5.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示答案

5.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解平面向量基本定理及其意義;借助平面直角坐標(biāo)系,掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.會用坐標(biāo)表示平面向量的加減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算;能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會表示兩個平面向量的夾角3.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件平面向量基本定理的應(yīng)用通過平面向量基本定理的應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)向量共線、垂直的坐標(biāo)表示通過向量共線、垂直的坐標(biāo)表示,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的有().A.平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底B.已知向量a,b是一組基底,若實(shí)數(shù)λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2C.平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換,其坐標(biāo)不變D.若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1x答案ABC解析對于D,當(dāng)a=(0,1),b=(0,2)時,a∥b,但等式x1x2=y1y22.(對接教材)已知點(diǎn)A(1,0),B(2,2),向量BC=(2,1),則向量AC=().A.(1,2) B.(1,2)C.(3,1) D.(3,1)答案C解析由題意,得AB=(1,2),所以AC=AB+BC=(1,2)+(2,1)=(3,1).3.(對接教材)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),若a∥(ab),則實(shí)數(shù)λ=.

答案6解析因?yàn)閍=(1,3),b=(2,λ),所以ab=(1,3λ),又a∥(ab),所以1×(3λ)3×(1)=0,所以λ=6.4.(易錯自糾)已知A(1,3),B(4,1),則與向量AB共線的單位向量為.

答案35,-5.(真題演練)(2023·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,1),若(a+λb)⊥(a+μb),則().A.λ+μ=1 B.λ+μ=1C.λμ=1 D.λμ=1答案D解析因?yàn)閍=(1,1),b=(1,1),所以a+λb=(1+λ,1λ),a+μb=(1+μ,1μ).由(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1λ)(1μ)=0,整理得λμ=1.平面向量基本定理的應(yīng)用典例1(1)(多選)設(shè)a是已知的平面向量,向量a,b,c在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則下列說法正確的是().A.給定向量b,總存在向量c,使a=b+cB.給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μcC.給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μcD.若|a|=2,存在單位向量b,c和正實(shí)數(shù)λ,μ,使a=λb+μc,則λ+μ>2(2)(2024·湖南高三調(diào)研)如圖,在△ABC中,D為AB上一點(diǎn),AD=2DB,P為CD上一點(diǎn),CP=3PD,且AP=mAC+nAB(m,n∈R),則m+n的值為().A.14 B.13 C.12答案(1)ABD(2)D解析(1)對于A,給定向量b,總存在向量c,使a=b+c,即ab=c,顯然存在c,所以A正確.對于B,因?yàn)橄蛄縜,b,c在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,由平面向量基本定理知,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μc,所以B正確.對于C,給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μc,對于給定的a,b,當(dāng)aλb與c反向時,μ<0,故C錯誤.對于D,存在單位向量b,c和正實(shí)數(shù)λ,μ,由a=λb+μc,向量b,c的模均為1,由三角形的三邊關(guān)系可得λ+μ>2,D正確.(2)因?yàn)镃P=3PD,AD=2DB,所以CP=34CD,AD=23AB,AP=AC+CP=AC+34CD=AC+34AD34AC=14AC+34×23AB=14AC+12AB,又AP=mAC+n平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.訓(xùn)練1(2024·江蘇蘇州高三期初調(diào)研)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在線段AC上,且AE=2EC,點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn),記EF=λAB+μAD(λ,μ∈R),則λ+μ=().A.56 B.16 C.12答案A解析EF=EA+AF=23AC+12AD=23(AB+AD)+12AD=23AB16AD,平面向量的坐標(biāo)表示典例2(2023·江蘇通州中學(xué)月考)如圖,已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),∠OAB=∠ABC=120°,|OA|=|BC|=2|AB|=4,若四邊形ABCD為平行四邊形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

答案(2,23)解析作平行四邊形ABCD,如圖所示.因?yàn)锳D∥BC,所以∠BAD=180°∠ABC=60°,所以∠OAD=∠OAB∠BAD=60°,由圖可知,<OA,AD>=120°.因?yàn)閨AD|=|BC|=4,所以AD=(4cos120°,4sin120°)=(2,23).易知點(diǎn)A(4,0),則OD=OA+AD=(4,0)+(2,23)=(2,23),因此,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,23).求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化:向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,通過建立平面直角坐標(biāo)系,使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.(2)巧借方程思想求坐標(biāo):向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用.(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù):利用坐標(biāo)運(yùn)算將某向量用基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出系數(shù).訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知OA=(1,2),若OA繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到OB,則OB的坐標(biāo)為.

