專題09 線段上動點(diǎn)問題壓軸題的四種考法（解析版）-2024年常考壓軸題攻略（7年級上冊人教版）

專題09線段上動點(diǎn)問題壓軸題的的四種考法類型一、線段之間數(shù)量關(guān)系問題例．已知線段，(，為常數(shù)，且)，線段在直線上運(yùn)動(點(diǎn)B，M在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè))．P是線段的中點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時，求線段的長度(用含a，b的代數(shù)式表示)；(2)如圖②，當(dāng)線段運(yùn)動到點(diǎn)B，M重合時，求線段，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動至點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)時，請你畫圖探究線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意表示出和的長度，然后即可求出；（2）根據(jù)題意表示出和的長度，再表示出和的長度，即可發(fā)現(xiàn)和之間的數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況討論：①點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，②點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)．表示出和，即可發(fā)現(xiàn)，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）因?yàn)镻是線段的中點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，所以，，∴．（2）因?yàn)镻是線段的中點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)時，，所以；如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時，，所以．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差問題，動點(diǎn)問題，畫好線段圖，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)，且，動點(diǎn)P?Q分別從A?B兩點(diǎn)同時出發(fā)，都向右運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為每秒2個單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為，則點(diǎn)B表示的數(shù)為________，線段中點(diǎn)表示的數(shù)為___________；（2）在（1）的條件下，若，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，若，請?zhí)骄烤€段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，見解析【分析】（1）由點(diǎn)A表示的數(shù)為，AO＝2OB可知，可求出OB，AB長，從而得出結(jié)論；（2）分兩種情況：點(diǎn)P在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)時，OP表示的代數(shù)式不同，OQ＝6+t，分別代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；（3））設(shè)線段的長為b，則

，分兩種情況去絕對值，求出t的值，即可解決問題．【詳解】（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，AO＝2OB，∴AO＝12，OB＝6，∴AB＝18，∴線段中點(diǎn)表示的數(shù)為3．故答案是：6；﹣3；（2）當(dāng)P?Q相遇時，（秒），∴．當(dāng)點(diǎn)P在上時，，∵，∴，，符合；當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O右側(cè)時，，∵，，，符合．綜上所述，若，t的值為或13.（3）設(shè)線段的長為b，則．∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，∴．．若，則，∴，∴，解得．∴，又∵，∴；若，則，∴，∴，解得．∴．∵．∴．綜上所述，線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、數(shù)軸上點(diǎn)的表示、一元一次方程的應(yīng)用，比較復(fù)雜，要認(rèn)真理清題意，并注意數(shù)軸上的點(diǎn)，原點(diǎn)左邊表示負(fù)數(shù)，右邊表示正數(shù)，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)的距離等于任意兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值．【變式訓(xùn)練2】如圖1，，是直線上的兩個點(diǎn)，且．線段（在的左側(cè)）可以在直線上左右移動．已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）如圖2，當(dāng)與重合時，，；（2）在圖2的基礎(chǔ)上，將線段沿直線向左移動個單位長度得到圖3．①若，求和的長；②若，則的值是．（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將線段沿直線向右移動個單位長度．請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．【分析】（1）當(dāng)與重合時，AM=MN-NA=5,由點(diǎn)是的中點(diǎn)．由，可得AC=BC=；（2）①由線段沿直線向左移動個單位長度,可得BN=可求=MN-AN=2，由點(diǎn)是的中點(diǎn)．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；（3）又線段沿直線向由移動個單位長度,BN=，可得AN=5-b，可求=MN-AN=5+b，由點(diǎn)是的中點(diǎn)．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．【詳解】解：（1）當(dāng)與重合時，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∵，∴AC=BC=，故答案為：5，2.5；（2）①∵線段沿直線向左移動個單位長度，∵，∴BN=，∴AN=AB+BN=5+=8，∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴NC=AC=，=CN-BN=4-3=1；②∵，，即，，=1，故答案為：１；（3）∵線段沿直線向由移動個單位長度，∴BN=，∴AN=AB-BN=5-b，∴=MN-AN=10-（5-b）=5+b，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴NC=AC=，∴=CN+BN=，∴AM=2BC．故答案為：AM=2BC．【點(diǎn)睛】本題考查與線段有關(guān)的動點(diǎn)與動線問題，掌握線段的中點(diǎn)定義，會根據(jù)線段和差列方程，理解線段和差是解題關(guān)鍵．類型二、定值問題例．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點(diǎn)C，滿足，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(3)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動；動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不會發(fā)生變化，詳見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根據(jù)題意可得依題意得：，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案為：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為；（3）解：的值不會發(fā)生變化，依題意得：，∴，，∴，∴的值不會發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和與差，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點(diǎn)P以0.5cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動；同時點(diǎn)Q以1cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運(yùn)動（即沿C→B→C→B→…運(yùn)動），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．