=U,

設(shè)圓錐底面半徑為口，高為力,則2TIO=TT￡7,口量,

力=收一U=%,

所以0=N。力=京￥4〃=窕，0=2.

故選：B.

【變式2-2]（2022春?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）如圖，直三棱柱￡70。-4&&中，。是的中點,

則空色巴a二（

口口一口口口⑸

AC

D

4G

為

1112

ABCD

6-5-4-3-

【答案】C

【分析】利用等體積轉(zhuǎn)化計算可得答案.

【詳解】因為。是。的中點，

二口□一□1口1口\-，

2

A=□□□□-□、口1口1一-□□-□□□=^口□□□一□、□、□、?

...二1

□□一□□□、□、4

故選：C.

【變式2-31多選I2022春?安徽亳州?高一?？计谀┤鐖D，四邊形￡700孕正方形，￡701平面OOOO,

□□代□□,□□=□□=200,記三棱錐Z7—□□□,□一□□□，口-Z7Z7B）體積分別為4,4,

A.EJ3-2口2B.口3-2口1C.口3=□1+口2D.24=3口1

【答案】CD

【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出口,4,4,進(jìn)而判斷出結(jié)果.

如圖連接。儂0,連接￡7口□□沒口口=2口口=2,則□口=口口=0/7=2.

由口□1平面□□口口,□口||口□,所以口□1平面口口口□,

所以&=□□一□□口—g□?□□□，□□=gXg?□□=g/

1119

口2—□□-□□□—3□△□□□*□口=jX2□口，□口，□口=3,

由□□母面□□□□,口口匚裨□□□□.所以□□工□□.

又□□，□□，且￡7Z7n□□=□,□□、UEJu礴□□□□,

所以口口上平面口□口□,所以□□.

易知O￡7=2V2,口口=V2,□口=飛口外口守=V6,口口=d口仃+口仃=V3

口口=個口仔+（□□-口。2=3,

所以or?2=DCP+,所以O(shè)oiuumuiJc□□=口,

□□、□□u平面□□口,所以口□1平面□□□.

又口口=□口=□□=2V2,

口3—□□-□□□=g口口□'□口=gX[口d,□□=2,

所以有。3H2口2I口3*2口1,口3=口、+口2<2口3=3口1,

所以選項AB不正確，CD正確.

故選：CD.

【變式2-4]（多選）（2022春?安徽亳州?高一?？计谀┯幸粋€三棱錐，其中一個面為邊長為2的正三角形，

有兩個面為等腰直角三角形，則該幾何體的體積可能是（）

A.2?B—C.乎D.竽

3333

【答案】BCD

【分析】分三種情況討論，作出圖形，確定三棱錐中每條棱的長度，即可求出其體積.

【詳解】如圖所示：

AA

①若口￡7,平面OOO,△班邊長為2的正三角形，2,△□口□,△ZZ7O6B是等腰直角三

角形，滿足題目條件,故其體積。=gx2xgx2x2xsin60°=誓;

②若口。，平面ODO,△邊長為2的正三角形，□□=夜,△□□□S0。鼻B是等腰直角三

角形，滿足題目條件，故其體積。=gxgx；x但x0=當(dāng)；

③若△邊長為2的正三角形，△□□□,&OO6B是等腰直角三角形，

□□=2,口口=2短,滿足題目條件，取。。中點口，因為口口工口□,而04+UE3=□廳,所

以□□>口口,即有￡7。，平面,故其做為O=gxV2xJx2x2=^;

故選：BCD

題型3臺體的表面積與體積

【例題3]（2022春?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）若一個圓臺的高為8,母線長為2，側(cè)面積為6n,則該圓臺

的體積為（）

5V3n7V3n萬

A.y-B.-y-C,5V3nD.7731T

【答案】B

【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為方，下底面半徑為O,母線為口，由圓臺的側(cè)面積得方+。=3,再由圓

臺的高力為百可得體積.

【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為方，下底面半徑為口，母線為。,

則圓臺的側(cè)面積。=n（o'+ZI7）O=6TT,可得。'+ZZ7=3,

又因為圓臺的高力為V5,可知口一d=J22-（V3）2=1,故有方=1,0=2,

圓臺的體積q八=（方2+方Z7+4）=X（1+2+4）=竺.

