高中數(shù)學(xué)立體幾何詳細(xì)教案

【中學(xué)數(shù)學(xué)教案】

立體幾何教案

一，空間直線與直線的關(guān)系

a,相交

b,平行

c,異面

a,相交直線

b,平行公理：空間中平行于同一條直線的兩條直線平行

c異南（百

1,求贏直線所成角問題

注：利用平行公理找角，利用余弦定理計(jì)算，結(jié)果要銳角或直角

異面直線所成角的范圍（0,90。］

（-）平移法利用平行公理把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角

例：正方體ABCD-ABCDI中，E，F(xiàn)分別是和CC中點(diǎn)，則直線AE

和BF所成角的余弦值

㈡補(bǔ)形法

補(bǔ)形：底面是直角三角形的直三棱柱可以補(bǔ)成一個(gè)長方體

例：在直三棱柱A/C—45c中，NBC4=90°，點(diǎn)。分別是

AB，AC中點(diǎn)，BC=CA=CC，則與AR所成角的余弦值

AV30D1，、病nV15

1021510

2,求異面直線之間的距離問題

和兩條異面直線垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，

公垂線夾在兩條異面直線之間的長度叫做異面直線的距離。

二，空間直線和平面關(guān)系

a，直線與平面平行

b,直線與平面垂直

c,直線與平面斜交一一射影定理和三垂線定理

a,線面平行

1,判定定理：若平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平

面平行。

2,性質(zhì)定理：若一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的平面和這個(gè)已知平面的交

線必和這條直線平行。

b,線面垂直

1,判定定理：I,若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這

個(gè)平面垂直。

II,若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)

平面。

2,性質(zhì)定理：I,若兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行。

II,過一點(diǎn)能且僅能做一條直線與一個(gè)平面垂直。

C,射影定理

1,射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長。

2,相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長。

3,垂線段比任何一條斜線段都短。

d,三垂線定理

1,平面內(nèi)的一條直線，若和斜線在平面內(nèi)的射影垂直，則這條直線和斜線垂直。

2,平面內(nèi)的一條直線，若和平面的斜線垂直，則這條直線和斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

三，空間平面和平面的關(guān)系

a,面面平行b,面面垂直c,面面斜交

a,面面平行

1,判定定理：I,如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)

平面平行。

II,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

III如果一個(gè)平面上的兩條相交直線分別和另一個(gè)平面上的兩條直線平

行，那么這兩個(gè)平面平行。

2,性質(zhì)定理：I,如果兩個(gè)平行平面分別和第三個(gè)平面相交，那么它們的兩條交線平

行。

II,夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長相等。

III,如果兩個(gè)平行平面中，有一個(gè)平面和一條直線垂直，那么另一個(gè)平

面也和這條直線垂直。

b,面面垂直

1,定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則稱這兩個(gè)平面互相垂直。

2,判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

3,性質(zhì)定理：1,如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線

垂直于另一個(gè)平面。

II,如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二

個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。

III,如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于

第三個(gè)平面。

c,二面角

定義：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面,

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角。

這條直線叫做二面角的棱。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

兩條射線，兩條線所成的角叫做二面角的平面角。

空間直線，平面的做題方法。

一、空間平行關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理

,_________________面面平行判定定理推論--------------1

▼線面平行面面平行

平行判定定理）判定定理）

線線平行＜3.＞線線平行_________線面平行__________面面平行

4線面平行-,面面平行-

t基本性質(zhì)t

-----------------面面平行性質(zhì)定理-------------------

I,線面平行的判定方法

利用線線平行證線面平行

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖

利用面面平行證線面平行

②向量法（后面講）

③線面平行定義:直線與平面沒有公共點(diǎn)

II,線線平行關(guān)系的判定

常見的線線平行的判斷方法有

"平行公理

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖從線面平行到線線平行

從面面平行到線面平行

②三角形，平行四邊形（菱形，矩形，正方形）梯形中位線性質(zhì)