(1)當(dāng)t＝1時，PQ＝cm；(2)當(dāng)t為何值時，點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)？(3)若點(diǎn)M是線段CQ的中點(diǎn)，在整個運(yùn)動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)3.5(2)t為2或時，點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)(3)存在，PM的長度為3cm或1cm，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可求出AC的長，AP和CQ的長，再由即可求出PQ的長；（2）由題意可得出t的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)C在線段CB上做來回往返運(yùn)動，可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動時，即時，分別用t表示出CP和CQ的長度，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，列出等式，求出t的值即可；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時，即時，同理求出t的值即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動時，即時，同理求出t的值即可．最后舍去不合題意的t的值即可．（3）同理（2）可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動時，即時，分別用t表示出CP和CM的長度，再根據(jù)，求出即可；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時，即時，同理求出即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動時，即時，同理求出即可．最后根據(jù)判斷所求PM的代數(shù)式中是否含t即可判斷．【詳解】（1）解：當(dāng)時，∵∴，∴．故答案為：3.5．（2）∵點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動，∴．∵∴．①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動時，即時，此時，，∴，∵點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)，∴，即，解得：；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時，即時，此時，，∴，解得：，不符合題意舍；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動時，即時，此時，，∴，解得：；綜上可知，t為2或時，點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)；（3）根據(jù)（2）可知．∵點(diǎn)M是線段CQ的中點(diǎn)，∴．①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動時，即時，此時，．∵，∴，∴此時PM為定值，長度為3cm，符合題意．②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時，即時，此時，，∴，∴此時PM的長度，隨時間的變化而變化，不符合題意；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動時，即時，此時，，∴，∴此時PM為定值，長度為1cm，符合題意．綜上可知PM的長度為3cm或1cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和與差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，與線段有關(guān)的動點(diǎn)問題．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若．（1）求線段，的長；（2）若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長；（3）當(dāng)運(yùn)動到某一時刻時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正確，，見解析【分析】（1）利用兩個非負(fù)數(shù)和為0，可得每個非負(fù)數(shù)為0，可求，即可；（2）分類考慮當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，利用中點(diǎn)可求AM，DN，利用線段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．【詳解】解：（1）由，，，得，，所以，；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，所以，，又因?yàn)?，所以，?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，所以所以．綜上，線段的長為9；（3）②正確，且．理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點(diǎn)，線段和差，線段的比問題，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段中點(diǎn)，線段和差，線段的比，關(guān)鍵是利用線段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC．【變式訓(xùn)練3】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動的同時，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個單位/秒的向右運(yùn)動，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個運(yùn)動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個運(yùn)動的過程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：解得：a=2在整個運(yùn)動的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點(diǎn)∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個運(yùn)動的過程中，F(xiàn)C5DE的值為定值，且定值為0．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對值的非負(fù)性等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．類型三、時間問題例．如圖，點(diǎn)A、B都在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是m、n，且m與n滿足．（1）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒6個單位長度的速度運(yùn)動，已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時出發(fā)，且P、Q兩點(diǎn)重合后同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒．①當(dāng)?shù)拈L為4時，求t的值；②若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，且，求t的值．（2）點(diǎn)P沿著以每秒4個單位長度的速度往返運(yùn)動1次，點(diǎn)Q沿著以每秒6個單位長度的速度往返運(yùn)動1次．若點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，求t的值．【答案】（1）①2；②無解；（2）或0.9或2.3或2.5【分析】（1）①由題意易得點(diǎn)A表示的數(shù)為-6，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，則有點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，進(jìn)而可得，然后問題可求解；②由①可得，，由點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，可得，，然后由可求解，最后結(jié)合點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)重合后同時停止運(yùn)動可求解；（2）由題意得點(diǎn)、第一次相遇時的時間為秒；點(diǎn)、第二次相遇時的時間為2.4秒，則可分①當(dāng)點(diǎn)、在第一次相遇前相距1個單位長度時，即，則有；②當(dāng)點(diǎn)、在第一次相遇后相距1個單位長度時，即，；③當(dāng)點(diǎn)、在第二次相遇前相距1個單位長度時，即，；④當(dāng)點(diǎn)、在第二次相遇后相距1個單位長度時，即，，然后求解即可．【詳解】解：（1）①∵，∴，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為-6，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，由題意可得點(diǎn)運(yùn)動的路程為，點(diǎn)運(yùn)動的路程為，∴點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為，∴，∵，∴，解得：；②由①可得，，，當(dāng)點(diǎn)、重合時，則有，即，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得：，∵5＞4，∴不符合點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)重合后同時停止運(yùn)動，∴當(dāng)時，t無解；（2）由題意得：點(diǎn)、第一次相遇時的時間為，解得：；∴此時點(diǎn)離點(diǎn)B的距離為6×0.8=4.8，點(diǎn)離點(diǎn)A的距離為4×0.8=3.2，∴點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B的時間為4.8÷4=1.2秒，此時點(diǎn)與的距離為6×1.2-3.2=4，∴點(diǎn)、第二次相遇時的時間為0.8+1.2+4÷10=2.4秒，①當(dāng)點(diǎn)、在第一次相遇前相距1個單位長度時，即，如圖所示：∴，解得：；②當(dāng)點(diǎn)、在第一次相遇后相距1個單位長度時，即，如圖所示：∴，解得：；③當(dāng)點(diǎn)、在第二次相遇前相距1個單位長度時，即，如圖所示：∴，解得：；④當(dāng)點(diǎn)、在第二次相遇后相距1個單位長度時，即，如圖所示：∴，解得：；綜上所述：當(dāng)時，或0.9或2.3或2.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用、線段的和差關(guān)系及數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用、線段的和差關(guān)系及數(shù)軸上的動點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，且滿足．（1）點(diǎn)表示的數(shù)是___________，點(diǎn)表示的數(shù)是____________．（2）若動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度向右運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長度向點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)即停止運(yùn)動兩點(diǎn)同時出發(fā)，且點(diǎn)停止運(yùn)動時，也隨之停止運(yùn)動，求經(jīng)過多少秒時，第一次相距3個單位長度？（3）在（2）的條件下整個運(yùn)動過程中，設(shè)運(yùn)動時間為秒，若的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，當(dāng)為何值時，？【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒．【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；（2）求出AB＝7，設(shè)經(jīng)過x秒時，P、Q第一次相距3個單位長度，則AP＝3x，BQ＝x，可列方程7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；（3）由題意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中點(diǎn)的定義得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，對P、M、B三點(diǎn)的位置分類討論，用含t的式子表示BM、PB、AN長，由題意得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵滿足，∴a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，即點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)是﹣2，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)是5；故答案為：﹣2，5；（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，設(shè)經(jīng)過x秒時，P、Q第一次相距3個單位長度，則AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，列方程得，7﹣3x﹣x＝3，解得：x＝1，答：經(jīng)過1秒時，P、Q第一次相距3個單位長度；（3）由題意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，∵AP的中點(diǎn)為M，BQ的中點(diǎn)為N，∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)B的左側(cè)時，BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴7﹣t+7﹣t＝3（7﹣3t），解得：t＝1；如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴7﹣t+7﹣t＝3（3t﹣7），解得：t＝；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)B的右側(cè)時，BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，∵BM+AN＝3PB，∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7），解得：t＝（舍去）；綜上所述，當(dāng)t為1秒或秒時，BM+AN＝3PB．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、兩點(diǎn)的距離、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及分類討論等知識；關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確列出一元一次方程．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)、點(diǎn)是數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，且滿足，.

