對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.(直觀想象)2.探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)

項(xiàng)目a>10<a<1圖象

項(xiàng)目a>10<a<1定義域(0,+∞)值域R

性質(zhì)(1)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0(2)當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0(2)當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0(3)在(0,+∞)上是增函數(shù).當(dāng)x值趨近于正無(wú)窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大(3)在(0,+∞)上是減函數(shù).當(dāng)x值趨近于正無(wú)窮大時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大名師點(diǎn)睛1.對(duì)數(shù)函數(shù)的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對(duì)底數(shù)a的分類討論.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,a越大;當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,a越小.3.分析對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象,需找三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(a,1),(1,0),(,-1).微思考對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有哪些?提示

性質(zhì)是函數(shù)變化中的不變性及規(guī)律性.主要有定義域(0,+∞);單調(diào)性:a>1單調(diào)遞增,0<a<1單調(diào)遞減,過(guò)定點(diǎn)(1,0)等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1類比指數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a有關(guān),對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)有什么關(guān)系.問(wèn)題2類比指數(shù)型函數(shù)圖象中定點(diǎn)的求法,對(duì)數(shù)型函數(shù)如何求定點(diǎn)?探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題3如何畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象?思考如何畫出對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象?【例1】

作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解

先畫出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖1).再將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖2).圖1圖2圖3最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方(原來(lái)在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖3).由圖易知其定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2],單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).規(guī)律方法

求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題,首先應(yīng)明確對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象特征,結(jié)合函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.(1)一般地,函數(shù)y=f(x±a)+b(a,b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換得到的.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關(guān)于直線x=a對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關(guān)于x軸對(duì)稱.探究點(diǎn)二利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小問(wèn)題4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),如何比較數(shù)的大小?【例2】

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)ln0.3,ln2;解

因?yàn)楹瘮?shù)y=ln

x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);解

當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故當(dāng)a>1時(shí),loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),loga3.1>loga5.2.(3)log30.2,log40.2;解(方法1)因?yàn)?>log0.23>log0.24,(方法2)畫出y=log3x與y=log4x的圖象,如圖所示,由圖可知log40.2>log30.2.(4)log3π,logπ3.解因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.規(guī)律方法

比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式大小的常用方法(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同、真數(shù)不相同時(shí),直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)不同,真數(shù)相同時(shí),可根據(jù)圖象與底數(shù)的關(guān)系所反映出的規(guī)律比較,常數(shù)形結(jié)合.(3)當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí),可考慮引入第三個(gè)數(shù)(常用“0”或“1”)分別與之比較,然后通過(guò)第三個(gè)數(shù)的傳遞進(jìn)行比較.問(wèn)題5單調(diào)性是對(duì)數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì).單調(diào)性主要能用來(lái)解決什么問(wèn)題?探究點(diǎn)三解對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題6利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,如何解對(duì)數(shù)不等式?【例3】

(1)滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為

.

(2)若loga<1(a>0,且a≠1),則a的取值范圍為

.

規(guī)律方法

對(duì)數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)形如logax>b的不等式,應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解或利用圖象求解.探究點(diǎn)四與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問(wèn)題問(wèn)題7如何破解對(duì)數(shù)型函數(shù)求值域的有關(guān)問(wèn)題?方法中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?【例4】

已知函數(shù)g(x)=log2(3x-1),f(x)=log2(x+1).(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)在(1)的條件下求函數(shù)y=g(x)+f(x)的值域.(2)y=g(x)+f(x)=log2(3x-1)+log2(x+1)=log2[(3x-1)(x+1)]=log2(3x2+2x-1),令t=3x2+2x-1,則y=log2t,由(1)可得{x|x≥1},函數(shù)t=3x2+2x-1的對(duì)稱軸為直線x=-?[1,+∞),故當(dāng)x=1時(shí),tmin=4,即t≥4.又y=log2t在t∈[4,+∞)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x≥1時(shí),y≥log24=2.即所求函數(shù)的值域?yàn)閇2,+∞).規(guī)律方法

與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問(wèn)題的處理方法(1)求解最值問(wèn)題,一定要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題,一般要轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題,求二次函數(shù)的最值時(shí)常用配方法,配方時(shí)注意自變量的取值范圍.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的復(fù)合函數(shù)值域的步驟:①分解成兩個(gè)函數(shù)y=logau,u=f(x);②求f(x)的定義域;③求u的取值范圍;④利用單調(diào)性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.探究點(diǎn)五對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題問(wèn)題8指數(shù)函數(shù)可與其他函數(shù)復(fù)合成指數(shù)型函數(shù),同樣,對(duì)數(shù)函數(shù)也可與其他函數(shù)復(fù)合構(gòu)成對(duì)數(shù)型函數(shù).類比指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法,如何求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?【例5】

(1)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax+1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.規(guī)律方法

對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解方法及注意問(wèn)題(1)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類:一類是外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一類是內(nèi)層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①對(duì)于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論:函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>1時(shí)相同,在0<a<1時(shí)相反.②研究y=f(logax)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一般用換元法,即令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調(diào)性即可.(2)研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一定要注意先研究函數(shù)的定義域,也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112131415A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=10x的反函數(shù),則f(10)=(

)A.1 B.2

C.10

D.1010A解析

函數(shù)y=10x的反函數(shù)為f(x)=lg

x,f(10)=lg

10=1,故選A.1234567891011121314152.函數(shù)y=log2(x+1)的圖象大致是(

)C解析

函數(shù)y=log2(x+1)的圖象是把函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,定義域?yàn)?-1,+∞),過(guò)定點(diǎn)(0,0)且在(-1,+∞)上是增函數(shù),故選C.1234567891011121314151234567891011121314153.函數(shù)

的定義域是(

)A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞)D1234567891011121314154.若函數(shù)f(x)=ln(x2+2mx)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)A123456789101112131415A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<aD1234567891011121314156.函數(shù)f(x)=loga[(a-1)x+1]在定義域上(

)A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.先增后減 D.先減后增A解析

令t=(a-1)x+1.當(dāng)a>1時(shí),y=logat和t=(a-1)x+1都是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),y=logat和t=(a-1)x+1都是減函數(shù),所以f(x)是增函數(shù).1234567891011121314157.(多選題)已知a=log32,b=30.1,c=30.2,則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<bAC1234567891011121314158.若函數(shù)f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

(2,2)解析

令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).1234567891011121314159.設(shè)0<a<1,函數(shù)f(x)=loga(2ax-2),則使得f(x)<0的x的取值范圍為

.

12345678910111213141510.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),且f()=0,則不等式f(log4x)<0的解集是

.

12345678910111213141511.已知函數(shù)f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(3)求不等式f(x)>1的解集.123456789101112131415解

(1)要使函數(shù)f(x)有意義,故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-2,2).(2)f(x)為奇函數(shù).證明

如下:由(1)知f(x)的定義域?yàn)?-2,2),設(shè)任意的x∈(-2,2),則-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)在定義域(-2,2)上是增函數(shù),12345678910111213141512.已知對(duì)數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范圍;(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,求y=g(x)的解析式.解

(1)設(shè)f(x)=logax(a>0,且a≠1).由題意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因?yàn)閍>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因?yàn)?>1,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<