高中數(shù)學導數(shù)練習題

專題8：導數(shù)(文)

經(jīng)典例題剖析

考點一：求導公式。

例1./'(X)是/(x)=；x3+2x+l的導函數(shù)，則/'(—1)的值是。

解析：/'(x)=x2+2,所以/'(-1)=1+2=3

答案：3

考點二：導數(shù)的幾何意義。

例2.己知函數(shù)y=/(x)的圖象在點/⑴)處的切線方程是y=；x+2,則

/(l)+.f(l)=o

解析：因為％=；,所以7(1)=；,由切線過點M(L/(I)),可得點M的縱坐標為

p所以/(1)=|，所以/⑴+/'⑴=3

答案：3

例3.曲線y=/一2/-4%+2在點(1,—3)處的切線方程是。

解析：＞'=3——4x—4,.?.點(1,—3)處切線的斜率為左=3—4—4=—5,所以設(shè)切

線方程為y=-5x+b,將點(1,一3)帶入切線方程可得8=2,所以，過曲線上點(1,一3)

處的切線方程為：5x+y-2=0

答案：5x+y—2=0

點評：以上兩小題均是對導數(shù)的幾何意義的考查。

考點三：導數(shù)的幾何意義的應用。

例4.已知曲線C：y=x3-3x2+2x,直線/:y=kx,且直線/與曲線C相切于點

(x0,y0)x0*0,求直線/的方程及切點坐標。

解析：?.?直線過原點，則左=紅(/。0)。由點(/，%)在曲線C上，則

22

y0=XQ—3x0+2x0,—=x0—3x0+2o又y'=3x?-6x+2,在

2

(無o，yo)處曲線C的切線斜率為A:=/'(X0)=3X0-6X0+2,

3

22

x0-3x0+2=3x0-6x0+2,整理得：2x0-3x0=0,解得：x。=:或=0

311

(舍)，此時，y——,k.——o所以，直線/的方程為y=—x,切點坐標是

n0844

1

X(33、

答案：直線/的方程為y-切點坐標是

4(28

點評：本小題考查導數(shù)幾何意義的應用。解決此類問題時應注意“切點既在曲線上又在

切線上”這個條件的應用。函數(shù)在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不

是必要條件。

考點四：函數(shù)的單調(diào)性。

例5.已知/(》)="3+3/-彳+1在區(qū)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

解析：函數(shù)/(x)的導數(shù)為r(x)=3a?+6x—l。對于xeR都有_f(x)<0時，/(九)

為減函數(shù)。由3辦2+6%-1<0(左6尺)可得1,解得a<—3。所以,

A=36+12a<0

當。<一3時，函數(shù)/(x)對xeR為減函數(shù)。

1\38

-

32--+-

(1)當a=—3時,f(x)=-3x+3x379

由函數(shù)y=d在R上的單調(diào)性，可知當a=—3是，函數(shù)/(x)對xeR為減函數(shù)。

(2)當a>—3時，函數(shù)/(x)在R上存在增區(qū)間。所以，當a>—3時，函數(shù)/(x)在

R上不是單調(diào)遞減函數(shù)。

綜合(1)(2)(3)可知aW—3。

答案：a<-3

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用。對于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導意識。

考點五：函數(shù)的極值。

例6.設(shè)函數(shù)/(x)=2/+3a/+3Z?x+8c在尤=1及x=2時取得極值。

(1)求a、〃的值；

(2)若對于任意的xe[0,3],都有成立，求c的取值范圍。

解析：(1)f'(x)=6x2+6ax+3b,因為函數(shù)/(x)在x=l及x=2取得極值，則有

/(1)=0,尸(2)=0.即〈，解得a=—3,Z?=4o

［24+12a+3b=0.

322

(2)由(I)可知，/(X)=2X-9X+12X+8C,f'(x)=6x-18x+12=6(x-l)(x-2)o

當xe(0,l)時，f'(x)>0；當xe(L2)時，f'(x)<0；當xe(2,3)時，/'(x)>0。所以,

當x=l時，/(x)取得極大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,/(3)=9+8c。則當xe［大3］

時，/(幻的最大值為/(3)=9+8c。因為對于任意的xe［0,3］,有恒成立，

所以9+8c<c2,解得或c>9,因此c的取值范圍為(-oo,-l).(9,+℃)。

答案：(1)a=-3,Z?=4；(2)(9,—l)J(9,+oo)。

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值。求可導函數(shù)/(X)的極值步驟：①求導數(shù)/'(X)；

②求尸(x)=0的根；③將r(x)=0的根在數(shù)軸上標出，得出單調(diào)區(qū)間，由/'(X)在各

區(qū)間上取值的正負可確定并求出函數(shù)/(%)的極值。

考點六：函數(shù)的最值。

例7.已知a為實數(shù)，/。)=(一一4卜一4)。求導數(shù)/'(X)；(2)若/'(-1)=0,求/⑴

在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值。

解析：(1)/(%)=x3-ax2-4x+4-a,f'(x)=3x2-2ax-4?

