蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練第2章軸對(duì)稱圖形章末復(fù)習(xí)培優(yōu)卷(原卷版+解析)

第2章軸對(duì)稱圖形章末復(fù)習(xí)培優(yōu)卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分130分，考試時(shí)間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．下列由數(shù)字組成的圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．如圖，在中，是的垂直平分線．若，的周長為8，則的周長為（

）A．9 B．10 C．11 D．123．如圖，已知，，則點(diǎn)O是（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)4．如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點(diǎn)E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DG交∠ACB的平分線CD于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，若AC＝10，CB＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．6 D．76．如圖，是一鋼架，，為使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管，，，…，添加的鋼管長度都與的長度相等，則最多能添加的鋼管根數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．無數(shù)7．用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，其中（

）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，則CD的長為（

）．A．6 B．5 C．4 D．39．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．如圖，在中，，，CD是的高，且，則AD的長是______12．將一張紙按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則的度數(shù)為__________．13．如圖，中，，將沿折痕對(duì)折，點(diǎn)恰好與的中點(diǎn)重合，若，則的長為______．14．如圖,在中,邊的垂直平分線分別交于點(diǎn),邊的垂直平分線分別交于點(diǎn),若,則的周長為________15．如果等腰三角形一條邊上的高等于這條邊長的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是_____________________．16．如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①②；③當(dāng)時(shí)，；④PC平分∠APB．其中正確的是___．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）17．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，連接，則________．18．如圖，AP，BP分別平分△ABC內(nèi)角∠CAB和外角∠CBD，連接CP，若∠ACP＝130°，則∠APB＝___．三、解答題（10小題，共76分）19．已知：如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，，，分別是垂足，求證：．20．如圖，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點(diǎn)P，使∠PCB＝45°．（保留作圖痕跡，不寫作法）21．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫△ABC的高線AD．(2)在圖②中，畫△ABC的中線BE．(3)在圖③中，畫△ABF，使△ABF的面積為622．如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．23．如圖，在和中，，，，垂足為M，連接EA．(1)與全等嗎？為什么？(2)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．24．已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的長．25．如圖①，在等邊中，點(diǎn)D、E分別是BC、AB上的點(diǎn)，，CE與AD交于點(diǎn)O．(1)填空：______度；(2)如圖②，以AO為邊作等邊，BF與CO相等嗎？并說明理由；(3)如圖③，若點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接BO、GO，判斷BO與GO有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．26．在中，，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，將沿AD折疊后得到，射線AE交射線CB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①如圖1，若，說明；②如圖2，若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．27．（1）如圖①，已知：在中，，，點(diǎn)A在直線m上，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E．證明：．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中a為任意銳角或者鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），且和均為等邊三角形，連接BD，CE，若，試判斷的形狀，并說明理由．28．閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．第2章軸對(duì)稱圖形章末復(fù)習(xí)培優(yōu)卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分130分，考試時(shí)間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．下列由數(shù)字組成的圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，進(jìn)行分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對(duì)稱軸位置．2．如圖，在中，是的垂直平分線．若，的周長為8，則的周長為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：解：是的垂直平分線，，，，的周長為8，，的周長，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，，則點(diǎn)O是（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】解：∵OA=OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∵OB=OC，∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，∴點(diǎn)O為△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點(diǎn)E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，從而得到∠AEF=104°，然后根據(jù)AB∥CD，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，∵，∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，∴∠AEF=104°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DG交∠ACB的平分線CD于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，若AC＝10，CB＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)得出．證明，得出，同理，得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接、，作于，如圖所示：點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)在的平分線上，，，．在和中，，，，同理：，，，，，，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．6．如圖，是一鋼架，，為使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管，，，…，添加的鋼管長度都與的長度相等，則最多能添加的鋼管根數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．無數(shù)【答案】A【解析】【分析】因?yàn)樘砑拥匿摴荛L度都與OE相等，且∠AOB＝18，所以∠EFO＝18，∠FEG＝36，

∠FGO＝∠FEG＝36，依次類推，第4個(gè)等腰三角形的底角為72，第5個(gè)等腰三角形的底角為90，則第5個(gè)等腰三角形不存在．因此，最多添加4根．【詳解】

如圖∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18∴∠EFO＝∠EOF＝18

∴∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36∵FE＝FG∴∠FGO＝36∴∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54∵GF＝GH∴∠GHO＝54∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72∵HG＝HM∴∠HMO＝72∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90此時(shí)，不能再添加了，因此最多添加4根，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角定理．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，其中（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和正五邊形每個(gè)內(nèi)角都相等可得，再根據(jù)等腰三角形和三角形外角可得.【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)角和為：,∴，∵，∴，，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，解決本題的關(guān)鍵是要熟練運(yùn)用正五邊形和等腰三角形的性質(zhì).8．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，則CD的長為（

