專題10 幾何圖形旋轉(zhuǎn)壓軸題的三種考法（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

專題10幾何圖形旋轉(zhuǎn)壓軸題的三種考法類型一、旋轉(zhuǎn)最值問題例．如圖，點E是邊長為4的正方形內(nèi)部一點，，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，則點E在以為直徑的圓上，取中點G，當(dāng)過點G時，有最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則此時也取最小值，即可解答．【詳解】解：在正方形中，，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的圓上，取中點G，連接，當(dāng)過點G時，有最小值，

又∵按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴此時也取最小值，∵，為的半徑，即，∴此時，∴，即的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了角度的轉(zhuǎn)化與判斷點的軌跡，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想處理題給條件，從而得到點的軌跡．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在矩形中，，連接，將線段繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的最小值為．【答案】/【分析】連接，過點A作，截取，連接，通過證明，得，再求出的長．最后在中，利用三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】如圖，連接，過點A作，截取，連接，∵將線段繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．∵，∴．∵，且當(dāng)點G，P，E三點共線時取等號，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點在射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．且是邊長為的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在射線上運動，如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，

則，在中，，則，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，∵，，，∴，∴，在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點，且是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】取的中點N，連接作交的延長線于H，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)可以得到，由三角形三邊關(guān)系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【詳解】解：如圖，取的中點N，連接，作交CD的延長線于H，

由題意可得：∵點N是的中點，∴∴∵∴是等邊三角形，∴∴∵∴∴∴∴點G的運動軌跡是射線，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值為；故答案為．【點睛】本題考查平行四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，熟練作出輔助線并掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類型二、三角形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖，在中，，將繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點D恰好落在邊上．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見詳解；(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由“等邊對等角”可得，因此可得，即可得出平分．（2）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此可得．再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，又由即可證是等邊三角形，可得，再證，由此可得，根據(jù)SAS證明，則可知，在中，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）∵繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，∴，，

，∴平分．（2）

如圖，連接，，．又，，．又，，是等邊三角形，，．又，，，．在和中，

，，,，，，．∴的長為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，綜合性較強(qiáng)．正確的作出輔助線，且證明出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，過等邊的頂點A作的垂線l，點P為l上點（不與點A重合），連接，將線段繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接．①求證：；②連接并延長交直線于點D．若，，求的長；（2）如圖2，在中，，將邊繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，求長．【答案】（1）①見解析；②；（2）【分析】（1）①證明，即可得出；②連接，由旋轉(zhuǎn)可得是等邊三角形，根據(jù)，可知是的垂直平分線，，再由，得出，然后由勾股定理求出和的長，根據(jù)求出結(jié)果；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，構(gòu)建等腰直角三角形，求出的長，再證明，即可得出答案．【詳解】（1）①證明：在等邊中，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∴，即，∴，∴；②連接，如圖：由旋轉(zhuǎn)，得，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴是的垂直平分線，∴，在等邊中，，，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，如圖：則是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，在中，，∵，∴，即，∵，，

∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判斷與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，有等邊和等邊，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形．

(1)求證：；(2)如圖3，若，，且旋轉(zhuǎn)角為時，求的度數(shù)；(3)如圖4，連接，并延長交于點，若旋轉(zhuǎn)至某一位置時，恰有，，求的值．【答案】(1)見詳解；(2)；(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，可證，，即可求證；（2）過點作于點，取的中點，連接，可求，從而可求，可證是等邊三角形，即可求解；（3）可求，，，從而可求，可證，，即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得：，、是等邊三角形，，，在與中，，（）．（2）解：如圖，過點作于點，取的中點，連接，

旋轉(zhuǎn)角為，，由（1）得：，，在中，，，，，是等邊三角形，，．（3）解：同理可證，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形行的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決實際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：如圖，和均為等腰直角三角形，，點D為中點，繞點D旋轉(zhuǎn)，連接、．

觀察猜想：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系為______；實踐發(fā)現(xiàn)：（2）當(dāng)點M、N在內(nèi)且C、M、N三點共線時，如圖，求證：；

解決問題：（3）若中，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)且C、M、N三點共線時，直接寫出的長．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）或【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，由此即可求解；（2）由（1）中，再根據(jù)為等腰直角三角形，由此即可求解；（3）點C、M、N三點共線，分類討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下，如圖所示，連接，

∵為等腰直角三角形，，∴，∵點D為中點，∴，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖所示，連接，

由（1）可知，，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，∴；（3）解：，，C、M、N三點共線，①由（2）可知，，

由（1）可知，，∵，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴；②如圖所示，由（1）可知，，，，