(2)/'(-l)=3+2a-4=0,.???=-?f\x)=3x2-x-4=(3x-4\x+1)

令7(x)=0,即(3x-4)(x+l)=0,解得x=—1或x=g，則/(x)和廣⑴在區(qū)間［一2,2］

上隨x的變化情況如下表：

(34

X-2-12

3

/1W+0—0+

/(X)0增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)0

(0)=—篇。所以，/(X)在區(qū)間［一2,2］上的最大值為了停)=一號，最

g

小值為/(—1)=2。

(2)最大值為/(g)=-樣，最小值為/(一1)=g。

答案：(1)/'(x)=3x2-2ax-4

點評：本題考查可導函數(shù)最值的求法。求可導函數(shù)/(x)在區(qū)間［。力］上的最值，要先求

出函數(shù)/(x)在區(qū)間(。力)上的極值，然后與/(a)和/0)進行比較，從而得出函數(shù)的最大最

小值。

考點七：導數(shù)的綜合性問題。

例8.設(shè)函數(shù)/(x)=a?+區(qū)(QNO)為奇函數(shù)，其圖象在點(1,/⑴)處的切線與直線

x—6y—7=0垂直，導函數(shù)/'(x)的最小值為—12。(1)求a,b,c的值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)/(x)在［-1,3］上的最大值和最小值。

解析：(1),.?/(X)為奇函數(shù)，；./(-%)=-f(x),BP-ax3-bx+c^-ax1-bx-c

：.c=Q,?.?/'(幻=30?+6的最小值為一12,，力=一12,又直線x—6y—7=0

的斜率為L,因此，f\\)=3a+b=-6,；.a=2,b=-12,c=0.

6

(2)/(X)=2X3-12XOf\x)=6x2-12=6(^+V2)(x-V2),列表如下：

X(―00,—-V2(-V2,V2)夜(V2,+oo)

/'(%)+0一0+

/(X)增函數(shù)極大減函數(shù)極小增函數(shù)

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-00,-72)和(0,+8),:/(-I)=10,

/(逝)=—80,/(3)=18,在［—1,3］上的最大值是"3)=18,最小值是

/(0)=-80。

答案：(1)a=2,6=—12,c=0；(2)最大值是/(3)=18,最小值是/(&)=-80。

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導數(shù)的應用等基礎(chǔ)知識，以

及推理能力和運算能力。

導數(shù)強化訓練

(一)選擇題

X2］

1.已知曲線y=7的一條切線的斜率為彳，則切點的橫坐標為(A)

A.1B.2C.3D.4

2.曲線丁=/一3/+1在點(1,—1)處的切線方程為(B)

A.y=3x-4B.y=-3x4-2C.y=-4x+3D.y=4x-5

3.函數(shù)y=(x+l)2(x-l)在x=l處的導數(shù)等于(D)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函數(shù)/(x)在x=l處的導數(shù)為3,則/(x)的解析式可能為(A)

A./(X)=(X-1)2+3(X-1)B./(x)=2(x-l)

C./(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-\

5.函數(shù)/。)=丁+G：2+3x—9,己知/*)在％=-3時取得極值，則。=(D)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函數(shù)/*)=彳3一3/+1是減函數(shù)的區(qū)間為(D)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函數(shù)+/?x+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)的圖象是（A）

tVfv

x

R

ACD

8.函數(shù)f(x)=2d—gd在區(qū)間［0,6］上f

的最大值是（A）

32口16

AA?—B.—C.12D.9

33

9.函數(shù)y=/一3元的極大值為優(yōu)，極小值為〃，則〃為（A）

A.0B.1C.2D.4

10.三次函數(shù)/（x）=a/+不在1￡（_8,+oo）內(nèi)是增函數(shù)，貝!!（A）

A.a>0B.a<0C.a=lD.a=-

3

11.在函數(shù)y=d-8x的圖象上，其切線的傾斜角小于生的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)

4

是（D）

A.3B.2C.1D.0

12.函數(shù)/（x）的定義域為開區(qū)間（。力），導函數(shù)/'（x）在（a,6）內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)

/（幻在開區(qū)間（a力）內(nèi)有極小值點（A）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

（二）填空題

13.曲線y=/在點（1,1）處的切線與x軸直線x=2所圍成的三角形的面積為

1,4

14.已知曲線y=則過點p（2,4）“改為在點尸（2,4）”的切線方程是

15.已知/">"）是對函數(shù)連續(xù)進行n次求導，若/（為=/+尤5,對于任意xeH,

都有/（，，）（x）=0,則n的最少值為。

16.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲

費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則》=噸.

（三）解答題

17.已知函數(shù)/（x）=/+ax2+bx+c,當x=—1時，取得極大值7；當x=3時，取得極

小值.求這個極小值及a,。,c的值.