在找三角形中位線是常常利用平行四邊形（菱形，矩形，正方形）對(duì)角線互相平分

③利用平行線分線段成比例定理推論找平行線

平行于三角形一邊，截其它兩邊或兩邊的延長線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

DE/7BC

,,,ADAE

⑴---=---

DBEC

小ADAEDE

-=---=---

ABACBC

注：反之任取一組比例式可推得DE

〃BC

DE〃BC

DAEADE

AC-AB-BC

注：反之任取一組比例式可推知

DE〃BC

B

④向量法（后面講）

⑤垂直于同一平面的兩條直線平行

例如圖所示：己知E,F,G,M分別是四面體的棱AD,CD,BD,BC的中點(diǎn)，求證:

AM||面EFG

設(shè)計(jì)說明：可以通過面面平行證線面平行

例已知正方體ABCD-棱長為a,E,F分別在A8，BD上，且8后=8F

求證：EFII平面BCCiB

法一：

本題證明從線線平行到線面平

行。在找線線平行時(shí)應(yīng)用平行線

分線段成比例定理推論

法二也是從線線平行到線面平行，

做平行線構(gòu)造平行四邊形證線線

平行

III面面平行關(guān)系的判定

面面平行判定方法

'利用線面平行證面面平行

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖＜

利用線線平行證面面平行

②向量法（后面講）

③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行

④面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)

例三棱柱ABC-ABC，D是BC上一點(diǎn)，且A為1平面ACD，D是RCi中點(diǎn)，

求證：平面平面AC。

例1如圖所示正方體ABCD-ABCD的棱長都是a，M,N分別是下底面棱

ABrB1C

的中點(diǎn)，P是上底面棱AD上一點(diǎn)，AP=-|,過P,M,N的平面交上底面于P,Q,Q在

CD上，貝iJPQ=

二，空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理

線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、

線線垂直二一線面垂直，面面垂直

《線而垂直定義-<面面垂直的性質(zhì)定理—

典型例題

I,線面垂直的判定與性質(zhì)

線面垂直與面面垂直是今后我們要研究的主要問題。問題的關(guān)鍵是線線垂直。

線線垂直的判定方法

①空間線面垂直證線線垂直

②利用三垂線定理

③向量法

④利用勾股定理算垂直

線面垂直的判定方法

'利用線線垂直證線面彝

①空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖<

利用面面垂直證線面彝

②向量法

例1如圖所示,AB圓0的直徑,C為圓0上一點(diǎn)，AP_L面ABC,AE，BP于E,AFJ_CP

于F,

求證：BP,平面AEF

本題通過線線垂直證明線面垂直，在找

線面垂直條件時(shí)采用了三垂線定理和圓

的直徑對(duì)直角的性質(zhì)

練習(xí)：如圖已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，若NPD4=45°

求證：面PCD

提示：取PD中點(diǎn)Q,證AQ與面

PCD垂直，從而利用“線面垂直的

性質(zhì)定理”證MN與面PCD垂直

例2、直三棱柱51Ci—ABC中，M為AC中點(diǎn)

求證：平面BMC

設(shè)計(jì)說明：

①牢牢把握直（正）棱柱，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征對(duì)于研究空間幾何問題（空間平行關(guān)系的判定

與性質(zhì)及空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)）有很大幫助。

②在三視圖的環(huán)境下證明線面，面面關(guān)系是幾何證明的一個(gè)重點(diǎn)

練習(xí)：⑴如圖所示，直三棱柱ABC-ABC中，BC=AC，ACJAB，M,N

是A8,AB的中點(diǎn)，

⑴求證：。陷上面4人⑶區(qū)

⑵求證：A8,AM

⑶求證：平面A"C|_L面NR?