）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】先延長AD、BC交于E，根據(jù)已知證出△EDC是等邊三角形，設(shè)CD=CE=DE=x，根據(jù)AD=8，BC=2和30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出x的值即可．【詳解】解：延長AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形，設(shè)CD=CE=DE=x，∵AD=8，BC=2，∴2(2+x)=x+8，解得；x=4，∴CD=4，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判定，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】∵∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF與△CEF為等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正確，①④不正確，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的周長最小，最小值為的長．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，如圖所示：由對(duì)稱性可知，，，的周長，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的周長最小，，的面積9，，的周長最小值為6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．如圖，在中，，，CD是的高，且，則AD的長是______【答案】3【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可證出∠BCD=∠A=30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，即可求得AB的長，即可解題．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=1，∴BC=2，∴AB=4，∴AD=AB-BD=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求得AB的長是解題的關(guān)鍵．12．將一張紙按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則的度數(shù)為__________．【答案】90°【解析】【分析】根據(jù)折疊前后兩圖形全等可得到，，再根據(jù)平角為180°即可求出．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)圖中四個(gè)角分別為，∵BC、BD為折痕，∴，，∵∴∴=故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，也考查了平角的定義．13．如圖，中，，將沿折痕對(duì)折，點(diǎn)恰好與的中點(diǎn)重合，若，則的長為______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得∠A=∠ABE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ABE=∠CBE，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解∶根據(jù)題意得：∠BDE=∠C=90°，∠ABE=∠CBE，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE=4，∴∠A=∠ABE，∴∠ABC=2∠A，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ABE=∠CBE=30°，∴，∴AC=4+2=6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖,在中,邊的垂直平分線分別交于點(diǎn),邊的垂直平分線分別交于點(diǎn),若,則的周長為________【答案】10【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而求得的周長．【詳解】的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，的周長為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如果等腰三角形一條邊上的高等于這條邊長的一半，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是_____________________．【答案】30°，90°，150°【解析】【分析】三種情形①BD是腰上的高．②AD是底邊上的高，分別求解即可．③△ABC是鈍角三角形．【詳解】①如圖1中，∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；②如圖2中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；③如圖，AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，則∠BAD=30°，∠BAC=150°，∴等腰三角形的頂角為30°或90°或150°．故答案為：30°或90°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、30°直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．16．如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點(diǎn)P．有下列結(jié)論：①②；③當(dāng)時(shí)，；④PC平分∠APB．其中正確的是___．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①②③④【解析】【分析】根據(jù)SAS證明△ACE≌△DCB可判斷①；由三角形的外角性質(zhì)可判斷②；由AC=DC，AC=BC，BC=EC，可得AC=DC=BC=EC，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷③正確；由△ACE≌△DCB可知AE=BD，根據(jù)全等三角形的面積相等，從而證得AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，最后根據(jù)角的平分線定理的逆定理即可證得∠APC=∠BPC，故可判斷④．【詳解】解：①∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=DG，故①正確；②∵∠APB是△APD的外角，∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故②正確；③∵AC=DC，AC=BC，BC=EC，∴AC=DC=BC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CDB，∴，，，，所以③正確；④如圖，分別過點(diǎn)C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，∴AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，∴∠APC=∠BPC，故④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線定理及其逆定理，三角形的外角的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是借助三角形的面積相等求得對(duì)應(yīng)高相等．17．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，連接，則________．【答案】90°##90度【解析】【分析】設(shè)BD、EF交于點(diǎn)G，先證明BD⊥EF，則有∠AFE=90°+∠ABC，再證明2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，即可求解．【詳解】設(shè)BD、EF交于點(diǎn)G，如圖，∵BF=BE，∴△BEF是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，BD⊥EF，∴∠BGE=∠BGF=90°，∵∠AFE=∠BGF+∠ABG，∴∠AFE=90°+∠ABC，∵DE平分∠BDC，∴2∠BDE=∠BDC，∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠BDC+∠ABC=90°，∴2∠BDE=∠BDC=90°-∠ABC，∵，∴，∴，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，證明BD⊥EF，是解答本題的關(guān)鍵．18．