江蘇省南京師范大學附屬中學2023-2024學年高三上學期期中考試數(shù)學試卷

南京師大附中2023~2024學年度第一學期期中考試高三數(shù)學（總分150分，考試時間120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設集合，則A.B.C.D.2.已知復數(shù)，則的虛部為（）A.B.C.1D.-13.設是兩個平行平面，若內有3個不共線的點，內有4個點（任意3點不共線），從這些點中任取4個點最多可以構成四面體的個數(shù)為（）A.34B.18C.12D.74.在宋代《營造法式》一書中，記載著我國古代一項兼具屋面排水與檐下采光，且美觀好看的建筑技術——舉折，其使屋面呈一條凹形優(yōu)美的曲線，近似物理學中的最速曲線.如圖，“舉”是屋架的高度，點是屋寬的五等分點，連接，在處下“折”安置第一榑，連接，在處下“折”安置第一榑，依次類推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，則第四榑的高度為（）A.B.C.D.5.已如是表面積為的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.6.若直線與曲線和圓都相切，則的方程可能為（）A.B.C.D.7.已知橢圓為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若對任意的，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A.B.C.D.二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，下列結論正確的是（）A.若“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件B.“為等差數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件C.若為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則可能是等差數(shù)列10.已知函數(shù)，則在區(qū)間上可能（）A.單調遞增B.有零點C.有最小值D.有極值點11.已知拋物線的焦點為，過原點的動直線交拋物線于另一點，交拋物線的準線于點，下列說法正確的是（）A.若為線段中點，則B.若，則C.存在直線，使得D.面積的最小值為212.已知點是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列說法正確的是（）A.若存在點，使直線與軸垂直，則的取值范圍是B.若存在點分別在第二與第四象限，則的取值范圍是C.若直線的斜率恒大于1，則的取值范圍是D.不存在實數(shù)，使得關于原點對稱第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在中，已知點滿足，若，則__________.14.已知分別為內角的對邊.若，則的最小值為__________.15.已知雙曲線的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于兩點，若，則的離心率為__________.16.若函數(shù)存在極大值點，且對于的任意可能取值，恒有極大值，則的最大值為__________.四?解答題（本大題共5小題，共70分.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知的三內角所對的邊分別是分別為，且.（1）求；（2）若，求周長的最大值.18.（本小題滿分12分）如圖，矩形所在平面與所在平面垂直，，（1）證明：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值是，求異面直線與所成角的余弦值.19.（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列公比為2，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)，如不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準備了抽獎活動回饋新老客戶，活動規(guī)則如下：獎券共3張，分別可以再店內無門檻優(yōu)惠10元?20元和30元，每人每天可抽1張獎券，每人抽完后將所抽取獎券放回，以供下一位顧客抽取.若某天抽獎金額少于20元，則下一天可無放回地抽2張獎券，以優(yōu)惠金額更大的作為所得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望；（2）記“第天抽取1張獎券”的概率為，寫出與的關系式并求出.21.（本小題滿分12分）設雙曲線的方程為，直線過拋物線的焦點和點.已知的焦距為6且一條漸近線與平行.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線過雙曲線上的右焦點，若與交于點（其中點在第一象限），與直線交于點，過作平行于的直線分別交直線軸于點，求.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）已知實數(shù)，設.（i）若，求的極值；（ii）若有3個零點，求的值.南京師大附中20232024學年度第一學期期中考試高三數(shù)學（總分150分，考試時間120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.【答案】D【解答】解：集合，則..故選：D.2.【答案】C【解答】解：，復數(shù)的虛部為1.故選：C.3.【答案】A【解答】解：若從這些點中任取4個點最多可以構成四面體，所以分成三類：第一類，從上取1個點，上取3個不同的點，可以構成四面體的個數(shù)為；第二類，從上取2個點，上取2個不同的點，可以構成四面體的個數(shù)為；第三類，從上取3個點，上取1個不同的點，可以構成四面體的個數(shù)為；所以共有四面體的個數(shù)為.故選：.4.【答案】D【解答】解：，；則，.故選：D.5.