練習(xí)：如圖，在直三棱柱ABC-A31cl中，AB=BC=B8-D為AC的中點(diǎn)

⑴求證：8C||面AFD

⑵若ACJ?面ABD求證：BCJ?面ABBlA

⑶在⑵的條件下，設(shè)AB=1,求三棱錐B-ACl。的體積

II,面面垂直的判定與性質(zhì)

面面垂直的判定方法

①空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖：利用線面垂直證面面垂直

②向量法

例1如圖，AABC為正三角形，EC,平面ABC,BD||CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn),

求證：⑴DE=DA

⑵平面BDM_L平面ECA

⑶平面DEAJ_面ECA

取AC中點(diǎn)N,證明DN||BN再

證BN_L面ECA,利用線面垂

直的性質(zhì)定理知DM上面ECA

最后利用線面垂直證面面垂直

例2已知A5CD中，ZBCD=90,BC=CD=1,AB_L面BCD,NADB=60，邑F

分別是AC,AD上動(dòng)點(diǎn)，且生=n=4（0<；l<l）

ACAD'7

求證：⑴不論;l為何值時(shí)，總有平面BEF_L面ABC

⑵當(dāng)2為何值時(shí)，平面BEFL面ACD

第二問是存在性問題

當(dāng)BEFJ_面ACD時(shí)

由一問可知EF_L面人6?又???BEuABCEF±BEVBEF1面ACD,BEuBEF

面BEFn面ACD=EF；.BE_L面ACD:ACuACDBE±AC

利用射影定理求AE從而求2

設(shè)計(jì)說明：

①本題是存在性問題，解決存在性問題可以把結(jié)論當(dāng)已知探索使得已知成立的充分性條件

②解決與空間幾何有關(guān)的存在性問題最好用向量法

練習(xí)：1、如圖，在矩形ABCI）中，AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn)，EP_L面ABCD

⑴求證：DPJ_面EPC

⑵問在EP上是否存在F,使平面AFDJ_面BFC

問題⑴利用線線垂直證線面垂

直，在尋找線線垂直條件

DP1.AC時(shí)采用“算垂直”的

方法

2、如圖所示在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是ND4B=60，且邊長為a的菱形，側(cè)面

PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD

⑴若G為AD的中點(diǎn)，求證：BGJ■面PAD

⑵求證：AD±PB

⑶若E為BC中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面。石尸_1面〃吃口，并證明你的結(jié)

論

分析：問題⑶是存在性問題，可以把結(jié)論當(dāng)已知找條件，尋找的過程可省略。但本題要求證

明即把條件當(dāng)已知證結(jié)論

1、如圖所示，在四棱柱ABCD-A51clz)1中，已知DC=O￡)1=2AD=2AB,AD1DC,AB||DC

⑴求證：￡)C

⑵設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使￡)盧||面A|BD,并說明理由

一、折疊問題

例如圖，四邊形ABCD中，AC]|BC,AD=AB,ZBCD=45,/氏4。=90'，將AAAD沿

對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)的位置為P,且使平面PBDL面BCD

⑴求證：平面面PDC

⑵在折疊前的正方形ABCD中，做AELBD于E,過E作EF_LBC于F,求在折起后的圖形

中NPFE的正切值

設(shè)計(jì)說明：對(duì)于折疊問題，關(guān)鍵是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件

空間直角坐標(biāo)系及空間向量法

一，空間直角坐標(biāo)系

1、右手系：伸出右手，彎曲四指使得四指與掌面垂直，大拇指向上垂直翹起，四指的方向

為x軸，手掌向里的方向?yàn)閥軸，大拇指的方向?yàn)閦軸，三軸的公共點(diǎn)為z軸

2、卦限：數(shù)軸上原點(diǎn)把數(shù)軸分成正負(fù)半軸。在坐標(biāo)平面上，x軸，y軸把平面分成四個(gè)象限,

在空間三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)卦限

注:建系時(shí)最好建成右手系，并且盡量把圖形放在第一卦限，在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上的點(diǎn)越

