浙江省杭州市2024-2025學年高二數學上學期第一次階段性測試含解析

Page20浙江省杭州市2024-2025學年高二數學上學期第一次階段性測試一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.過點和點直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系、斜率的計算公式即可得出．【詳解】設直線的傾斜角為，斜率為，則，又，．故選：C．2.復數，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解．【詳解】，．故選：D．3.如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設，則、、的值分別是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點公式即可得出．【詳解】、分別是對邊、的中點，，．，因此，．故選：D4.一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據斜二測畫法的過程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個頂點在原圖形中對應的點，用直線段連結后得到原四邊形，再計算平行四邊形的面積即可．【詳解】還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，；所以原圖形的面積為．故選：D5.如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，其中，則點到平面的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，從而，，設平面的法向量為則，即令，則，為平面的法向量故點到平面的距離故選.6.在所在的平面內，點滿意，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，為的外心，推導出，，由此可求得的值.【詳解】在所在的平面內，點滿意，則為的外心，如下圖所示：取的中點，連接，則，，同理可得，因此，故選：A.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數量積的幾何意義．詳細應用時可依據已知條件的特征來選擇，同時要留意數量積運算律的應用．7.如圖：在中，內角，，的對邊分別為，，.已知，，點是邊的中點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據，由正弦定理得到，再利用余弦定理求得，然后分別在和中，利用余弦定理得到，，然后兩式相加整理得到a，b的關系，然后在中，利用余弦定理再得到a，b的關系，結合求得b,再利用三角形面積公式求解.【詳解】因為，由正弦定理整理得：，由余弦定理的，因為，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式相加整理得：，在中，由余弦定理得：，整理得：，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.8.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）A.平面平面 B.異面直線與所成的角為C.二面角的大小為 D.在棱上存在點使得平面【答案】D【解析】【分析】依據線面垂直，異面直線所成角的大小以及二面角的求解方法分別進行推斷即可．【詳解】解：對于，取的中點，連，，側面為正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等邊三角形，，，平面，平面平面，故正確，對于，平面，，即異面直線與所成的角為，故錯誤，對于，底面為菱形，，平面平面，平面，，，，”則是二面角的平面角，設，則，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小為，故錯誤，對于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，明顯平面與平面不垂直，故A錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查空間直線和平面位置關系以及二面角的求解，依據相應的推斷和證明方法是解決本題的關鍵．綜合性較強，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.某團隊共有20人，他們的年齡分布如下表所示，年齡28293032364045人數1335431有關這20人年齡的眾數、極差、百分位數說法正確的有（）A.眾數是32 B.眾數是5 C.極差是17 D.25%分位數是30【答案】ACD【解析】【分析】依據人數最多確定眾數；最大值減去最小值為極差；利用分位數的定義求解25%分位數.【詳解】年齡為32的有5人，故眾數是32，A正確，B錯誤；45-28=17，極差為17，C正確；因為，所以，故25%分位數是30，D正確.故選：ACD10.設復數在復平面內對應的點為Z，原點為O，為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若點Z的坐標為，且是關于的方程的一個根，則C.若，則的虛部為D.若，則點的集合所構成的圖形的面積為【答案】BD【解析】【分析】舉反例可推斷A；依據復數相等列方程組可解p、q，然后可推斷B；由虛部概念可推斷C；利用兩圓面積相減可推斷D.【詳解】A中，令，則，故A錯誤；B中，若點Z的坐標為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯誤；D中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點集合所構成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD11.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事務“第一次取出的球的數字是4”，乙表示事務“其次次取出的球的數字是5”，丙表示事務“兩次取出的球的數字之和是6”，丁表示事務“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）A.甲與乙互斥 B.丙與丁互斥C.甲與丁相互獨立 D.乙與丙相互獨立【答案】BC【解析】【分析】干脆由互斥事務的概念推斷A、B選項；計算出甲、乙、丙、丁事務的概率，由獨立事務概率公式推斷C、D選項即可.【詳解】由題意可知，兩點數和為6的全部可能為，兩點數和為7的全部可能為，甲乙丙丁，對于A選項，甲與乙可以同時發(fā)生，故選項A錯誤；對于B選項，丙與丁不行能同時發(fā)生，故選項B正確；對于C選項，（甲丁）（甲）（?。?，故選項C正確；對于D選項，（乙丙）（乙）（丙），故選項D錯誤.故選：BC.12.在中，角所對的邊分別為，給出下列四個命題中，其中正確的命題為（）A.若，則；B.若，則；C.若，則這個三角形有兩解；D.當是鈍角三角形.則.【答案】BCD【解析】【分析】A，求出，即可由正弦定理求出；B，由得出，即得，由正弦定理即可推斷；C，由正弦定理解三角形即可推斷；D，由和的正切個數化簡可推斷.【詳解】對于A，若，，，由正弦定理可得，故A錯誤；對于B，，且在單調遞減，若，則，由三角形中大邊對大角得，再由正弦定理得，故B正確；對于C，由正弦定理得，則，因為，故有兩解，故C正確；對于D，在中，，則，當是鈍角三角形，若或為鈍角，則，滿意；若為鈍角，則，即，滿意，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查正弦定理的應用，考查和的正切公式的應用，屬于基礎題.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線經過點，且與軸平行，則________.【答案】【解析】【分析】由與軸平行，得、的橫坐標相等，可得的值．【詳解】因為直線經過點，且與軸平行，所以直線與軸垂直，故A、的橫坐標相等，則．故答案為：14.已知一個圓錐的側面綻開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】首先依據題意得到，解得，再分別計算側面積和底面積即可.【詳解】解：設圓錐的半徑為，由題知：，解得.所以圓錐的底面積為，圓錐的側面積為.所以表面積.故答案為：.15.由10個實數組成的一組數據，方差為，將其中一個數3改為1，另一個數6改為8，其余的數不變，得到新的一組數，方差為，則__________.【答案】2【解析】【分析】依據平均數的性質，結合方差的定義進行求解即可.【詳解】因為其中一個數3改為1，另一個數6改為8，其余的數不變，所以新的一組的平均數與原一組數的平均數不變，設為，沒有變更的8個數分別為：，所以有，，因此，故答案為：216.在等腰梯形中，，，是腰上的動點，則的最小值為______________.【答案】【解析】【分析】以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，用坐標表示出，即可求出．【詳解】解：以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，如圖所示，因為，過點作交于點，所以，所以，即，所以，，設，其中，，，，，當時，取最小值．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，BC＝CD＝2，∠ADC＝150°，∠BCD＝120°．（1）求BD的長；（2）求∠BAD的大小．【答案】（1）；（2）45°.【解析】【分析】(1)在ΔBCD中由余弦定理可解得;(2)在ΔADB中，由正弦定理可解得.【詳解】解：（1）如圖:在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，由余弦定理得，，∴.（2）在ΔBCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CDB=∠CBD=30°∵∠ADC=150°∴∠ADB=120°在ΔADB中，由正弦定理得，∵∴∴∵為銳角∴∠BAD=45°.點睛】本題考查了余弦定理和正弦定理,屬于中檔題.18.某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教化活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教化活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取n名，獲得了他們一周參與主題教化活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教化活動時間在內的人數為92．（1）求n的值；（2）以每組數據所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教化活動時間的中位數（中位數精確到0.01）．（3）假如安排對參與主題教化活動時間在內的黨員干部賜予嘉獎，且在，內的分別評為二等獎和一等獎，那么依據分層抽樣的方法從獲得一、二等獎的黨員干部中選取5人參與社區(qū)義務宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據頻率分布直方圖性質，求出，再計算即可．（2）設中位數為，由，求出即可．（3）列舉出全部的基本領件及滿意條件的事務，再求出這2人均是二等獎的概率．【小問1詳解】由已知可得，．則，得．【小問2詳解】設中位數為，則，得．【小問3詳解】依據分層抽樣的方法從，內選取的人數為，從，內選取的人數為．記二等獎的4人分別為，，，，一等獎的1人為，事務為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎”．從這5人中隨機抽取2人的基本領件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人均是二等獎的狀況有，，，，，，共6種，由古典概型的概率計算公式得．19如圖，平行六面體中，，.（1）求對角線的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）3；（2）0.【解析】【分析】（1）依據空間向量的加減運算以及向量模的運算、數量積運算，可得長度；（2），，得到，可得異面直線與所成角的余弦值．【小問1詳解】由，，得到以向量為基底，，①，同理可得，①平方得，所以【小問2詳解】，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．20.某校設計了如下有獎闖關嬉戲:參賽選手按第一關,其次關,第三關的依次依次闖關,若闖關勝利,分別獲得5個學豆,10個學豆,20個學豆的嘉獎,嬉戲還規(guī)定,當選手闖過一關后,可以選擇帶走相應的學豆,結束嬉戲;也可以選擇接著闖下一關,若有任何一關沒有闖關勝利,則全部學豆歸零,嬉戲結束.設選手甲第一關,其次關,第三關闖關勝利的概率分別為,,,選手選擇接著闖關的概率均為,且各關之間闖關勝利與否互不影響.(1)求選手甲第一關闖關勝利且所得學豆為零的概率;(2)求該選手所得學豆總個數不少于15的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設甲“第一關闖關勝利且所得學豆為零”為事務A，“第一關闖關勝利其次關闖關失敗”為事務，“前兩關闖關勝利第三關闖關失敗”為事務，則，互斥，由此利用互斥事務概率加法公式能求出選手甲第一關闖關勝利且所得學豆為零的概率；（2）該選手所得學豆總個數可能為0，5，15，35，先用相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式計算出總個數為15和35時所對應的概率，再相加即可.【詳解】(1)設“甲第一關闖關勝利且所得學豆為零”為事務A，“第一關闖關勝利其次關闖關失敗”為事務，“前兩關闖關勝利第三關闖關失敗”為事務，則，互斥.，，，所以選手甲第一關闖關勝利且所得學豆為零的概率為.(2)由題意得該選手所得學豆總個數可能為0，5，15，35，且“該選手所得學豆總個數為15”的概率為，“該選手所得學豆總個數為35”的概率為.所以“該選手所得學豆總個數不少于15”的概率為.【點睛】本題考查概率的求法，解題時要仔細審題，留意互斥事務概率加法公式、相互獨立事務概率乘法公式的合理運用，屬于中檔題.21.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(