答案1?2解析設(shè)OA與x軸正方向的夾角為θ,則點(diǎn)A在角θ的終邊上,可得cosθ=55,sinθ=255,則點(diǎn)B在角θ+π3的終邊上,坐標(biāo)為5cosθ+π3,5sinθ+π3,cosθ+π3=55×12255×32=向量共線、垂直的坐標(biāo)表示典例3已知OA=(3,4),OB=(6,3),OC=(5m,3m).(1)若A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,求m的值;(2)若A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,求m的值.解析(1)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,所以A,B,C三點(diǎn)共線,所以AB∥AC,因?yàn)锳B=OBOA=(3,1),AC=OCOA=(2m,1m),所以3×(1m)=1×(2m),即m=12所以若A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,則m=12(2)若A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,則分情況討論:①若A為直角,此時AB⊥AC,即AB⊥AC,即AB·AC=0,即3×(2m)+1×(1m)=0,所以m=74②若B為直角,此時AB⊥BC,即AB⊥BC,即AB·BC=0,由BC=OCOB=(1m,m),得3×(1m)+1×(m)=0,所以m=34③若C為直角,此時BC⊥AC,即BC⊥AC,即BC·AC=0,即(1m)×(2m)+(m)×(1m)=0,所以m=1±5綜上所述,若A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,則m=74或m=34或m=1.運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合.2.根據(jù)平行或垂直的條件建立方程求參數(shù),是解決這類題目的常用方法,充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用.訓(xùn)練3(2023·江蘇灌云中學(xué)月考)(多選)已知向量a=(2,0),ab=(3,1),則下列結(jié)論不正確的是().A.a·b=2 B.a∥bC.b⊥(a+b) D.|a|=|b|答案ABD解析設(shè)b=(x,y),因?yàn)橄蛄縜=(2,0),ab=(3,1),所以2?x=3,0?y=1,解得x=?1,y=?1,所以對于A,因?yàn)閍·b=2+0=2,故A錯誤;對于B,因?yàn)?×(1)0×(1)≠0,故a與b不共線,故B錯誤;對于C,a+b=(1,1),所以b·(a+b)=1×1+(1)×(1)=0,所以b⊥(a+b),故C正確;對于D,|a|=2,|b|=1+1=2,所以|a|≠|(zhì)b|,故D錯誤.等和線1.等和線定義由平面向量基本定理,得OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上時,可以過點(diǎn)P作直線AB的平行線,且與OA,OB所在的直線分別交于M,N兩點(diǎn),則由P,M,N三點(diǎn)共線,不難得出OP=xOM+yON,且x+y=1.又由平行線分線段成比例定理,得OM=kOA,ON=kOB其中則OP=xOM+yON=kxOA+kyOB,即λ=kx,μ=ky,故λ+μ=k(x+y)=k.把過點(diǎn)P作直線AB的平行線MN稱為等和線.2.等和線的相關(guān)結(jié)論(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時,k=1;(2)當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時,k∈(0,1);(3)當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時,k∈(1,+∞);(4)當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)O時,k=0;(5)若兩等和線關(guān)于點(diǎn)O對稱,則定值k互為相反數(shù).典例如圖,在正六邊形ABCDEF中,P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動點(diǎn),設(shè)AP=αAB+βAF(α,β∈R),則α+β的取值范圍是.