多越好，關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)越多越好

一、空間直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)：

求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是找該點(diǎn)在x軸，y軸，z軸上的坐標(biāo)分量

已知正方體AByCiD~ABC。棱長為2,如圖所示以正方體的中心O為原點(diǎn)建立空間

直角坐標(biāo)系

1、在軸上點(diǎn)的坐標(biāo)：

尸￡入軸P(X,O,O)Pwy軸P(0,y,0)Pwz軸p(0,0,z)

2、在坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)

面上，P(x,y,0)Peyoz平面上,P(0,y,z)PEMZ平面上,P(x,0,z)

xi+%2y+>2Zi+z

3、已知乩卬乂2)，取2,乂,Z2)則AB中點(diǎn)p2

22

4、與P(x,y,z)關(guān)于定點(diǎn)A(a,b,c)對(duì)稱點(diǎn)的手)[(2。一x,2a-y,2a-z)

5,關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

與P(x,y,z)關(guān)于xoy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)尸|(x,y,-z)

與P(x,y,z)關(guān)于xoz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)尸4x,-y,z)

6、若P點(diǎn)在xoy面的射影為L點(diǎn)，則P點(diǎn)與A點(diǎn)的x,y軸分量相同，P點(diǎn)z軸分量為P點(diǎn)

到面xoy的距離

二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

注：空間向量的加法，減法，數(shù)乘的幾何意義；兩個(gè)向量的共線條件；向量的內(nèi)積運(yùn)算公式

與平面向量完全相同

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式

若B(XrX，Z)Q，為Z2)則疝=(X2%一%Z2-Z1)

若己知QL，X，Z)，

加減法：Q士力=L±E，X士/Z1+Z2)

數(shù)乘：=

++

內(nèi)積：ab=xiXiyly2Zi-z2

模aX+y+zi

其它一些常用公式

a±b+b±2aba+bj^a-b

++

a-1-b^x1-x2yi-y2zcZ2=0

設(shè)直線a的方向向量為Q,直線b的方向向量為方

三、直線的方向向量與平面的法向量

注：直線的方向向量與平面的法向量都不取零向量

1、直線的方向向量：在直線上或與直線平行的向量叫做直線的方向向量

2、平面的法向量：和平面上兩條不共線向量都垂直的向量叫做平面的法向量

下面介紹平面法向量的求法

->—>—>—>—）

例：已知：已知〃=（1,i,o），b=（0,1,1）,求a與匕的法向量〃

設(shè)〃（%，y，z）

na=0

n1-b^nb=0

.fx+y=0

...V

y+z=0

由于x每給一個(gè)值，就各有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的y值和z值，由此說明一個(gè)平面的法向量有無窮

多個(gè)，這和常識(shí)也是相符的，我們只需取其中一個(gè)法向量即可

令x=l,y=-l,z=l

"（LT」）

一、向量法分析空間線線，線面，面面的位置關(guān)系

->->TT

I,分別為直線l,m的方向向量;〃],〃2分別為平面的法向量

㈠線線平行：

1、文字語言：兩直線的方向向量平行則線線平行

2、圖形語言：

在這里強(qiáng)調(diào)/=2mn"相（/LeR）

但反之不對(duì)，當(dāng)加=0，/#0時(shí)，這是不可以的

這樣寫正確:

7"一

—>

min

3、符號(hào)語言：

—>—>—>—>

/=，機(jī)=/IImzIIm(2eR)

㈡線面平行：

i、文字語言：如果直線的方向向量與平面的法向量垂直，則線面平行

2、圖形語言：

3、符號(hào)語言：/?%=0=>/_L%=>/1|a

㈢面面平行：

1、文字語言：如果兩個(gè)平面的法向量共線則面面平行

2、圖形語言：

3、符號(hào)語言：

—>—>—>—>

〃2n"〃2na”萬

㈣線線垂直：

1、文字語言：兩直線的方向向量垂直則線線垂直

2、圖形語言：

->->—>—>

n

3^符號(hào)語言：I.幾=。=I上/Tl=I上'