∴，∴是直角三角形，∴，∴（不符合題意舍去）；③如圖，

∵是等腰直角三角形，∴，同法可證，∴，∴，即是直角三角形，在中，，，∴，∴，∵，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)，全等三角形的綜合，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題例．如圖，在矩形中，，，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形，旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)點C，和三點共線時，的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)點C，和三點共線，，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出，通過證明，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵點C，和三點共線，∴，∵矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在和中，，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，故選：A．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，根據(jù)勾股定理列出方程求解．【變式訓(xùn)練1】．在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換指某一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動一，如圖①，在直角三角形中，為斜邊上的一點，，，且四邊形是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（如圖②所示），小明立刻就得到了答案，請你寫出陰影部分的面積．活動二：如圖③，在四邊形中，，，，，過點作于點，小明仍運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（如圖④所示），則：（1）四邊形是怎樣的特殊四邊形？答：______；（2）的長是______．活動三：如圖⑤，在四邊形中，，，為中點，連接、．若，，求的長．【答案】活動一：3；活動二：（1）正方形；（2）4；活動三：5．【分析】活動一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而得到，即可求解；活動二：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而得到，再根據(jù)正方形的判定方法即可求解；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，求得的長度，即可求解；活動三：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，通過證明為等邊三角形，即可求解．【詳解】活動一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵四邊形是正方形，∴，即∴，即為直角三角形∴；活動二：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵∴，又∵，∴，又∵∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形；（2）由（1）可得由題意可得：又∵∴，解得∴；故答案為：正方形，4；活動三：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：

∵∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，即∵為中點，∴∴∴為等邊三角形，∴【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練2】．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

圖1

圖2

圖3(1)思路梳理：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點F、D、G共線，易證_________，故之間的數(shù)量關(guān)系為_________．(2)類比引申：如圖2，點E、F分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，，點D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長．【答案】(1)，(2)，證明見解析(3)，【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計算，即點、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）作輔助線：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）同理作輔助線：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，先由勾股定理求的長，證明，求出，，繼而得到，過A作，垂足為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，可得，利用勾股定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點、、共線，四邊形為矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）如圖2，，理由是：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，連接，，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，過A作，垂足為，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達(dá)到解一題知一類的目的，本題通過旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．【變式訓(xùn)練3】．綜合與實踐：問題情景：如圖1、正方形與正方形的邊，在一條直線上，正方形以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證：；(2)操作發(fā)現(xiàn)：如圖3，當(dāng)點E在延長線上時，連接，求的度數(shù)；(3)問題解決：如圖4，如果，，，請直接寫出點G到的距離．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，，從而證明，即可得出結(jié)論；（2）過F作，垂足為H，證明，可得，，從而可得，再由，即可求解；（3）連接，，過點B作于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理求得，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵四邊形是正方形，∴，，∴．在與中，，∴，∴；（2）解；過F作，垂足為H，

∵，∴，，∴，∵四邊形AEFG是正方形，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，（3）解：如圖，連接，，過點B作于點H，∵是正方形的對角線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，設(shè)點G到的距離為h，∵，∴，解得：，∴點G到的距離為．

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，點在上，連接，，點在上，連接，，若，的面積為，則的長為．

【答案】【分析】先進(jìn)行把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)性質(zhì)可以得出，繼而利用勾股定理可得，利用面積即可求解．【詳解】如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與對應(yīng)，點與對應(yīng)，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與對應(yīng)，點與對應(yīng)

∵，，，∴旋轉(zhuǎn)后與重合，與重合，∴，，∵，，∴，∴點，，三點共線，，∴，∴，，，∴∴，，在，由勾股定理得：，∴，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理得應(yīng)用．2．如圖，等腰直角中，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到點，則長的最小值是．【答案】/【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則此時、、在同一直線上，得出點的運動軌跡為線段，當(dāng)時，的長度最小，由直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理即可得出答案．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則此時、、在同一直線上，即有，∴，，，，，隨著點的運動，總有，，，∴，同理可證明：，∴，∴，∴、、三點在同一直線上，點的運動軌跡為線段，當(dāng)時，的長度最小，如圖，在等腰中，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是正方形邊的中點，是正方形內(nèi)一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，將以中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，由的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當(dāng)、、三點共線時，的值最小，可求，從而可求解．【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，

的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，如圖，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，四邊形是正方形，，，是的中點，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，的值最小為．故答案：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動點產(chǎn)生的線段最小值問題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在四邊形中，，，將邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點恰好落在邊上的點處，已知，則的長度為．