故選：B.

【變式3-1]（2022春?重慶銅梁?高一統(tǒng)考期末）在正四棱臺。?？?。一口1口、口。中，口口=4,□]口"

□□、=2，則該四棱臺的體積為（）

A萼B.竿C.8V2D.8V3

【答案】B

【分析】作出軸截面，過點口作4。1口口,結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得高，再計算體積即可.

【詳解】解：作出軸截面如圖所示，過點a作a。，□口,垂足為口，

因為正四棱臺ZZ7ZI7ZZ7ZZ7—口]&中，口□—4,□、□、——2

所以O(shè)O=4V2,4a=2魚，DD.=DU.=2,即梯形OO&a為等腰梯形，

所以，口□=□、口=帆1

所以,該四棱臺的體積為ZZ7=（〈□□□□□+□□、口1口、口、+J□□□□□□□[□、□、口）,&O=g（16+4+

V16X4）x6=等

故選：B

【變式3-2】侈選）（2022春?浙江寧波?高一?？计谀┠嘲嗉壍揭还S參加社會實踐勞動，加工出如圖所

示的圓臺0102,在軸截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,下列說法正確的有（）

A.該圓臺軸截面ABCD面積為3V3cm2

B.該圓臺的體積為學(xué)cm3

C.該圓臺的母線AD與下底面所成的角為30°

D.沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm

【答案】ABD

【分析】求出圓臺的高a&=V3,根據(jù)梯形面積公式可求圓臺軸截面0004勺面積，從而可判斷A;

根據(jù)圓臺的體積公式可判斷B；圓臺的母線。￡7與下底面所成的角為,從而可判斷C;由圓臺補(bǔ)成

圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,設(shè)勺中點為P,連接￡7。，求出。即為沿

著該圓臺表面，從點C到。。中點的最短距離，從而可判斷D.

【詳解】由口口=□□=口□=2,且CD=2AB,可得￡70=4,高&&=14一(當(dāng)?=

則圓臺軸截面ZJgU的面積為:x(2+4)xV3=3V3cm2,故A正確；

圓臺的體積為。=京(1+2+4)xV5=cn?,故B正確；

圓臺的母線。〃與下底面所成的角為/?！攴福湔抑禐槠r，

所以NDO&=60。，故C錯誤；

由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,

2T[2

側(cè)面展開圖的圓心角口=—=TT.

設(shè)Ogj中點為p,連接口口，可得乙口口口=90°,￡70=4,0/7=2+1=3,

則￡7￡7=V42+32=5.

所以沿著該圓臺表面，從點C到O口中點的最短距離為5cm,故D正確.

【變式3-3]（2022春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）若圓臺上下底面半徑分別為1和2,高為V3,則此圓臺的

體積為.

【答案】苧

【分析】利用圓臺的體積公式直接代入求得結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)圓臺上底面的半徑為□=1,下底面的半徑為0=2,高為力=V3,

則圓臺的體積g￡7%（爐+爐+DD）=1/7xV3x（12+22+1x2）=甯

故答案為：宇

【變式3-4】（2022春?河南信陽?高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方

形稱為方亭.如圖現(xiàn)有一方亭口口?？谝豢?。?？谄渲猩系酌媾c下底面的面積之比為1：4，□□若□□,

方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側(cè)面的面積之和為12通,則方亭的體積為.

【分析】分析可知端=,設(shè)。。=2口廊□□=4□，口口=或口，過氤口、。在平面。。￡70內(nèi)分別

作。。1口□,□□}.□□,垂足分別為點口,根據(jù)正四棱臺的側(cè)面積計算出中值，再利用臺體的

體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意得攜=g,沒□口=2□網(wǎng)口□=4□,□□=V6H.

