江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章計數(shù)原理7.4二項式定理7.4.1二項式定理分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第二冊

7.4.1二項式定理基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.在(1-2x)6的綻開式中,x3的系數(shù)為()A.20 B.-20C.160 D.-1602.在x-6的綻開式中,常數(shù)項為()A.256 B.240C.192 D.1603.若S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,則S等于()A.x4 B.x4+1C.(x-2)4 D.x4+44.若在(1+3x)n(n∈N*)的綻開式中,第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為()A.4 B.27C.36 D.1085.1-(1+x)6的綻開式中x2的系數(shù)為()A.-5 B.5 C.15 D.306.在x2-9的綻開式中,第4項的二項式系數(shù)是,第4項的系數(shù)是.

7.x3+6的二項綻開式中x6的系數(shù)為-160,則a=.

8.已知在-n的綻開式中,第2項與第4項的二項式系數(shù)之比為1∶12.(1)求正整數(shù)n的值;(2)求綻開式中的常數(shù)項.實力提升練9.使3x+n(n∈N*)的綻開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A.4 B.5C.6 D.710.已知(1+ax)(1+x)5的綻開式中x3的系數(shù)為15,則a的值為()A. B.C. D.111.(多選題)若x+6的二項綻開式中的常數(shù)項為15,則實數(shù)m的值可能為()A.1 B.-1C.2 D.-212.(多選題)在2x-4的綻開式中有理項為()A.16x4 B.8x2C.24x D.13.(多選題)若二項式x-k的綻開式中含x2的項,則k的取值可能為()A.6 B.8C.10 D.1414.若x+n的綻開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等,則該綻開式中的系數(shù)為.

15.已知-n的綻開式中第三項的系數(shù)比其次項的系數(shù)大162,求:(1)n的值;(2)綻開式中含x3的項;(3)二項綻開式中的常數(shù)項;(4)二項綻開式中的全部有理項.拓展探究練16.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的綻開式中含x2的項;(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的綻開式中含x的項的系數(shù)為12,那么當(dāng)m,n為何值時,含x2的項的系數(shù)取得最小值?7.4.1二項式定理1.D(1-2x)6的綻開式的通項為Tr+1=·(-2x)r=(-2)r··xr,則x3的系數(shù)為(-2)3·=-160.故選D.2.B二項式x-6的綻開式的通項為Tr+1=x6-r·-r=(-2)r,令6-r=0,解得r=4,所以T4+1=x0(-2)4=240.故選B.3.AS=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4.故選A.4.D(1+3x)n的通項為Tk+1=(3x)k,由=6,得n=4,從而T4=·(3x)3,故第四項的系數(shù)為×33=108.5.A(1+x)6的綻開式的通項為Tr+1=xr,當(dāng)r=2時,x2的系數(shù)為=15;當(dāng)r=3時,x3的系數(shù)為=20.所以1-(1+x)6的綻開式中x2的系數(shù)為15-20=-5.故選A.6.84-x2-9的通項為Tk+1=·(x2)9-k·-k=-k··x18-3k,當(dāng)k=3時,T4=-3··x9=-x9,所以第4項的二項式系數(shù)為=84,項的系數(shù)為-.7.-2x3+6的二項綻開式的通項為Tr+1=·ar·x18-4r,令18-4r=6,解得r=3,可得二項綻開式中x6的系數(shù)為·a3=-160,則a=-2.8.解(1)∵第2項與第4項的二項式系數(shù)之比為1∶12,∴∶=1∶12,即=,化簡可得n2-3n-70=0,解得n=10(負(fù)值舍去).(2)由(1)得二項式綻開式的通項為Tr+1=()10-r·-r=(-2)r,令=0,則r=2,∴常數(shù)項為第3項,即T3=(-2)2×=180.9.BTr+1=(3x)n-rr=3n-r,當(dāng)Tr+1是常數(shù)項時,n-r=0,當(dāng)r=2,最小的n=5時成立.10.C(1+ax)(1+x)5的綻開式中含x3的項為x3+ax·x2=(10+10a)x3,所以10+10a=15,解得a=.故選C.11.AB二項式x+6的綻開式的通項為Tr+1=x6-rr=mr,令6-r=0,得r=4,所以常數(shù)項為m4=15,m4=1,得m=±1,故選AB.12.ACD二項式的綻開式的通項為Tr+1=(2x)4-r·-r=·24-r·(-1)r.因為r∈{0,1,2,3,4},又4-∈Z,所以r=0,2,4.當(dāng)r=0時,T1=24x4=16x4,故A正確;當(dāng)r=2時,T3=·22·(-1)2x=24x,故C正確;當(dāng)r=4時,T5=·20·(-1)4x-2=,故D正確.故選ACD.13.BD二項式x-k的綻開式的通項為Tm+1=·xk-m·(-x-2)m=(-1)m··xk-3m,由題意,得故k=3m+2,m∈N,故k是被3除余2的正整數(shù),故8,14符合題意.故選BD.14.56由題意知=,∴n=8.∴Tk+1=·x8-k·k=·x8-2k,當(dāng)8-2k=-2時,k=5,∴的系數(shù)為=56.15.解(1)-n的綻開式的通項為Tr+1=()n-r·-r=(-2)r,r=0,1,…,n,由題意可得4-(-2)=2n(n-1)+2n=2n2=162,解得n=9(n=-9舍去).(2)由(1)可得-n的綻開式的通項為Tr+1=(-2)r,r=0,1,…,9,令=3,可得r=1,則含x3的項為-18x3.(3)令=0,可得r=3,則常數(shù)項為(-2)3=-672.(4)要求綻開式中的有理項,只需為整數(shù),其中r∈{0,1,…,9},可得r=1,3,5,7,9,則二項綻開式中的全部有理項為-18x3,-672,-4032x-3,-4608x-6,-512x-9.16.解(1)當(dāng)m=3,n=4時,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.因為(1+x)3的綻開式的通項為xr,(1+2x)4的綻開式的通項為(2x)k,所以f(x)g(x)的綻開式中含x2的項為1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)