江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

南京師大附中2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（總分150分，考試時(shí)間120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，則A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.B.C.1D.-13.設(shè)是兩個(gè)平行平面，若內(nèi)有3個(gè)不共線的點(diǎn)，內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)（任意3點(diǎn)不共線），從這些點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)最多可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為（）A.34B.18C.12D.74.在宋代《營造法式》一書中，記載著我國古代一項(xiàng)兼具屋面排水與檐下采光，且美觀好看的建筑技術(shù)——舉折，其使屋面呈一條凹形優(yōu)美的曲線，近似物理學(xué)中的最速曲線.如圖，“舉”是屋架的高度，點(diǎn)是屋寬的五等分點(diǎn)，連接，在處下“折”安置第一榑，連接，在處下“折”安置第一榑，依次類推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，則第四榑的高度為（）A.B.C.D.5.已如是表面積為的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.6.若直線與曲線和圓都相切，則的方程可能為（）A.B.C.D.7.已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件B.“為等差數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件C.若為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則可能是等差數(shù)列10.已知函數(shù)，則在區(qū)間上可能（）A.單調(diào)遞增B.有零點(diǎn)C.有最小值D.有極值點(diǎn)11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于另一點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.若為線段中點(diǎn)，則B.若，則C.存在直線，使得D.面積的最小值為212.已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若存在點(diǎn)，使直線與軸垂直，則的取值范圍是B.若存在點(diǎn)分別在第二與第四象限，則的取值范圍是C.若直線的斜率恒大于1，則的取值范圍是D.不存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于原點(diǎn)對稱第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在中，已知點(diǎn)滿足，若，則__________.14.已知分別為內(nèi)角的對邊.若，則的最小值為__________.15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________.16.若函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且對于的任意可能取值，恒有極大值，則的最大值為__________.四?解答題（本大題共5小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知的三內(nèi)角所對的邊分別是分別為，且.（1）求；（2）若，求周長的最大值.18.（本小題滿分12分）如圖，矩形所在平面與所在平面垂直，，（1）證明：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值是，求異面直線與所成角的余弦值.19.（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列公比為2，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)，如不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準(zhǔn)備了抽獎(jiǎng)活動(dòng)回饋新老客戶，活動(dòng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)券共3張，分別可以再店內(nèi)無門檻優(yōu)惠10元?20元和30元，每人每天可抽1張獎(jiǎng)券，每人抽完后將所抽取獎(jiǎng)券放回，以供下一位顧客抽取.若某天抽獎(jiǎng)金額少于20元，則下一天可無放回地抽2張獎(jiǎng)券，以優(yōu)惠金額更大的作為所得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望；（2）記“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，寫出與的關(guān)系式并求出.21.（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線的方程為，直線過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn).已知的焦距為6且一條漸近線與平行.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線過雙曲線上的右焦點(diǎn)，若與交于點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），與直線交于點(diǎn)，過作平行于的直線分別交直線軸于點(diǎn)，求.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）已知實(shí)數(shù)，設(shè).（i）若，求的極值；（ii）若有3個(gè)零點(diǎn)，求的值.南京師大附中20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)（總分150分，考試時(shí)間120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.【答案】D【解答】解：集合，則..故選：D.2.【答案】C【解答】解：，復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：C.3.【答案】A【解答】解：若從這些點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)最多可以構(gòu)成四面體，所以分成三類：第一類，從上取1個(gè)點(diǎn)，上取3個(gè)不同的點(diǎn)，可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為；第二類，從上取2個(gè)點(diǎn)，上取2個(gè)不同的點(diǎn)，可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為；第三類，從上取3個(gè)點(diǎn)，上取1個(gè)不同的點(diǎn)，可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為；所以共有四面體的個(gè)數(shù)為.故選：.4.【答案】D【解答】解：，；則，.故選：D.5.【答案】C【解答】解：設(shè)球的半徑為外接圓的半徑為，在中，由，則，得，所以，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.6.【答案】B【解答】解：由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，又切線與圓也相切，，解得.當(dāng)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為.結(jié)合選項(xiàng)可得，所求直線方程為.故選：B.7.【答案】B【解答】解：橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，設(shè)可得，即，可得，，可得.可得.故選：B.8.【答案】B【解答】解：，所以得.進(jìn)而，故，由于對任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，，不妨設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以其中，解得.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.【答案】ACD【解答】解：對于A，則為遞增數(shù)列，但為遞增數(shù)列時(shí)，如：，但不成立，所以A選項(xiàng)正確；對于B，數(shù)列為等差數(shù)列為等差數(shù)列，所以“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件，所以選項(xiàng)不正確；對于C，若為等比數(shù)列，公比為，當(dāng)時(shí)，則前項(xiàng)和為，所以，所以，同理可得所以，所以成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，即，所以；所以C選項(xiàng)正確；對于D，若為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則，所以是公差為0的等差數(shù)列，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10.【答案】ABD【解答】解：，則，因?yàn)椋?，令，所以，所以?dāng)時(shí)，故A正確；當(dāng)時(shí)，故B對，C錯(cuò)，D對；故選：ABD.11.【答案】AD【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)，若為中點(diǎn)，所以，所以，故A正確；若，則，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以，所以，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為2，故D正確.故選：AD.12.【答案】ABD【解答】解：對于A，若直線與軸垂直，則不單調(diào)，因?yàn)?，則有根，所以，所以，故A正確；對于B，由題可知，，為開口向上，對稱軸為，若點(diǎn)分別在第二與第四象限，有兩個(gè)根，不妨設(shè)為，則所以，所以，即，故B正確；對于C：設(shè)，若直線的斜率恒大于1，則，即，設(shè)，則是增函數(shù)，所以恒成立，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，假設(shè)存在使關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)不同時(shí)為0，則，所以兩式相加得，把代入得，這與不同時(shí)為0矛盾，所以假設(shè)不成立，D正確，故選：ABD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】【解答】解：，，故答案為：.14.【答案】【解答】解：因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.15.【答案】【解答】解：設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，即，即解?故答案為：.16.【答案】【解答】解：由題意得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，則不可能有極大值點(diǎn)，（若有極值也是極小值），不符合要求；當(dāng)時(shí)，若存在極大值，此時(shí)有解，即有兩個(gè)不等正根，則有，由此可得，且（設(shè)），從而可得的極大值點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，從而在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，當(dāng)時(shí)取得極大值；又由得，因?yàn)?，令，則原命題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)增，故，從而得，所以的最大值為，故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.【答案】（1）（2）【解答】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，整理，得，，，，?，.（2）由余弦定理，，即，亦即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，周長的最大值為.18.【答案】（1）見解析；（2）【解答】解：（1）證明：四邊形為矩形，，，即，又，，平面平面，平面.（2）過點(diǎn)作平面平面，平面.平面，平面平面，.由（1）得平面平面，，，平面平面，平面平面，平面與平面的夾角為，，又，平面平面，平面平面平面，平面平面，，在矩形中，，平面平面，平面.平面，又，在直角三角形中，可得，，異面直線與所成的角為，，異面直線與所成角的余弦值為.19.【答案】（1）；（2）見解析.【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，，數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，又..又當(dāng)時(shí)，符合上式，.（2）的通項(xiàng)公式為，，若成等差數(shù)列，等價(jià)于，即，可得，化簡，得，為正整數(shù)，且，為整數(shù)，18可以被整除，可知或18，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)，則，符合要求，綜上，存在正整數(shù)，當(dāng)或時(shí)，成等差數(shù)列.20.【答案】（1）見解析；（2）.【解答】解：（1）設(shè)第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為，第二天抽1張獎(jiǎng)券的概率為，抽2張獎(jiǎng)券的概率為，若抽2張獎(jiǎng)券，優(yōu)惠金額20元的概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，，，，故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望.（2）記“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，則“第天抽取2張獎(jiǎng)券”的概率為，則“第天抽取1張獎(jiǎng)券”的概率為，，設(shè)，則，又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.21.【答案】（1）；（2）.【解答】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率，雙曲線的一條漸近線與平行，，即.又雙曲線的焦距為，，雙曲線的方程為.（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立.去，得且，，將代入得，.直線方程為，與直線聯(lián)立，可得又，，.，為的中點(diǎn)..22.【答案】（1）；（2）（i）有極小值為，無極大值；（ii）.【解答】解：（1）由，得，所以，所以曲線在處的切線方程為.（2）（i），則，則，設(shè)，則，令得，令得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，恒成立，令得，令得，在上單調(diào)遞