過點口，。在平面。Z7OO內(nèi)分別作OO_L垂足分別為點。、口，

在等腰梯形。。?？谥?因為口口1口□,□□>□□,□□工□□,則四邊形。。。。為矩形，

所以口□=,□□=□□,則￡70=00=20,

因為口□=口□，□□=□□,乙□□□=4□□□=90°,

即以RU□□6?△□□□,所以口口=^^=口,

在RS。。。中,由勾股定理得J口守一口己=展口,

所以等腰梯形口。口中）面積為。=汽妲?痣O=3V5ZJ2=3V5,所以。=1.

所以￡7。=2口=2,□□=40=4,方亭的高力=J（V5）2-1=2,

故方亭的體積為:x/x（￡7上+%+J口上口下）=^x2x（4+16+V64）=^.

故答案為：f

題型4與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的表面積體積

【例題4]（2022春?吉林長春?高一長春外國語學(xué)校?？计谀┳仙皦厥侵袊赜械氖止ぶ圃焯胀凉に嚻?

其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的

壺體可以近似看成一個圓臺.如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約接近于

A.100cm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)R為圓臺下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為力,

則￡7=5,￡7=3,4=4,

“萬+S+4)

=gnx4(25+15+9)=寫=200(cm3),

故選：B.

【變式4-1](2022春?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末)我國有著豐富悠久的"印章文化"，古時候的印章一般

用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)涵，也被作

為裝飾物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個

正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等且底面邊長均為4，若該幾何體的所有

頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是()

圖1圖2

A.12nB.24TlC.36nD.48n

【答案】C

【分析】結(jié)合勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.

【詳解】底面邊長為4,底面的對角線長為4位.

設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為力,外接球的半徑為￡7,

1口=7

解得力=2,0=3,

所以外接球的表面積為4nX32=36n.

故選：C

【變式4-2】（2021春?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）古代將圓臺稱為"圓亭"，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，

下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何?"即一圓臺形建筑物，下底周長3丈，上底周長2丈，高1丈，則

它的體積為（）

A.立方丈B.9立方丈C.等立方丈D.罌立方丈

8Tl12n812

【答案】B

【分析】利用圓臺的體積公式求體積即可.

【詳解】通過題目可知，圓臺上底周長2丈，則上底半徑為券=/丈.

同理，下底周長3丈，下底半徑為三丈.

2n

根據(jù)圓彼積公式得K1[。佶）2+。島）2+J。（了。隰）2卜券（立方丈）?

故選：B.

【變式4-3]（2022春?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣

式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為9n，側(cè)面展開圖是圓

心角為厚的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）

A.12V2Z7B.16nC.18nD.18V2/Z7

【答案】D

【分析】根據(jù)底面圓面積可求底面圓半徑，從而可求底面圓周長，即可求扇形半徑，再根據(jù)勾股定理求圓

錐的高，最后即可求出圓錐體積.

【詳解】底面積為9n,即O4=9口，

所以底面圓的半徑O=3,

所以底面圓周長為20x3=6/7,

即圓錐側(cè)面展開圖的弧長口=6Z7,

又因為側(cè)面展開圖是圓心角為第的扇形，

=V72=6V2,

則圓錐的體積〃=gx￡7X32X6V2=18V2Z7.

故選：D

【變式4-4］（2022春?江蘇揚州?高一期末）劉徽構(gòu)造的幾何模型"牟合方蓋"中說："取立方棋八枚,皆

令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓，徑二寸，高二寸，又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣.”牟

合方蓋是一個正方體被兩個圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時的兩圓柱體的公共部分，計算其體積的方法

是將原來的“牟合方蓋"平均分為八份取它的八分之r如圖一）記正方形OABC的邊長為r設(shè)口口=h,

過P點作平面PQRS平行于平面0甌.口口=□□=口,由勾股定理有0口=故

,2

此正方形PQRS面積是。2-h.如果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二

2

中與圖一等高處陰影部分的面積等于力.（如圖三）設(shè)此棱錐頂點到平行于底面的截面的高度為h,不難發(fā)

2

現(xiàn)對于任何高度h,此截面面積必為力,根據(jù)祖B恒原理計算牟合方蓋體積（）

注：祖暄原理："幕勢既同，則積不容異"、意思是兩個同高的立體圖形，如在等高處的截面積相等，則

體積相等.

88

AB

3-3-c?"