如圖，AP，BP分別平分△ABC內(nèi)角∠CAB和外角∠CBD，連接CP，若∠ACP＝130°，則∠APB＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得，，化簡(jiǎn)得；過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長線于點(diǎn)，易得，可得平分，即有，根據(jù)，可得，，則有，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，又∵，，∴∴∴如圖示，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長線于點(diǎn)，∵平分，平分，∴，，即∴平分，∴又∵∴∴∴∴故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，外角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（10小題，共76分）19．已知：如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，，，分別是垂足，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)AB=AC，等邊對(duì)等角，得到∠B=∠C；由D點(diǎn)是BC中點(diǎn)，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，進(jìn)而得到△BDE≌△CDF．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，，∵D是的中點(diǎn)，∴BD=CD，在和中∴△BDE≌△CDF∴BE=CF，∵AB=AC，∴AB-BE=AC-CF即AE=AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定．通過全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點(diǎn)P，使∠PCB＝45°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在邊上求作一點(diǎn)，使，根據(jù)可知,即為的垂直平分線與的交點(diǎn)．【詳解】解：作法：以、為圓心，以為半徑畫弧，分別交于、兩點(diǎn)，連接交于，連接，即?！军c(diǎn)睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．21．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫△ABC的高線AD．(2)在圖②中，畫△ABC的中線BE．(3)在圖③中，畫△ABF，使△ABF的面積為6【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線即可知，AD和BC互相垂直，AD即為△ABC的高線；（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可知點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，BE為△ABC的中線；（3）因?yàn)楦鶕?jù)S?ABF=，即可得出S?ABF面積為6；(1)如圖①，AD為△ABC的高線；(2)如圖②，BE為△ABC的中線；(3)如圖③，△ABF的面積為6；【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，用到了三角形高，中線，和三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確掌握三角形面積求法，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題．22．如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等邊三角形，∵，∴．∴的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在和中，，，，垂足為M，連接EA．(1)與全等嗎？為什么？(2)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)全等，理由見解析(2)，理由見解析【解析】【分析】（1）先證明，，可得，再利用AAS證明三角形全等即可；（2）先證明，可得，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．(1)解：，理由如下：因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，在和中，所以?2)，理由如下：在和中，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義與性質(zhì)，熟練的運(yùn)用AAS，ASA證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．24．已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)12【解析】【分析】（1）連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，DC=DB，利用HL可證Rt△DCF≌Rt△DBE，從而證出結(jié)論；（2）利用HL可證Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．(1)連接DB，∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，∴DB=DC，在Rt△DCF與Rt△DBE中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；(2)∵CF=BE=2，AB=16，∴AE=AB-BE=16-2=14，在Rt△ADF與Rt△ADE中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE=14，∴AC=AF-CF=14-2=12．【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．如圖①，在等邊中，點(diǎn)D、E分別是BC、AB上的點(diǎn)，，CE與AD交于點(diǎn)O．(1)填空：______度；(2)如圖②，以AO為邊作等邊，BF與CO相等嗎？并說明理由；(3)如圖③，若點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接BO、GO，判斷BO與GO有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)60(2)，理由見解析(3)OB=2OG，理由見解析【解析】【分析】（1）證明△EBC≌△DCA（SAS），由∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，即可求解；（2）證明△FAB≌△OAC（SAS），即可得出結(jié)論；（3）△BFO≌△OCR（SAS），即可得出結(jié)論．(1)如圖①中，∵△BCA是等邊三角形，∴BC=CA，∠B=∠ACD=60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE=∠CAD，∴∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴∠COD=60°．故答案為：60(2)如圖2中，∵△FAO，△BAC都是等邊三角形，∴AF=AO，AB=AC，∠FAO=∠BAC=60°，∴∠FAB=∠OAC，在△FAB和△OAC中，，∴△FAB≌△OAC（SAS），∴BF=CO，(3)如圖③中，延長OG到R，使得GR=GO，連接AR，CR．在△AGO和△CGR中，，∴△AGO≌△CGR（SAS），∴AO=CR=OF，∠GAO=∠GCR，BF=CO，∴AO∥CR，∵△FAB≌△OAC，∴∠BFA=∠COA=120°，∵∠AFO=∠AOF=60°，∴∠BFO=∠AOF=60°，∴BF∥AO，∴BF∥CR，∴∠BFO=∠RCO，在△BFO和△OCR中，，∴△BFO≌△OCR（SAS），∴OB=OR，∵OR=2OG，∴OB=2OG，【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．．26．在中，，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，將沿AD折疊后得到，射線AE交射線CB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①如圖1，若，說明；②如圖2，若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)①見解析；②，證明見解析(2)或【解析】【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可證得；②利用互余的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證；（2）分兩種情況：（?。┤酎c(diǎn)在線段上；若點(diǎn)在延長線上，利用翻折變換的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．(1)①∵，∴．∵，∴．由折疊可得，∴，∴，即．②．理由：∵，∴，即，由折疊可得，∴．∵，