高中數(shù)學 2-3-1數(shù)乘向量活頁訓練 北師大版必修4

【創(chuàng)新設(shè)計】-學年高中數(shù)學2-3-1數(shù)乘向量活頁訓練北師大版必修4雙基達標限時20分鐘1．已知實數(shù)m，n和向量a，b，給出下列命題()．①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na(a≠0)，則m＝n.其中正確的命題是()．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析若m＝0，則ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故③不正確．答案B2．已知向量a、b且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()．A．B、C、D B．A、B、CC．A、B、D D．A、C、D解析∵eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up12(→))，∴A、B、D三點共線．答案C3．已知一點O到平行四邊形ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別為a，b，c則向量eq\o(OD,\s\up12(→))等于()．A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－cD．a(chǎn)－b－c解析如右圖，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別為a，b，c.結(jié)合圖形有eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋c－b.答案B4．點C在線段AB上，且eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，則eq\o(AC,\s\up12(→))＝________eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝________eq\o(AB,\s\up12(→)).解析∵eq\f(AC,CB)＝eq\f(3,2)，∴點C為線段AB的5等分點，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up12(→)).答案eq\f(3,5)－eq\f(2,5)5．已知點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e2，則eq\o(BO,\s\up12(→))＝________.解析eq\o(BO,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(3e2－2e1)＝eq\f(3,2)e2－e1.答案eq\f(3,2)e2－e16．已知點E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，設(shè)eq\o(BC,\s\up12(→))＝a，eq\o(DA,\s\up12(→))＝b，試用a，b表示eq\o(EF,\s\up12(→)).解如圖，取AB中點P，連接EP，F(xiàn)P.在△ABC中，∵EP是△ABC的中位線，∴eq\o(PE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，∵FP是△ABD的中位線，∴eq\o(PF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(PF,\s\up12(→))－eq\o(PE,\s\up12(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)．綜合提高限時25分鐘7．已知λ、μ∈R，則在以下各命題中，正確的命題共有()．①λ<0，a≠0，λa與a的方向一定相反；②λ>0，a≠0，λa與a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa與a是共線向量；④λμ>0，a≠0，λa與μa的方向一定相同；⑤λμ<0，a≠0，λa與μa的方向一定相反．A．2個B．3個C．4個D．5個解析由λa方向的規(guī)定，易知命題①、②、③正確．對于命題④與⑤，當λμ>0時，λ與μ同為正或同為負，所以λa與μa或者都與a同向，或者都與a反向，因而λa與μa同向，故命題④正確，當λμ<0時，λ與μ異號，則λa與μa中，一個與a同向，一個與a反向，因而λa與μa反向．故命題⑤正確．故選D.答案D8．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，則λ等于()．A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)解析法一由eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，可得eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→))＝2(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))?eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，所以λ＝eq\f(2,3).法二eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案A9．已知平面內(nèi)O，A，B，C四點，其中A，B，C三點共線，且eq\o(OC,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))，則x＋y＝________.解析∵A，B，C三點共線，∴存在λ∈R使eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→)).∴eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))．∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→)).∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.答案110．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝eq\f(1,3)a－b－3a－2b＋2b－a＝－eq\f(11,3)a－b＝－eq\f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋eq\f(44,3)j－5i－4j＝－16i＋eq\f(32,3)j.答案－16i＋eq\f(32,3)j11．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求證：M、N、C三點共線．證明設(shè)eq\o(BA,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則由向量加法的三角形法則可知：eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(BM,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\o(BN,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))，∴eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up12(→))，又∵eq\o(CN,\s\up12(→))與eq\o(CM,\s\up12(→))共點C，∴C、M、N三點共線．12．(創(chuàng)新拓展)(1)設(shè)a、b是兩不共線的非零向量，已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝3a－2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－2a＋4b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2a－4b，試判斷A、C、D三點是否共線；(1)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－5a－3b，證明這個四邊形為梯形．(1)解∵eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2eq\o(AC,\s\up12(→))，從而向量eq\o(CD,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))共線，故A、C、D三點共線．(2)證明∵eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋e