《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第1節(jié)　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)

第十章

第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m＋n2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m×n3．分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終．1．分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”．1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

) (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

) (4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事． (

)

解析

分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確．×

×

√

√

2．現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 (

) A．24種 B．30種

C．36種 D．48種 解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果， 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種)．D

3．書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū)．從書(shū)架中任取1本書(shū)，則不同取法的種數(shù)為

________． 解析

從書(shū)架上任取1本書(shū)，有三類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書(shū)，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書(shū)，有2種方法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.9

4．(2020·重慶診斷)將3張不同的冬奧會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，不同的分法種數(shù)為 (

) A．720B．240C．120D．60

解析

將3張不同的門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有10×9×8＝720種不同分法．A

5．(2021·武漢模擬)中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有 (

) A．30種B．50種C．60種D．90種 解析①若甲同學(xué)選擇牛，則乙有2種選擇，丙有10種選擇，選法有1×2×10＝20種； ②若甲同學(xué)選擇馬，則乙有3種選擇，丙有10種選擇，選法有1×3×10＝30種， 所以共有20＋30＝50種選法．故選B.B

B

考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦21．從甲地到乙地有三種方式可以到達(dá)．每天有8班汽車、2班火車和2班飛機(jī)．一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法． 解析

分三類：一類是乘汽車有8種方法；一類是乘火車有2種方法；一類是乘飛機(jī)有2種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法．考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用///////自主演練12

2．如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________

個(gè)(用數(shù)字作答)． 解析

當(dāng)組成的數(shù)字有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4時(shí)，共有4種情況．當(dāng)有三個(gè)1時(shí)：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種；當(dāng)有三個(gè)2，3，4時(shí)：2221，3331，4441，有3種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果．12

3．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析當(dāng)a＝0時(shí)，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.

若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4； 若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3； 若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.13

分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置．(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．感悟升華【例1】有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法(六名同學(xué)不一定都能參加？

(1)每人只參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；

(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限． 解

(1)每人都可以從三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有36＝729(種)．

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．

(3)每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六名同學(xué)中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有63＝216(種)．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用///////師生共研1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．2.分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．感悟升華【訓(xùn)練1】(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 (

) A．24B．18C．12D．9

解析

分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.B

(2)如圖，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有________種．63

解析

因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能情況．【例2】用0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)． 解析要完成的“一件事”為“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個(gè)位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個(gè)數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步． ①第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個(gè)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用///////多維探究角度1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題420

②第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．【例3】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 (

) A．48B．18C．24D．36

解析

在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”．角度2與幾何有關(guān)的問(wèn)題D

【例4】如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．角度3涂色問(wèn)題法二以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步：S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)．1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步．在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．2．解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．感悟升華【訓(xùn)練2】(1)(2020·衡水調(diào)研)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A．243B．252C．261D．279

解析

0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè))．B

(2)(2021·長(zhǎng)沙模擬)如圖，請(qǐng)你用4種不同的顏色為每個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有________種不同的涂色方法(用具體數(shù)字作答)．72

解析

假設(shè)按a→b→c→d→e順序涂色，對(duì)于a有4種涂色的方法，對(duì)于b有3種涂色方法，對(duì)于c有2種涂色方法，對(duì)于e，若c與d顏色相同，則e有2種涂色方法，若c與d顏色不相同，則e只有1種涂色方法，故共有4×3×2×(2＋1)＝72種不同的涂色方法．課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為(

) A．6B．5C．3D．2

解析

5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法．B

2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (

) A．12B．8C．6D．4

解析

分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6， 故選C.C

3．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

) A．30B．20C．10D．6

解析

從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為兩類： 第一類，取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，有0和2，0和4，2和4，共3種不同的取法； 第二類，取出的兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，有1和3，1和5，3和5，共3種不同的取法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3＋3＝6種不同的取法．D

4．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為 (

) A．3B．4C．6D．8

解析

以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9； 以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8； 以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9； 把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列， ∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個(gè))．D

5．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(

) A．40B．16C．13D．10

解析

分兩類情況討論： 第1類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面； 第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面．C

6．(2021·濟(jì)南模擬)如圖所示的幾何體由三棱錐P－ABC與三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有 (

)C

A．6種B．9種C．12種D．36種 解析

先涂三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有2×1×1種情況， 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3×2×1×2×1×1＝12種不同的涂法． 故選C.

解析第n名應(yīng)屆畢業(yè)生報(bào)考的方法有3種(n＝1，2，3，4，5)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的報(bào)名方法共有3×3×3×3×3＝35(種)． 故選A.A

8．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為 (

) A．5B．8C．10D．15

解析

滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5個(gè)；滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5個(gè)．所以一共有10個(gè)．C

二、填空題9．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋

bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是________． 解析

因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)， 所以b≠0， 即b有6種取法，a有6種取法， 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)．36

10．乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)為

________． 解析

從第一個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有3種方法，從第二個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有4種方法，從第三個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有5種方法， 故根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有N＝3×4×5＝60(項(xiàng))．60

11．將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，則不同的安排方案共有________

種．12

12．設(shè)a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一 個(gè)等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有______個(gè)． 解析

先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個(gè)， 再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2， 此時(shí)c＝1與等邊重復(fù)， 若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有兩個(gè)， 若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有四個(gè)， 若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有五個(gè)， 若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有五個(gè)， 若a＝