新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式【課標(biāo)解讀】1.理解等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念．2．駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點(diǎn)】要點(diǎn)一等比數(shù)列的概念(1)文字語言：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第________項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于________常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列?，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母________表示．(2)符號(hào)語言：an+1an＝q?(q為常數(shù)，n∈批注?比是有依次的，不能有0項(xiàng)！批注?公比q是除0之外的隨意實(shí)數(shù)，當(dāng)q＝1時(shí)，此時(shí)為常數(shù)列，也是等差數(shù)列．要點(diǎn)二等比中項(xiàng)在兩個(gè)數(shù)a，b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．?.批注?只有當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)a、b才有等比中項(xiàng)，并且有兩個(gè)等比中項(xiàng)，分別是ab與－ab；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)沒有等比中項(xiàng)．要點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m?，變形得qn－m＝an批注?等比數(shù)列的隨意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示．要點(diǎn)四等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一個(gè)不為0的常數(shù)a1q與指數(shù)函數(shù)qx的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列a1q【夯實(shí)雙基】1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng)．()(2)常數(shù)列a，a，a，a，…肯定是等比數(shù)列．()(3)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，則{an}肯定是等比數(shù)列．()(4)任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)．()2．下列數(shù)列是等比數(shù)列的是()A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．13，3．2＋3和2－3的等比中項(xiàng)是()A．1B．－1C．±1D．24．在等比數(shù)列{an}中，a1＝32，公比q＝－12，則a6題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本運(yùn)算例1在等比數(shù)列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[聽課記錄]【方法總結(jié)】等比數(shù)列中求a1和q的2種常用方法鞏固訓(xùn)練1(1)[2024·山東安丘高二期中]已知等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＝9，則a5＝()A．27 B．36C．54 D．81(2)[2024·河北宣化一中高二期末]若等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，則數(shù)列{an}的公比為()A．－2 B．2C．－3 D．3題型2等比中項(xiàng)的應(yīng)用例2(1)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)依次為x，2x＋2，3x＋3，求實(shí)數(shù)x的值；(2)已知等比數(shù)列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中項(xiàng)．[聽課記錄]【方法總結(jié)】等比中項(xiàng)應(yīng)用的三點(diǎn)提示鞏固訓(xùn)練2(1)若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則abA．±12 B．C．1 D．±1(2)假如－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么b＝________，ac＝________．題型3敏捷設(shè)元求解等比數(shù)列問題例3(1)有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，將這四個(gè)數(shù)分別減去1，1，4，13成等差數(shù)列，則這四個(gè)數(shù)的和是________．(2)有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個(gè)數(shù)．[聽課記錄]【方法總結(jié)】幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法1．三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為aq，a，aq推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為…，aq2，aq，a，2．四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為aq3，aq，推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為…，aq5，aq3，aq3．四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號(hào)是否相同時(shí)，可設(shè)為a，aq，aq2，aq3.鞏固訓(xùn)練3在2和20之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個(gè)數(shù)的和為()A．－4或352 B．4或C．4 D．354．3等比數(shù)列4．3.1等比數(shù)列的概念第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一2同一個(gè)q(q≠0)要點(diǎn)三a1qn－1[夯實(shí)雙基]1．(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：A、B、C均不滿意定義中an+1an＝q答案：D3．解析：設(shè)2＋3和2－3的等比中項(xiàng)為a，則a2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a＝±1.故選C.答案：C4．解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a1＝32，公比q＝－12所以a6＝a1·q5＝32×(－12)5答案：－1題型探究·課堂解透例1解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q.(1)方法一：因?yàn)閍4=由②①得q3＝4，從而q＝34，而a1q于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1方法二：因?yàn)閍7＝a4q3，所以q3＝4，q＝34所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝2(2)方法一：因?yàn)閍由④③得q＝12，從而a又an＝1，∴32×(12)n－1即26－n＝20，所以n＝6.方法二：因?yàn)閍3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.鞏固訓(xùn)練1解析：(1)公比q＝a3a2＝93＝3，∴a5＝a3·q故選D.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1＋a2＝3，a4＋a5＝81，所以a1所以a11+qa1q故選D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列的前3項(xiàng)依次為x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因?yàn)楫?dāng)x＝－1時(shí)，2x＋2＝3x＋3＝0不合題意，所以實(shí)數(shù)x的值為－4.(2)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a3是a2和a4的等比中項(xiàng)，即a32＝a2a4，所以a33＝64，解得a3設(shè){an}的公比為q，則a1q2=4，a1q5=32設(shè)a2和a6的等比中項(xiàng)為G，則G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵1，a，3成等差數(shù)列，∴a＝1+32∵1，b，4成等比數(shù)列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴ab＝2故選D.(2)因?yàn)閎是－1，－9的等比中項(xiàng)，所以b2＝9，b＝±3.又等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項(xiàng)，故b2＝ac，即ac＝9.答案：(1)D(2)－39例3解析：(1)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數(shù)列．即2整理得aq-12=3因此這四個(gè)數(shù)分別是3，6，12，24，其和為45.(2)方法一：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為aq，a，aq，則aq·a·所以a3＝216.所以a＝6.因此前三個(gè)數(shù)為6q，6，6q由題意知第4個(gè)數(shù)為12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23故所求的四個(gè)數(shù)為9，6，4，2.方法二：設(shè)后三個(gè)數(shù)為4－d，4，4＋d，則第一個(gè)數(shù)為14(4－d)2由題意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