㈤線面垂直：

1、文字語言：如果直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條不共線向量垂直則線面垂直

2、圖形語言：

〃,人<=。且〃與/?不共線,〃/=0,/?/=0=>/_1。

因面面垂直：

1、文字語言：如果兩個(gè)平面的法向量垂直則面面垂直

2、圖形語言：

3、符號(hào)語言:

—>—>—>—>

"1=°n幾1〃2nal尸

二、空間角

㈠空間角的范圍

1、線線角的范圍b，9012、異面直線所成角的范圍（0°，90°]

3、線面角的范圍b，90°]4、斜線與平面所成的角范圍（0,90°1

5、二面角的范圍[0M80°]6、向量夾角范圍b0480°l

7、直線的傾斜角范圍Io，180°）

㈡空間角的定義：

1、異面直線所成角的定義：略

2、斜線與平面所成角的定義：斜線與平面所成的角等于斜線與它在這個(gè)平面上的射影所成

如圖1為平面a的垂線，m為

平面a的斜線，n為斜線m在

平面a上的射影

注：求線面角關(guān)鍵找與斜線有

交點(diǎn)的平面的垂線

注：在用定義法求線面角時(shí)常會(huì)用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理（特別是線面垂直的判定定理，

線面垂直定義，面面垂直性質(zhì)定理），三垂線定理及推論，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱

錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法

例：已知正三棱柱ABCA81cl的側(cè)棱長與底面邊長相等，則481與側(cè)面4。（714所

成角的正弦值

答案：—

4

練習(xí)：⑴在長方體ABCD-AACJDI中，AB=BC=2AA=L則BQ與平面

88D。所成角的正弦值

iVio

答案：——

5

⑵正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1,則側(cè)棱與底面所成角為

答案：45"

3、二面角的定義：在二個(gè)平面內(nèi)各引一條與交線垂直的直線，這兩條垂線所成的角就是這

兩個(gè)平面所成的二面角的平面角

mua,nu/3,a/3-l,m,nLI

3#=（八力

二面角的求法：

i）定義法：在用定義法求二面角時(shí)常會(huì)用到空間平行及垂直關(guān)系相關(guān)定理，三垂線定理及

推論，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法

利用定義計(jì)算二面角常常使用余弦定理。

例1己知己知正四棱錐的體積是12,底面對(duì)角線長2點(diǎn)，則側(cè)面與底面所成的二面角等于

答案：-

3

ii）平移交線法，截面法與截面法

例2已知正三棱柱ABC-ABICI的底面邊長是2,高為1，過頂點(diǎn)A做一平面a,與側(cè)

面8CCB交于EF，且EFIIBC,若平面a與底面ABC所成二面角大小為x（o<x,

四邊形BCEF的面積為y,則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是：答案：C

AA

圖2

圖1

法一：平移交線法如圖1

VEF||BC,EFZ面ABC,BCu面ABC

；.EF||面ABC

設(shè)面AEFC面ABC=1

又：EFu面AEF

.?.EF||1

取EF中點(diǎn)M,BC中點(diǎn)N

則AN_LEF,AN1EF

則/肱4N就是面AEF與面ABC所成的二面角的平面角

注：在本題中很難找到面AEF與面ABC的交線，故在圖形中找一條與交線平行的直線EF,

在這兩個(gè)平面內(nèi)引EF的垂線，從而找到二面角的平面角

注：求空間角時(shí).，空間角大多是特殊角，對(duì)于非特殊角題目一般要求求空間角的某個(gè)三角函

數(shù)值。若題目特別強(qiáng)調(diào)用反三角函數(shù)表式，利用下面公式

公式一：若sina=m(ae,me

則a—arcsin/?:

公式二：若cosa=Emc

貝ija-arccosm

公式三:若tana=/{ae（一]，加為常實(shí)數(shù)

則a=arctanm

1jr

例：①sina=—0,—，求a

3[_2_

②cosa」,a￡0二，求a

3L2.