【答案】C

【分析】計算出正方體的體積，四棱錐的體積，根據(jù)祖唾原理可得圖一中幾何體體積，從而得結(jié)論.

【詳解】屋xd乂□,

由祖喳原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于口樓推=J寸

所以圖1中幾何體體積為。=￡^-1Z73=|Z73,

所以牟合方蓋體積為8。=巧色.

故選：c.

題型5組合體的表面積體積

【例題5】（2022春?黑龍江哈爾濱?高一哈九中?？计谀┨菪蜛BCD中，Z7Z7,zABC=90°,AD

=1,BC=2,zDCB=60°,在平面ABCD內(nèi)過點C作l_LCB以I所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則該旋轉(zhuǎn)體的

表面積為（）

A.（10+4V3）￡7B.（9+4V3）￡7C.（8+4何￡7D.（7+4何。

【答案】B

【分析】旋轉(zhuǎn)體為圓柱去去掉一個圓錐，計算圓柱的高和圓錐的底面半徑和母線長，分別計算各面的面積，

得出表面積.

【詳解】解：旋轉(zhuǎn)體為圓柱去去掉一個圓錐，

過D作CUTU,則S=□□:1,

?：〃□□□=60°,□□=V3,□□=2,

???圓錐的底面半徑為1,圓柱的底面半徑為2,圓柱和圓錐的高均為V5,圓錐的母線為2,

，幾何體的表面積為Ox22+￡7x22-￡7+2￡7x2xV3+￡7x1x2=（9+4V3）O.

【變式5-1]（2022春?吉林長春?高一長春市實驗中學(xué)?？计谀┢c（chU）魯（meng）是中國古代算數(shù)

中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長方形，頂棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面

體，是一個對稱的楔形體.已知一個芻魯?shù)走呴L為4,底邊寬為3,上棱長為2,高為2,則它的表面積是

上棱長

【答案】A

【分析】由題意可得芻蕊的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，前后兩個四邊形為全等的等腰梯形，利

用勾股定理分別求出三角形和梯形的高，從而可求出各個面的面積，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得芻段的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，

前后兩個四邊形為全等的等腰梯形，

等腰三角形的高為E7=V5,

等腰梯形的高為工^=]

則一個等腰三角形的面積為gx3x花=竽，

一個等腰梯形的面積為的等=y,

所以此芻疊的表面積為2x^+2x^+4x3=27+3V5.

故選：A.

【變式5-2]（2022春?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺

是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑

16cm,圓柱體的高。口=8cm,圓錐體的高。口=6cm,則這個陀螺的表面積是（）

A.192ncm2B.208ncm2C.172ncm2D.336Tlem2

【答案】C

【分析】結(jié)合組合體表面積的計算方法計算出正確答案.

【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為8cm,

圓錐的母線長為病不了=10cm,

2

所以陀螺的表面積是nx8?+2nx8x8+nx8x10=272ncm.

故選：C

【變式5-3]（2022春?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形。?？诎嗾叫?，口口工加口口口口,

□□II,若口口=口口=3,口口=2,口口=1,則口□一口口口：.

【答案】2:1/2

【分析】將幾何體補(bǔ)全為正方體,由—

求出體積，即可得結(jié)果?

【詳解】將幾何體補(bǔ)全為正方體，如下圖示,

□□-□□□=□口□□

11111111

=27———x5x3——x3x3——^3x—x3x3—；rx3x—x5x3

32323232

=3.

11111111

--X3X-X5X3X3X-X5X3--XXX3X3--X3X-X3X3

2732-3-232-32

=6.

所以=2：1

故答案為：2:1

題型6外接球

【例題6]（2022秋?陜西延安?高一校考期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱

之為鱉席.已知在鱉月需。一口口小,滿足口口，平面BCD,且□□=口口=5,□□=3,口□=4,

則此鱉月需外接球的體積為

【答案】等TT

【分析】把鱉月需s塞卜成直四棱柱，求直四棱柱外接球半徑.

【詳解】把鱉臊。一?！ù共烦芍彼睦庵鐖D，其中S=口口=5,口口=4,鱉臊口一口口中]外接

球即為此直四棱柱的外接球，設(shè)外接球半徑為々[I

口=弩=零=苧，根據(jù)球的體積有外接球的體積為?d=?x世魯=等

故答案為：等n

【變式6-1]（2022秋?陜西咸陽?高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱-口1口1口1中,□□=□□=□□]=

V3,￡7/71￡70,則該直三棱柱OOO-的外接球的體積是______.

【答案】|n/y

【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑,進(jìn)而求得外接球的體積.

【詳解】由于口□,所以口。==V6,且直角三角形￡7〃中外心在的中點處，

設(shè)夕耀球的半徑為。，則。=]（身+倒=1,

所以外接球的體積為?X（I）'=y.

故答案為：|n

【變式春?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？计谀┤鐖D，一張紙的長&寬&=

6-2]（202204￡72=2Z7,

2V2O，口，口口2分別是其四條邊的中點.現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得&,d，4,△四點重合為一點

口，從而得到一個多面體，下列關(guān)于該多面體的命題：

P1B

2

:二

4D工

①該多面體是三棱錐；②平面OOO1平面OO。；

③平面0/7。，平面OOZ7;④該多面體外接球的表面積為47IZJ2;

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】將該多面體放入長方體中，利用題干條件求出長方體的長、寬、高，從而得到該多面體是三棱錐，

①正確；

求出各邊長，求出O。2+DE3=Dd-,得至!|AP±CP,再由AP±BD即可證明線面垂直，從而得到面面

垂直，②正確；

同理可證明出平面OZ7￡7_L平面0/70,③正確；

長方體的外接球即為該幾何體的外接球，求出長方體的體對角線，從而求出外接球半徑和表面積.

【詳解】將該多面體放入長方體中，如圖，設(shè)長、寬、高分別為aa0，

（爐+4=4爐（D=y/2D

叫4+^=34，解得：魚0，滿足題意，

D2=3/J2I□=D

c

由勾股定理得:□□=□□=，3行-爐=V2￡7,而□□=20,所以￡7爐+□行=口日,

由勾股定理逆定理得APJ_CP,因為口口=口口=風(fēng)口,P為BD中點，所以APJ_BD,

因為D￡7n□口=□,0a門口u平面BCD,所以APJ_平面BCD,

因為￡70u平面BAD,所以平面?！?01平面ZZ70O,②正確；

取AC的中點H,連接HB,HD,因為□口=□口=□□=口口=有口,故￡7O_LAC,DH±AC,

目口□=口口=4^~^~^=垃口,又□□=?□,故Z7行+〃仆=Z7ZJ2,所以BH_LDH,

因為。aoou平面ACD,且口Uc□口=LJ,

所以BHJ?平面ACD,又因為OOu平面BAC,所以平面￡7。01平面0￡70,③正確；

從圖形可知，長方體的外接球即為該三棱錐的外接球，

而長方體的體對角線長為J廳+仃+廳=或口,故外接球的半徑為苧,

故該多面體外接球的表面積為4n（苧）=5n行，④錯誤.

故選：D

【點睛】在解決平面圖形的翻折問題時，應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，

通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)

生變化，解題時應(yīng)抓住不變量，利用解三角形知識或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

【變式6-3]（2021秋?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）在三棱錐O-□□田,□□=□□=

□□=口口=2,口口=、，二面角。的大小為60。，則三棱錐口-的外接球的表面積為

【答案】等/會

【分析】根據(jù)題意分析可知二面角。一2勺平面角為N08=60°,進(jìn)而可確定△□□□,△□口□

的形狀，根據(jù)外接球的性質(zhì)確定口-gg)外接球的球心所在位置，進(jìn)而可求半徑和面積.