【答案】C【解答】解：設球的半徑為外接圓的半徑為，在中，由，則，得，所以，因為球的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.6.【答案】B【解答】解：由，得，設切點為，則切線方程為，即，又切線與圓也相切，，解得.當時，直線的方程為；當時，直線方程為.結合選項可得，所求直線方程為.故選：B.7.【答案】B【解答】解：橢圓為兩個焦點，，為原點，為橢圓上一點，，設可得，即，可得，，可得.可得.故選：B.8.【答案】B【解答】解：，所以得.進而，故，由于對任意的，當時，恒成立，，不妨設，則問題轉化成在單調遞減，所以其中，解得.故選：B.二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.【答案】ACD【解答】解：對于A，則為遞增數(shù)列，但為遞增數(shù)列時，如：，但不成立，所以A選項正確；對于B，數(shù)列為等差數(shù)列為等差數(shù)列，所以“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件，所以選項不正確；對于C，若為等比數(shù)列，公比為，當時，則前項和為，所以，所以，同理可得所以，所以成等比數(shù)列；當時，，即，所以；所以C選項正確；對于D，若為等比數(shù)列，當時，，則，所以是公差為0的等差數(shù)列，故D選項正確.故選：ACD.10.【答案】ABD【解答】解：，則，因為，所以，令，所以，所以當時，故A正確；當時，故B對，C錯，D對；故選：ABD.11.【答案】AD【解答】解：拋物線的準線為，焦點，若為中點，所以，所以，故A正確；若，則，所以，故B錯誤；設，則，所以，所以，所以與不垂直，故C錯誤；，當且僅當，即時取等號，所以面積的最小值為2，故D正確.故選：AD.12.【答案】ABD【解答】解：對于A，若直線與軸垂直，則不單調，因為，則有根，所以，所以，故A正確；對于B，由題可知，，為開口向上，對稱軸為，若點分別在第二與第四象限，有兩個根，不妨設為，則所以，所以，即，故B正確；對于C：設，若直線的斜率恒大于1，則，即，設，則是增函數(shù)，所以恒成立，所以，所以，故C錯誤；對于D，假設存在使關于原點對稱，設不同時為0，則，所以兩式相加得，把代入得，這與不同時為0矛盾，所以假設不成立，D正確，故選：ABD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】【解答】解：，，故答案為：.14.【答案】【解答】解：因為，所以，所以由余弦定理得，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.15.【答案】【解答】解：設直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，解得，因為，所以，即，即解得.故答案為：.16.【答案】【解答】解：由題意得，設，則，當時，則單調遞增，則不可能有極大值點，（若有極值也是極小值），不符合要求；當時，若存在極大值，此時有解，即有兩個不等正根，則有，由此可得，且（設），從而可得的極大值點為，因為，所以，從而在上單調增，在上單調減，當時取得極大值；又由得，因為，令，則原命題轉化為在上恒成立，求導得，所以在上單調增，故，從而得，所以的最大值為，故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共70分.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.【答案】（1）（2）【解答】解：（1）因為，由正弦定理得，，整理，得，，，，，.，.（2）由余弦定理，，即，亦即，，當且僅當時取等號，，解得，當且僅當時取等號，，周長的最大值為.18.【答案】（1）見解析；（2）【解答】解：（1）證明：四邊形為矩形，，，即，又，，平面平面，平面.（2）過點作平面平面，平面.平面，平面平面，.由（1）得平面平面，，，平面平面，平面平面，平面與平面的夾角為，，又，平面平面，平面平面平面，平面平面，，在矩形中，，平面平面，平面.平面，又，在直角三角形中，可得，，異面直線與所成的角為，，異面直線與所成角的余弦值為.19.【答案】（1）；（2）見解析.【解答】解：（1）當時，，又，，數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，.數(shù)列的前項和為，當時，，又..又當時，符合上式，.（2）的通項公式為，，若成等差數(shù)列，等價于，即，可得，化簡，得，為正整數(shù)，且，為整數(shù)，18可以被整除，可知或18，當時，則；當，則，符合要求，綜上，存在正整數(shù)，當或時，成等差數(shù)列.20.【答案】（1）見解析；（2）.【解答】解：（1）設第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為，第二天抽1張獎券的概率為，抽2張獎券的概率為，若抽2張獎券，優(yōu)惠金額20元的概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，，，，故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學期望.（2）記“第天抽取1張獎券”的概率為，則“第天抽取2張獎券”的概率為，則“第天抽取1張獎券”的概率為，，設，則，又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.21.【答案】（1）；（2）.【解答】（1）解：拋物線的焦點為，直線的斜率，雙曲線的一條漸近線與平行，，即.又雙曲線的焦距為，，雙曲線的方程為.（2）雙曲線的右焦點為，由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立.去，得且，，將代入得，.直線方程為，與直線聯(lián)立，可得又，，.，為的中點..22.【答案】（1）；（2）（i）有極小值為，無極大值；（ii）.【解答】解：（1）由，得，所以，所以曲線在處的切線方程為.（2）（i），則，則，設，則，令得，令得，在上單調遞減，在上單調遞增，又，恒成立，令得，令得，在上單調遞