③tana=—G0,工），求a

3L2；

通過本題引出下面公式

常用公式：

arcsin-x=-arcsinx

arccos-x=冗一arccosx

tan-x=-arctanx

171

練習(xí)：①cosa=一,Ct€5')求a

3

②tana=——,ae|-,0求a

3I2

三、向量法求空間角

㈠向量法求線線角：空間兩條直線所成的角與它們方向向量所成的角相等或互補(bǔ)

—>

綜上:

Im

|cos。,昉|=0,^-=

m

㈡向量法求線面角：空間直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面法向量所成的角互

余，或比向量角小生JT

2

〃1基線為a的垂線

綜上：|sin〈/,a)|=由w0《故sin(/,a)=|j|

㈢空間向量的方法求二面角，方法一：內(nèi)積法

如圖所示，在兩個(gè)平面a,△內(nèi)以交線上的點(diǎn)為起點(diǎn)各引一條與交線垂直的向量薪,7

mua,riu°,ac0=i，m，〃工I

〈。，月〉=(相，〃

例：已知直角MBC中，NC=9O',NB=3O，AB=4,D為AB的中點(diǎn)，沿中線將A4CD

折起使得AB=J1J,則二面角A-CD-B的大小為

B

對(duì)于折疊問題，關(guān)鍵是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件

解：作AELCfBEd.CF'

二面角A-CD-B等于（血,￡4

->T—>

AB=AE+EF+FB

fT->2

=AE+EF+FB

22

—>—?->->T->->->

AE+EF4-FB^AEFB^EFFB+^AEEF

->

=6,EF=2,FBf

--3

AEFB=&

危曲」〉o

CO：

AEFB)=—>2

AEFB

又???，血)e[0㈤

M足閑=?

-^EAFB

方法二：坐標(biāo)法

mua,nuB、ac°=I,m.nVI

綜上：

|co《a,或=co《幾］,小），3夕）e［。，萬］

為銳角

cos（a，4）=<

co：色,用為鈍角

注：①求二面角是二面角一般為銳角或鈍角很少求直角，零角或平角

②二面角的性質(zhì)可以直觀觀察得到

四、空間向量方法求空間點(diǎn)到平面的距離

OBn

d（0,a）=

典例

一、向量法確定空間線線，線面，面面位置關(guān)系，求空間角及空間點(diǎn)到平面的距離

注：①應(yīng)用向量法研究空間幾何問題的關(guān)鍵是建系及確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，

②在建系時(shí)最好建立右手系（在原圖形上找或作三條有公共點(diǎn)且兩兩垂直的線段做為坐標(biāo)

軸），在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)越多越好，關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)越多越好

③在建系時(shí)會(huì)用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理（線面垂直的判定定理，線面垂直定義，面面垂直

的性質(zhì)定理），線面角的定義，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

④確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)必要時(shí)時(shí)可以設(shè)參數(shù)表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)，但參數(shù)用得越少越好如軸上點(diǎn)

的坐標(biāo)可用一個(gè)參數(shù)表示;坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)參數(shù)表示;已知線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，

只需一個(gè)參數(shù)就可以表示該線段上任意點(diǎn)坐標(biāo)（利用向量共線條件）如下圖

ACB

--------------\-----

若已知A,B坐標(biāo)設(shè)C（x,y,z）

的"設(shè)4乙=，燦可求點(diǎn)?坐

標(biāo)

例在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直

角梯形，ZABC=Z5AD=90°,PA=BC=（A。

⑴求證：面PACJ_面PCD

⑵在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE||面PAB?若存在確定E的位置，若不存在說明理由

