北師版八上數(shù)學(xué)專題3 平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)問題（課件）

第三章位置與坐標(biāo)專題3平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)問題數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問題綜述平面直角坐標(biāo)系是一種重要的數(shù)學(xué)工具，是數(shù)與形之間的

橋梁.通過平面直角坐標(biāo)系的建立，平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)建

立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方

程和不等式的關(guān)系打下基礎(chǔ)，這就使得用代數(shù)方法研究幾何問

題，用幾何方法研究代數(shù)問題成為可能.數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

類型一

與面積有關(guān)的坐標(biāo)問題

（1）如圖，已知△

ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)恰好在正方形網(wǎng)格的格

點(diǎn)上.①寫出△

ABC

各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②求△

ABC

的面積.【思路導(dǎo)航】①由圖即可得到各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②將△

ABC

放

到一個(gè)正方形中，利用割補(bǔ)法即可解答.解：①由圖可得，

A

（3，3），

B

（－2，－2），

C

（4，－

3）.

【點(diǎn)撥】在平面直角坐標(biāo)系中，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求面積問題或利

用面積求點(diǎn)的坐標(biāo)問題是常見的題型.一般情況下，對(duì)于一些不

規(guī)則圖形的面積，可以對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，將圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的

圖形，再進(jìn)行計(jì)算.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△

ABC

的邊

AB

在

x

軸上，點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為（2，4），

S△

ABC

＝6.請(qǐng)?jiān)?/p>

圖中畫出符合條件的△

ABC

，并寫出點(diǎn)

B

的坐標(biāo).【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，先求

AB

的長度，分點(diǎn)

B

在點(diǎn)

A

的左邊

和右邊兩種情況，在平面直角坐標(biāo)系中畫出△

ABC

，再寫出點(diǎn)

B

的坐標(biāo)即可.解：因?yàn)?/p>

AB

在

x

軸上，點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)

C

的坐標(biāo)

為（2，4），

S△

ABC

＝6，所以△

ABC

的邊

AB

上的高為4.

畫出符合條件的△

ABC

如圖所示.①當(dāng)點(diǎn)

B

在點(diǎn)

A

的左邊時(shí)，－2－3＝－5，所以點(diǎn)

B1的坐標(biāo)為（－5，0）；②當(dāng)點(diǎn)

B

在點(diǎn)

A

的右邊時(shí)，－2＋3＝1，所以點(diǎn)

B2的坐標(biāo)為（1，0）.綜上所述，點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為（－5，0）或（1，0）.【點(diǎn)撥】已知面積求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，常常先利用面積求得線段

長，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo).注意：由線段長到點(diǎn)的坐標(biāo)，有可能需

要分類討論.

如圖，已知點(diǎn)

A

（－1，0），

C

（1，4），點(diǎn)

B

在

x

軸上，且

AB

＝3.（1）求△

ABC

的面積.（2）求點(diǎn)

B

的坐標(biāo).（3）在

y

軸上是否存在點(diǎn)

P

，使以點(diǎn)

A

，

B

，

P

為頂點(diǎn)的三角形

的面積為10？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)

P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)

B

在點(diǎn)

A

的左邊時(shí)，－1－3＝－4，所以點(diǎn)

B1的坐標(biāo)為（－4，0）；當(dāng)點(diǎn)

B

在點(diǎn)

A

的右邊時(shí)，－1＋3＝2，所以點(diǎn)

B2的坐標(biāo)為（2，0）.綜上所述，點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為（－4，0）或（2，0）.

類型二

與軸對(duì)稱有關(guān)的坐標(biāo)問題

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)

A

（－1，3），

B

（2，0），

C

（－3，－1）.①在圖中作出△

ABC

關(guān)于

y

軸對(duì)稱的圖形△

A1

B1

C1，并寫出點(diǎn)

A1，

B1，

C1的坐標(biāo)；②在

y

軸上找一點(diǎn)

P

，使

PA

＋

PC

的值最小，并求出點(diǎn)

P

的

坐標(biāo).【思路導(dǎo)航】①先找出點(diǎn)

A

，

B

，

C

關(guān)于

y

軸對(duì)稱的點(diǎn)，再依次

連接各對(duì)稱點(diǎn)即可得到△

A1

B1

C1；②連接

A1

C

，交

y

軸于點(diǎn)

P

，這時(shí)

PA

＋

PC

的值最小，利用△

A1

OC

的面積的兩種求法，

列方程求出

OP

的長即可.解：①如圖，△

A1

B1

C1即為所求作圖形.由圖可得，

A1（1，3），

B1（－2，0），

C1（3，－1）.