【詳解】取006勺中點O,連接。&OZ7,

,:口□=□□=□□=,則4□□□.□□□,口□,□□工□□,且，

二面角O—a的平面角為NZ7￡7Z7=60°,

故△□口口為等邊三角形，即=口口=□口=1,則口口=2□口=2飛ULf-口存=

2聰,ta。乙□□□=卷=R，

“□□□€(0,，，則/

設(shè)4口。勺外接圓圓心分別為4,半徑為口,

則2〃=-^―=4=4,即。=2,故&在口中延長線上，

sinz￡7Z7￡72

同理△ooofi勺外接圓圓心分別為。2在勺延長線上，

??,￡7/71□□1口口門口□=□,￡7Z7u平面ZZOC7,

:□口口,

且□□u平面□□□,□口u平面□□□,故平面□□口_L平面□□口,平面□□口1平面□□□,

設(shè)三棱錐O-的外接球的球心為。,連接口a,皿，則口口11平面￡700,組工平面口口口,

故Oa,u平面SO,

^^口□,□、口,口、口2,□□,口□,則Z7a=□□?=、口口=2/□□□1=30°,

可得&U=tanz0□口=y,

則三棱錐。-OOU的外接球的半徑Z7=+=苧,

故三棱錐口-的外接球的表面積4TT。2=4TTX￡=苧.

【點睛】結(jié)論點睛：

(1)球的任何截面均為圓面；

(2)球心和截面圓心的連線垂直于該截面，故外接球的球心位于過底面的外心的垂線上.

【變式6-4](2022春?四川瀘州?高一統(tǒng)考期末在三棱錐。-□□*，口口母畫□□口已知乙口口口=

60°,口□=2V6,0/7=2,則該三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】36n

【分析】根據(jù)正弦定理求得△006卜接圓的半徑。,再由平面,可得三棱錐的外接球的半徑

口=》+(號,從而可得出答案.

【詳解】解：設(shè)4口。夕卜接圓的半徑為口，

則20=口口=4V2,所以〃=2V2,

sinz□□口

如圖，設(shè)a為三棱錐外接球的球心，口為△外接圓的圓心，

則ZZ7/Z7i=□=2V2,—g□□-1,

所以三棱錐的外接球的半徑O=V8T1=3,

所以該三棱錐的外接球的表面積為4m。2=36n.

故答案為：36n.

s

BC

【變式6-5]（2018春?四川成都?高一石室中學(xué)?？计谀┮阎睦忮FO-口口口a底面四邊形OOOO

是正方形，頂點P在底面的射影是底面的中心）的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為一而,若該

正四棱錐的體積為三，則此球的體積為（）

A.18nB.8V6TTC.36nD.32V3n

【答案】C

【分析】先求得正四棱錐的高，然后利用勾股定理求得外接球的半徑，從而計算出外接球的體積.

【詳解】設(shè)正四棱錐的高為力,則!x（ViO）2x//解得/=5,

正方形勺對角線長為J（痂）2+（酒2=2痣，

設(shè)外接球的半徑為。，則（5-。）2+（竽）=4，

解得。=3,所以外接球的體積為寫X33=36n.

故選：C

題型7內(nèi)切球

【例題7]（2023春?河南周口?高一?？计谀┯幸粋€正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長為6.若該

石料最多可打磨成四個半徑為V3的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為（）

A.216-4V3nB.216-16V3n

C.270-16V3nD.270-4V3n

【答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱體體積減去四個球體體積可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)底面是邊長為6的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為O,

由等面積法可得gX3x60=亨x62,解得。=V3,

若可以將該石料打磨成四個半徑為6的石球，則該柱形石料的高至少為88,

因此，至少需要打磨掉的石料廢料的體積為亨X62X8V3-4X^nx(V3)3=216-1673n.

故選：B.

【變式7-1](2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？计谀?在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的

三棱錐稱之為鱉席.已知在鱉月需O-□□近,□□工平面□□□,□□=□□=口□,則該鱉月需的外接

球和內(nèi)切球的半徑之比為.

【答案】V6+V3/V3+V6

【分析】證明02是鱉席。-外接球直徑，然后設(shè)口口=口，由體積法求得其內(nèi)切球半徑，再計算

比值.