面PAB的法向量為AD（0,2,0）

要想CE||面PAB必須3）-LCE

-ADCE=Q

/.y=1

PEWPD[PD*6]=>pk=^pb

可求點(diǎn)E坐標(biāo)

注：解決存在性問題，把結(jié)論當(dāng)已知，從結(jié)論出發(fā)，找是結(jié)論成立的條件

練習(xí)1、如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，NAC6=90'，AC=BC=a,D,E分別為棱

AB,BC的中點(diǎn)，M為AA】上的點(diǎn)，二面角M-DE-A為30°

⑴證明：

答案：-

4

2、（07高考全國H）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD_L底面

ABCD,E,F分別為AB,SC的中點(diǎn)，

⑴證明:EFUffiSAD

⑵設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的正切值

答案：V2

例2：07福建正三棱柱ABC-31cl中，所有棱長為2,D為CO1中點(diǎn),

⑴求證：A3J面AFD

⑵求二面角A—AiD-B的正弦值

⑶求C到平面A|BD的距離

取AB的中點(diǎn)0,則C01.AB

又?.,面ABC1?面AC|，OCu面ABC,面ABCc面AC=AB

???OCJ.面AC

再取51cl的中點(diǎn)F如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

注：本題在建系時(shí)使用了面面垂直性質(zhì)定理及正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

練習(xí)1、（08全國I）如圖，四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABCJ_底面BCDE,

BC=2,CD=V2,AB=AC

⑴證明：ADICE

⑵設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C-AD-E的余弦值

取BC,DE中點(diǎn)0,F

證AO_L面BCDE

答案「巫

10

2、如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，止后,AF=1,M是線段EF

的中點(diǎn)

⑴求證：AM||面BDE

⑵試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CD所成角是60

答案:樗多

例3（08湖南）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的菱形，60°，E是CD的中點(diǎn),

PA_L底面ABCD,PA=2

證明：平面PBEJ_面PAB

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

本題難點(diǎn)在于確定P點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)在xoy面上的射影是A點(diǎn)，故P點(diǎn)和A點(diǎn)的x,y軸分量相

同，P點(diǎn)z軸分量為P點(diǎn)到xoy面的距離即為線段PA長

如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABC。-ABiCiDi，經(jīng)平面AEFG所截

后得到的圖形，其中NBAE=ZGAD=45,AB=2AD=2ZBAD^60

⑴求證：BDLAD（J1

⑵求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值

答案：后

如圖，四棱錐P-ABCD中，PBL底面ABCD,CDL>D,底面ABCD為直角梯形，AD||BC,AB±

BC,AB=AD=PB=3,點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA,

⑴求異面直線PA與CD所成的角

⑵求證：PC||面EBD

⑶求二面角A—BE—D的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）

(3,3,0)

X

⑴本題重點(diǎn)不是建系也不是求空間角和分析空間線面關(guān)系，而是用向量法確定點(diǎn)的坐標(biāo)

—>—>

解：(DC(0,y,O),CZ)(3,3-y,O),P￡)(3,3,—3)

—>—>

CD1PD,??CDPD=0,/.y=6

C(0,6,0)

E(x,0,z)

—>->

PE=2EA

(x,0,z-3)=(6-2x,0,-2z)

x=6-2x=>x=2

<

z-3=-2z=>z-1

E(2,0,z)