【點(diǎn)撥】在平面直角坐標(biāo)系中，常考查最短路徑問題.解決此類

問題常通過作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，使路徑的點(diǎn)在一條直線上，再結(jié)合

面積相等即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（－2，1）

1.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△

ABC

各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

A

（－2，3），

B

（2，1），

C

（－3，－2）.若點(diǎn)

P

是

y

軸上的

一動(dòng)點(diǎn)，則

PA

＋

PC

的最小值為

?.

2.

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線

l

經(jīng)過點(diǎn)（1，0）且平行于

y

軸，點(diǎn)

A

（

m

－1，3）與點(diǎn)

B

（2，

n

－1）關(guān)于直線

l

對(duì)稱，則

（

m

＋

n

）2

024的值為

?.52

024

類型三

特殊三角形中的點(diǎn)的坐標(biāo)問題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)

A

（2，3），在坐標(biāo)軸上找

一點(diǎn)

P

，使得△

AOP

是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)

P

共有

?

個(gè).【思路導(dǎo)航】求出

OA

的長，然后畫出平面直角坐標(biāo)系，分

類討論兩條相等的腰，作出符合等腰三角形的點(diǎn)

P

的位置，

即可得解.

8

（1）如圖，當(dāng)

OA

為腰時(shí)，①以點(diǎn)

O

為圓心，

OA

的長為半徑畫

圓，與坐標(biāo)軸交于四點(diǎn)：

P1，

P2，

P3，

P4；②以點(diǎn)

A

為圓心，

OA

的長為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)（原

點(diǎn)舍去）：

P5，

P6；（2）當(dāng)

OA

為底時(shí)，作

OA

的垂直平分線，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交

點(diǎn)：

P7，

P8.綜上所述，符合題意的點(diǎn)有8個(gè).故答案為8.【點(diǎn)撥】（1）因?yàn)榈妊切?/p>

AOP

沒有指明哪條邊為底邊，也

就需要分類討論.（2）解決等腰三角形存在性問題有兩種方法.

方法1（兩圓一線）：①以已知線段為腰，用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為

圓心，線段長為半徑，分別作圓；②以已知線段為底，作它的

垂直平分線.方法2：用兩點(diǎn)之間的距離公式表示三條線段，由

兩兩相等進(jìn)行計(jì)算.

如圖，點(diǎn)

A

，

B

的坐標(biāo)分別為（0，2），（8，8），點(diǎn)

C

（

m

，

0）為

x

軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).是否存在點(diǎn)

C

，使△

ABC

為直角

三角形？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的面積；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

類型四

點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律問題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△

ABC

進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸

對(duì)稱變換.若原來點(diǎn)

A

的坐標(biāo)是（

a

，

b

），則經(jīng)過第2023次變

換后所得的點(diǎn)

A

的坐標(biāo)是

?.（－

a

，

b

）

【思路導(dǎo)航】觀察圖形可知，每4次變換為一個(gè)循環(huán)組，用2

023除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定圖形所在的位置，得出規(guī)律即

可解答.【解析】由圖可知，4次變換為一個(gè)循環(huán)組.因?yàn)?023÷4＝

505……3，所以第2023次變換后為第506個(gè)循環(huán)組的第3次變

換，相當(dāng)于直接作關(guān)于

y

軸對(duì)稱的變換.因?yàn)樵瓉睃c(diǎn)

A

的坐標(biāo)是

（

a

，

b

），所以經(jīng)過第2023次變換后所得的點(diǎn)

A

坐標(biāo)是（－

a

，

b

）.故答案為（－

a

，

b

）.【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——對(duì)稱，準(zhǔn)確識(shí)圖，觀

察出4次變換為一個(gè)循環(huán)組是解題的關(guān)鍵.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△

ABO

的頂點(diǎn)

A

，

B

，

O

的坐標(biāo)

分別為（1，0），（0，1），（0，0），點(diǎn)列

P1，

P2，

P3，…

中的相鄰兩點(diǎn)都關(guān)于△

ABO

的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)

P1與點(diǎn)

P2關(guān)于

點(diǎn)

A

對(duì)稱，點(diǎn)

P2與點(diǎn)

P3關(guān)于點(diǎn)

B

對(duì)稱，點(diǎn)

P3與點(diǎn)

P4關(guān)于點(diǎn)

O

對(duì)

稱，點(diǎn)

P4與點(diǎn)

P5關(guān)于點(diǎn)

A

對(duì)稱，點(diǎn)

P5與點(diǎn)

P6關(guān)于點(diǎn)

B

對(duì)稱，點(diǎn)

P6與點(diǎn)

P7關(guān)于點(diǎn)

O

對(duì)稱……且這些對(duì)稱中心依次循環(huán).已知點(diǎn)

P1

的坐標(biāo)是（1，1），則點(diǎn)

P2023的坐標(biāo)為

?.（1，1）

答圖答圖【解析】如答圖，作點(diǎn)

P1關(guān)于點(diǎn)

A

的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到

P2（1，

－1），同理可得

P3