（1）點(diǎn)、在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為______和______.（2）點(diǎn)、同時分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動.①經(jīng)過幾秒后，；②點(diǎn)、在運(yùn)動的同時，點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度從原點(diǎn)向右運(yùn)動，經(jīng)過幾秒后，點(diǎn)、、中的某一點(diǎn)成為其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？【答案】（1）-2和4；（2）①經(jīng)過秒或秒，；②經(jīng)過秒或秒后，點(diǎn)、、中的某一點(diǎn)成為其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn).【分析】(1)設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a,點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為b.根據(jù)題意確定a、b的正負(fù),得到關(guān)于a、b的方程，求解即可;(2)①設(shè)t秒后OA=3OB.根據(jù)OA=3OB，列出關(guān)于t的一元一次方程，求解即可;②根據(jù)中點(diǎn)的意義，得到關(guān)于t的方程，分三種情況討論并求解:點(diǎn)P是AB的中點(diǎn);點(diǎn)A是BP的中點(diǎn);點(diǎn)B是AP的中點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a,點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為b,則OA=-a，OB=b∵，∴OA+OB=6∴-a+b=6∵.∴b=-2a∴∴∴點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2,點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為4故答案為：-2和4；（2）①設(shè)秒后，，則點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2-t,點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為4-2t，故OA=2+t情況一：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，故OB=4-2t∵則，解得：.情況二：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，，故OB=2t-4∵則，解得：.答：經(jīng)過秒或秒，.②設(shè)經(jīng)過秒后，點(diǎn)、、中的某一點(diǎn)成為其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，此時點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為t,點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2-t,點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為4-2t當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，則，解得：.當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，則.解得：.當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，則解得：（不合題意，舍去）答：經(jīng)過秒或秒后，點(diǎn)、、中的某一點(diǎn)成為其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、一元一次方程、線段的中點(diǎn)及分類討論的思想.題目綜合性較強(qiáng).掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)-左邊點(diǎn)表示的數(shù).類型四、求值例．已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）計算出CM和BD的長，進(jìn)而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC結(jié)合（1）問便可解答；（3）由AN＞BN，分兩種情況討論：①點(diǎn)N在線段AB上時，②點(diǎn)N在AB的延長線上時；結(jié)合圖形計算出線段的長度關(guān)系即可求解；【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：設(shè)運(yùn)動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案為：．（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴=1,即=．綜上所述＝或【點(diǎn)睛】本題考查求線段長短的知識，關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，根據(jù)條件理清線段的長度關(guān)系再解答．【變式訓(xùn)練】已知：如圖，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B同時出發(fā)以1cm／s、3cm／s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，此時AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）（2）若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，①求線段AM的值，②若N是直線AB上一點(diǎn)，且AN－BN＝MN，求的值【答案】（1），；（2）①；②或1【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動速度和時間分別求得、的長，根據(jù)線段的和差計算可得；（2）①根據(jù)、的運(yùn)動速度知，再由已知條件求得，所以；（3）分點(diǎn)在線段上時和點(diǎn)在線段的延長線上時分別求解可得．【詳解】解：（1）根據(jù)題意知，，，，，，，，故答案為：，；（2）①根據(jù)、的運(yùn)動速度知：，，，即，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖，，又，，，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖，，又，，；綜上所述：或1．【點(diǎn)睛】本題考查求線段的長短的知識，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是細(xì)心閱讀題目，理清題意，利用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想求解．課后訓(xùn)練1．如圖1，已知線段，點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)D在線段上，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以的速度沿直線運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示，其中a、b滿足條件：．(1)直接寫出：____________，_____________；(2)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了，求的值；(3)如圖2，若，點(diǎn)N是直線上一點(diǎn)，且，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3)或【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）當(dāng)C、D運(yùn)動時，，，結(jié)合圖形求解即可；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上時；當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時；利用線段間的數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：∵|a?1|+|b?3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案為：1；3；（2）當(dāng)C、D運(yùn)動時，，，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)N在線段上時，∵，又∵，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上時，∵，又∵，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】題目主要考查絕對值的非負(fù)性及點(diǎn)的運(yùn)動，線段間的數(shù)量關(guān)系等，理解題意，根據(jù)圖象得出線段間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．【閱讀理解】若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，則有①A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)表示的數(shù)為；②當(dāng)b＞a時，A、B兩點(diǎn)間的距離為AB＝b﹣a．【解決問題】數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a+2|+（b﹣8）2020＝0（1）求出A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）點(diǎn)D從原點(diǎn)O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過2秒后點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是點(diǎn)D到C點(diǎn)距離的2倍，求點(diǎn)D的運(yùn)動速度是每秒多少個單位長度？【數(shù)學(xué)思考】（3）點(diǎn)E以每秒1個單位的速度從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動，同時，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個單位的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒10個單位的速度向右運(yùn)動，P、Q分別為ME、ON的中點(diǎn)．思考：在運(yùn)動過程中，的值是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】（1）A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)C表示的數(shù)是3；（2）點(diǎn)D的運(yùn)動速度是每秒個單位長度，或每秒4個單位長度；（3）=2（定值）．理由見解析.【分析】（1）分別求出a、b的值，然后求出中點(diǎn)C的值；（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)C左邊和C右邊時，得出不一樣的C值；（3）設(shè)運(yùn)動時間為t，則點(diǎn)E對應(yīng)的數(shù)是t，點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是﹣2﹣7t，點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)是8+10t．【詳解】（1）∵|a