以下略

二、地球經(jīng)緯度問題

例設(shè)地球半徑為R,在60°緯線圈上有A，B兩地，它們?cè)诰暰€圈上的弧長是:成，則A,

B兩底的球面距離是

注：①A,B兩地球面距離也稱A,B兩地最短距離，它等于A,B兩點(diǎn)所在的大圓的劣弧長

②緯線圈與赤道面平行，緯線圈是小圓，赤道面是大圓，經(jīng)線圈是半圓，0度經(jīng)線是本初子

午線

③緯度：在緯線圈上任取一點(diǎn)和球心連線所得的地球半徑與赤道面所成的線面角，

緯線圈與赤道面平行

0為緯線圈的圓心，

O為球心，00,與緯線

圈及赤道面垂直，

r為緯線圈的半徑，R為

球的半徑，

。等于緯線圈的維度

④經(jīng)度：經(jīng)線所在的半平面與本初子午線(0度經(jīng)線)所在的半平面所成的二面角

解：利用上圖可知r=?,作出緯圓如下圖

2

I=ra

1nR

—TIR=-a

22

a-7i

AB=2r=R

作出通過A,B兩點(diǎn)的大圓

jr

O為球心，y——

3

v/AB=3-R

二、頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移的方法求體積

已知正三棱柱ABC-ABC中，底面邊長為2,高為1，則點(diǎn)8到平面ABC的距離

為

Ca

A、5/3B、C、2D->—

22

設(shè)8到面ABC距離為九

A到面BBC距離為人

3hSAABC-3用2S^BBG

_h2sB、BC

??用I=一^-------

3AABC

d（A，面BCB）=d（A，面CCBB）

取BiC中點(diǎn)D，連AiD

可證A。_L面3Bcc，A。="=6

S、B,BC=2S矩形BBSC=1

SAA/c=2,h\=去

注：本題除了用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移的方法求體積同時(shí)還涉及把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離

空間幾何體

一、空間幾何體的分類

棱柱

多面體棱錐

棱臺(tái)

空間幾何體《

'圓柱

旋轉(zhuǎn)體圓錐

圓臺(tái)

二、柱錐臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱：有兩個(gè)平行的面，這兩個(gè)平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的側(cè)面，側(cè)

面是平行四邊形，相鄰側(cè)面的公共邊是棱柱的側(cè)棱，棱柱的側(cè)棱平行且相等

棱柱的特征簡記為：底面平行，側(cè)面是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等

2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形（底面），其它各面（側(cè)面）都是有公共頂點(diǎn)的三角形，相鄰兩

側(cè)面的公共邊叫側(cè)棱。

注意：棱錐的側(cè)棱相交于一點(diǎn)

3、棱臺(tái)：用平行于棱錐底面的截面取截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺(tái)

注：棱臺(tái)是用棱錐截出來的，所以棱臺(tái)側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)

多面體用頂點(diǎn)字母命名如棱柱ABC—A80棱錐V-ABC,棱臺(tái)ABC—ABC

對(duì)于棱柱和棱臺(tái)也可用對(duì)角線頂點(diǎn)字母命名如棱柱ACi

注：在同一條棱上的字母對(duì)應(yīng)著寫

4、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征：

三、棱柱分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱的分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

惻棱與底面垂直的棱柱）直棱;柱

棱柱’側(cè)棱與底面不垂直的棱柱）斜棱柱

特別地：底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱

側(cè)面與底面延白.的四棱林>直四棱，柱底面是矩形的直.四棱柱,長方體

四棱柱4

側(cè)面與底面不垂”工的四樓柱,斜四棱柱

底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，顯然正四棱柱是特殊的長方體，棱長都相等的長方體

是正方體

｛正方體｝U｛正四棱柱｝U｛長方體｝U｛直四棱柱｝

注：重點(diǎn)掌握直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

側(cè)棱與底面垂直側(cè)棱與底面垂直

側(cè)面與底面垂直側(cè)面與底面垂直

直棱柱的結(jié)構(gòu)特征正棱柱的結(jié)構(gòu)特征4

側(cè)面是矩形側(cè)面是全等的矩形

底面是多邊形底面是正多邊形

想一想：能不能說出直三棱柱與正三棱柱與正四棱柱的的結(jié)構(gòu)特征?

側(cè)棱與底面垂直側(cè)棱與底面垂直

側(cè)面與底面垂直側(cè)面與底面垂