18.已知函數(shù)/(x)=-/+3x2+9x+a

(1)求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間[-2,2].上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

19.設(shè)rwO,點P(r,0)是函數(shù)=+ax與g(x)=。/+c的圖象的一個公共點，

兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線。

(1)用f表示a,b,c；

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在(一1,3)上單調(diào)遞減，求f的取值范圍。

20.設(shè)函數(shù)/(同=/+灰2+5(》@/?),已知g(x)=/(x)-/'(x)是奇函數(shù)。

(1)求人、c的值。

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

21.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1,問

該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

22.已知函數(shù)/(幻=：/+；亦2+笈在區(qū)間[_],]),(1,3]內(nèi)各有一個極值點.

(1)求/—4b的最大值；

(1)當"―初=8時，設(shè)函數(shù)y=/(x)在點A(l，/⑴)處的切線為/，若/在點A處穿

過函數(shù)y=/(x)的圖象(即動點在點4附近沿曲線y=/(x)運動，經(jīng)過點A時，

從/的一側(cè)進入另一側(cè))，求函數(shù)/(x)的表達式.

強化訓練答案：

l.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.All.D12.A

(四)填空題

13.114.y-4%+4=015.716.20

(五)解答題

17.解：/*(x)=3x2+2ax+/?o

據(jù)題意，一1,3是方程312+2公+。=0的兩個根，由韋達定理得

-I1+3r=---2-。-

3

,「b

-lx3=—

3

:.a=—3,b=—9

?，,/(x)=x3—3x2-9x+c

v/(-l)=7,:.c=2

極小值/(3)=33-3x3?-9x3+2=—25

???極小值為-25,a——3,Z?=-9,c=2。

18.解：(l)ff(x)=-3x2+6x+9.令/'(x)<0,解得xv-l^lx>3,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,—I),(3,+8).

(2)因為f(—2)=8+12—18+。=2+。，/(2)=—8+12+18+。=22+

所以/(2)>/(—2).因為在(一1,3)上/(幻>0,所以/(幻在［-1,2］上單調(diào)遞增，又由

于/(X)在［-2,—1］上單調(diào)遞減，因此/⑵和/(-I)分別是/(%)在區(qū)間［—2,2］上的最大值和最小

值.于是有22+。=20,解得。=一2.

故/(X)=_%3+3彳2+9%-2.因此/(_1)=［+3_9_2=_7,

即函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-7.

19.解：(1)因為函數(shù)/(x),g(x)的圖象都過點(f,0),所以/(O=0,

即八+at=0,因為fK0,所以a=—廣.g(/)=。，即4-+c=0,所以c=ah.

又因為，(x),g(x)在點a,o)處有相同的切線，所以/Q)=g'Q).

而—)=3x2+a.gXx)=2bx，所以3產(chǎn)+。=2bt.

將。=-V代入上式得h=/.因此c=次?=――.故。=—/，b=t,c——Z3.

(2)y=f(x)-g(x)=x3-rx-tx1+/，,'=3%2-2tx-t2=(3x+O(x-r).

當V=(3x+f)(x-，)<0時，函數(shù)y=/(%)—g(x)單調(diào)遞減.

由y'<0,若f>0,貝ij-'vxci；若，<0,貝ijz<xv-L

33

由題意，函數(shù)y=/(x)-g(x)在(一1,3)上單調(diào)遞減，則

(—1,3)u(―鼻,，)或(一1,3)u億一?.所以tN3或一q23.即，<—9或ZN3.

又當一9v/v3時，函數(shù)y=/(x)-g(x)在(一1,3)上單調(diào)遞減.

所以t的取值范圍為(-8,-9]D[3,+8).

20.解：(1)v/(x)=x3+hx2+tx,/./z(x)=3x2+2bx+co從而

g(x)-f(x)—ff(x)=x3+hx2+cx-(3x24-2hx4-c)=x3+(b-3)x2+(<?_2〃)工_,是一

個奇函數(shù)，所以g(0)=0得c=0,由奇函數(shù)定義得〃=3；

(2)由(I)知g(x)=13-6x,從而g'(x)=3x2-6,由此可知，

(-oo,-V2)和(血,+8)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；

(一J5,夜)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減區(qū)間；

g(x)在x=-V2時,取得極大值,極大值為472,g(x)在x=6時，取得極小值，極小值為一48o

21.解：設(shè)長方體的寬為％(m),則長為2x(m),高為

,18-12x。-3、

h=---——=4.5-3x(m)I(Xx<-I.

故長方體的體積為

V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)10<%<

從而vf(x)=18x-18x2(4.5-3x)=18x(1一x).

令V(x)=0,解得1=0(舍去)或x=l,因此％=1.

3

當0cx<1時，V'(x)>0：當1cx<5時，V'(x)<0,

故在x=1處v(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值。

從而最大體積V=V'(X)=9x「-6X13(?J3),此時長方體的長為2m,高為1.5m.

答：當長方體的長為2m時，寬為1m,高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m工

1.1,

22.解：(1)因為函數(shù)/⑺:^^+萬4r+法在區(qū)間1一],]),(1,3】內(nèi)分別有一個極值點，所以

f'(x)=x2+ax+b=0在[一1,1),(1,3]內(nèi)分別有一個實根，

2

設(shè)兩實根為X],x2(<x2),則x2—xt=