答案[3,4]解析當(dāng)P在△CDE內(nèi)時,直線EC是最近的平行線,過點(diǎn)D的平行線是最遠(yuǎn)的,所以α+β∈ANAM,ADAM=[3應(yīng)用等和線解題的步驟(1)確定單位線(當(dāng)λ+μ=1時的等和線);(2)平移等和線,分析何處取得最值;(3)從長度比計(jì)算最值.訓(xùn)練設(shè)D,E分別是△ABC邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,若DE=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=答案1解析因?yàn)镈E=AEAD,所以AEAD=λAB+μAC,因?yàn)锳D=12AB,所以AE=λ+12AB+μAC,由于此時等和線為BC,所以λ+12+μ=一、單選題1.(2024·江蘇南京學(xué)情調(diào)研)在△ABC中,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn).記CA=m,CD=n,CB=().A.2m+n B.m+2n C.2mn D.m+2n答案D解析因?yàn)辄c(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),所以AD=DB,CB=CD+DB=n+AD=n+CDCA=n+nm=2nm.2.下列向量組中,能作為基底的是().A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,3),e2=1答案B3.已知平面向量a=(3,2),b=(2,1),若(a+λb)⊥b,則實(shí)數(shù)λ=().A.45 B.35 C.35 答案D解析平面向量a=(3,2),b=(2,1),則a+λb=(32λ,2+λ),由(a+λb)⊥b,則(a+λb)·b=2(32λ)+2+λ=0,解得λ=454.(2023·全國甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,ab>=().A.117 B.1717C.5答案B解析因?yàn)閍=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),ab=(1,1),則|a+b|=52+32=34,|ab|=1+1=2,(a+b)·(ab)=5×1+3×(1)=2,所以cos<a+b,ab>=(a二、多選題5.已知點(diǎn)A(1,0),B(0,2),C(1,2),則以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是().A.(0,4) B.(2,4)C.(2,0) D.(2,1)答案ABC解析設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)槠叫兴倪呅蔚乃膫€頂點(diǎn)為A,B,C,D,所以可能有以下三種情形:當(dāng)AB=DC時,即(1,2)=(1x,2y),解得x=0,y=?4,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0當(dāng)AB=CD時,即(1,2)=(x+1,y+2),解得x=?2,y=0,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2當(dāng)AC=DB,即(2,2)=(x,2y),解得x=2,y=4,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,6.(2024·福建第一次質(zhì)量檢測)已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(m2,n),其中m,n均為正數(shù),且(ab)∥c,則下列說法正確的是().A.a與b的夾角為鈍角B.向量a在b方向上的投影為55C.2m+n=4D.mn的最大值為答案CD解析由題意,m,n均為正數(shù),a=(2,1),b=(1,1),c=(m2,n),對于A,因?yàn)閍·b=21=1>0,所以a與b的夾角不為鈍角,A錯誤;對于B,因?yàn)閍·b|b|=112+(-1)2=2對于C,因?yàn)閍b=(1,2),(ab)∥c,所以2(m2)=n,即2m+n=4,C正確;對于D,因?yàn)?=2m+n≥22mn,即mn≤2,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n=2時等號成立所以mn的最大值為2,D正確.三、填空題7.(2023·江蘇前黃中學(xué)月考)已知e1與e2不共線,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a與b是一組基底,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

答案-∞,12解析因?yàn)閑1與e2不共線,a=e1+2e2,b=λe1+e2,若a與b共線,則a=μb(μ∈R),即a=e1+2e2=μ(λe1+e2),所以λμ=1,μ因?yàn)閍與b是一組基底,所以a與b不共線,所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-∞,12∪8.設(shè)a,b是兩個單位向量,若a+b在b上的投影向量為23b,則cos<a,b>=答案1解析因?yàn)閍+b在b上的投影向量為23b,所以a+b·b|b|·b|b|=23b,所以a·b=13,又a,b是兩個單位向量,即|a|=|b|=四、解答題9.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,AB=2e1+e2,BE=e1+λe2,EC=2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,2),求BC的坐標(biāo).解析(1)依題意,AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線,又EC≠0,所以存在實(shí)數(shù)k,使得AE=kEC,即e1+(1+λ)e2=k(2e1+e2),得(1+2k)e1=(k1λ)e2,而e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,因此1+2k=0,所以實(shí)數(shù)λ的值為32(2)由(1)知BE=e132e2,所以BC=BE+EC=3e112e2=(6,3)+(1,1)=(7,210.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是AB的中點(diǎn),P是對角線BD上的動點(diǎn),若AC=xAP+yDE(x,y∈R).求:(1)AC·AP的最小值;(2)x+y的最大值.解析以E為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則E(0,0),A(1,0),B(1,0),C(1,1),D(1,1),所以直線BD的方程為y=12x+1設(shè)Pm,1?m2(1≤m(1)因?yàn)锳C=(2,1),AP=m+1,所以AC·AP=2m+2+1?m2=因?yàn)?≤m≤1,所以AC·AP的最小值是1.(2)因?yàn)锳C=xAP+yDE,所以(2,1)=xm+1,1?m2+y(所以(m+1)所以x+y=6?4mm+3=因?yàn)?