【詳解】由題意

又口O1平面口口。，瞳□□□,則口口,同理口。_L□口,□□工口□,

□□c\口□=口,□□,OZZZu平面所以?！?1平面￡70/7,

而口口u平面□口口，所以□□L□口,

所以。。是鱉臊。-ooa外接球直徑，

設(shè)□口=口,則=□口=口,因此口口=近口,□口=聰口,

口□口—\廳(□□口=□□口=gxV2￡7x￡7=y爐,

1111

eX

一

一3-3-2-6-

設(shè)鱉月需0-內(nèi)切球半徑為口,

則g（〃ADOC7+□4□□□+口^口口口+4Z7s）〃=，

所以八/^=空6

因此鱉腭切卜接球半徑與內(nèi)切球半徑比為叁=迎+8,

故答案為：傷+V5.

【變式7-2]（2022春?重慶銅梁?高一統(tǒng)考期末）正A面體是每個面都是正三角形的八面體.如圖所示，若

此正八面體的棱長為2,則它的內(nèi)切球的表面積為（）

A.當(dāng)口B.等口

327

C.2D^口

33

【答案】c

【分析】由正八面體的定義知，其內(nèi)切球的球心在正八面體的中心，以內(nèi)切球的球心為頂點、可將正八面

體分為8個全等的正三棱錐,利用等體積法可得其內(nèi)切球的半徑口，從而得到其內(nèi)切球的表面積.

【詳解】以內(nèi)切球的球心為頂點、正八面體的八個面為底面，可將正八面體分為8個全等的正三棱錐，設(shè)

內(nèi)切球的半徑為。，則8d捺推=，八而昧=24四口帷，

二棱錐正八面體正四棱錐

且正四棱錐的高為圖中co,易得衣,即：

11V3?1廠

8x-x（-x2x2x—）-￡7=2x-x（2x2）xV2

DNNO

解得：D=苧，所以，內(nèi)切球的表面積為竽

故選：C.

【變式7-3]（2022春?河南信陽?高一統(tǒng)考期末）將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在

的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）

A.（2V2-2）Z7B.（48-32V2）Z7C.（24-16A/2）￡7D.（108-7272）0

【答案】B

【分析】圓錐的軸截面是等腰直角三角形，截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓，由面積法

求得內(nèi)切球半徑后可得球表面積.

【詳解】依題意，作圓錐的軸截面等腰直角三角形，截得其內(nèi)切球的大圓是此等腰直角三角形的內(nèi)切圓，

圓錐的底面半徑為2，則其母線長為2技設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r,則:x2夜O+；x2V2￡7+gx4x。=

gx4x2,所以￡7=2（V2-1）,所以球表面積為。=40廳=16（3-2V2）￡7=（48-32處□.

故選：B.

【變式7-4]（多選）（2020秋?湖南岳陽?高一統(tǒng)考期末）正方陣□□□□一□[口口&的棱長為2,則

下列說法正確的是（）

A.直線口口與直線口口異面

B.直線口口與直線口。垂直

C.直線口口與直線4辛夾角為45°

D.正方體的內(nèi)切球半徑為舊

【答案】AB

【分析】對于A選項，結(jié)合正方體直觀圖，判斷A正確；

對于B選項，通過證明直線￡701平面O&口、D,判定口41￡7。，B正確；

對于C選項，利用異面直線夾角的定義，平移口。,得RUy。為異面直線AC與直線&2勺夾角，求

出直線OD與直線45勺夾角為60°,判斷C錯誤；

對于D選項，通過正方體的內(nèi)切球含義，可知正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，判斷D錯誤.

【詳解】對于A選項,因為□□舊、口1,所以直線Z7O與直線異面，故A正確；

對于B選項，由正方陣□□□□-口］口、□陶，口口工口□，DUy,又口口門口□、=口，所

以?！?1平面。0□、D,因為口口1u平面O&口U,所以￡741Z7O,故B正確;

對于C選項，因為￡70/0口,所以N&口3異面直線AC與直線口，的夾角，由于△口、口、。為正

三角形，所以直線AC與直線42勺夾角為60°,故C錯誤；

對于D選項，正方體的內(nèi)切球與正方體的六個面都相切，所以正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，其

半徑長為1，故D錯誤.

故選：AB.

【變式7-5]（2022春?四川廣安?高一統(tǒng)考期末）若正三棱柱口?？?口】口?既有外接球，又有內(nèi)切球，

記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為4、4,則將=（）

A.B.5C.V5D.V3

5

【答案】A

【分析】