湖北省武漢市九所重點中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

武漢市2024屆九所重點中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷武漢市第一中學(xué)命制本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則的元素個數(shù)為（）A.4 B.5 C.2 D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得集合，，結(jié)合集合交集的概念與運算，即可求解.【詳解】由方程，可得，即，又由，解得，即，則，所以中有4個元素.故選：A.2.與垂直的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由單位向量的定義結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,列出方程組即可求解.【詳解】不妨設(shè)與垂直的單位向量是，則有，解方程組得或.故選：D.3.以下滿足的虛數(shù)z是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算以及模長公式逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：若，則，可得，所以，故B錯誤；對于選項C：若，則，可得，所以，故C正確；對于選項D：若，則，可得，所以，故D錯誤；故選：C.4.多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多，則其各項系數(shù)之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二項式定理分析運算即可得解.【詳解】解：由二項式定理，，∵項系數(shù)比項系數(shù)多，∴，即，解得：.∴，令可得各項系數(shù)之和為.故選：D.5.在集合所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合的所有非空真子集的個數(shù)，然后對這些集合中的元素的個數(shù)進行分類，由計數(shù)原理即可求解.【詳解】因為集合中有兩個奇數(shù)：3，5；三個偶數(shù)：2，4，6共5個元素，所以集合的非空真子集一共有個，接下來分四種情形來求滿足題意的非空真子集的個數(shù)：情形一：當(dāng)集合中只有1個元素時，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機選取一個即可，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形二：當(dāng)集合中只有2個元素時，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機選取兩個，或者同時選取3，5，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形三：當(dāng)集合中只有3個元素時，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機選取一個且同時選取3，5，或者同時選取2，4，6，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為；情形四：當(dāng)集合中只有4個元素時，當(dāng)且僅當(dāng)從2，4，6中隨機選取兩個且同時選取3，5，此時滿足題意的非空真子集的個數(shù)為.綜上所述：由分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的非空真子集的個數(shù)共有個，因此在集合的所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是.故選：B.6.如圖，三棱臺中，，現(xiàn)在以下四項中選擇一個，可以證明的條件有（）①；②；③；④；A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】先找到的等價條件，再利用余弦定理分析判斷條件③；再利用空間向量法將條件①轉(zhuǎn)化等價于條件③，從而得解；舉反例排除②；利用余弦定理判斷④，從而得解.【詳解】如圖所示：設(shè)三棱臺的三條側(cè)棱交于一點.因為在三棱臺中，，所以，故等價于，對于條件③：若，分別在中運用余弦定理可得，，，因為，且，所以，所以，故，故條件③滿足題意；對于條件①，若，則，即又注意到，即，且，所以，又，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合以上對條件③的分析，故條件①也滿足題意；對于條件②：不妨設(shè)是兩個互相垂直的等邊三角形，且分別是的中點，因為，，所以，因為，所以，同時又有，滿足題意，此時，取點為的中點，連接，由于是兩個互相垂直的等邊三角形，所以平面平面，且由三線合一可知，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，由于在等邊中，，，故，所以，即，所以，故條件②不滿足題意；對于條件④：分別在中運用余弦定理可得，，，所以不妨設(shè)，，所以，即，所以或，換言之，在條件的情況下，不一定成立，所以不一定成立，故條件④不滿足題意.綜上所述，滿足題意的條件有：①，③；共有兩個.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是找到的等價條件，從而利用余弦定理與立體幾何的定理即可得證.7.拋物線C：的焦點為F，頂點為O，其上兩點（均異于原點O）滿足；過O點作于C，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可以先畫出圖形，設(shè)出直線方程，將其與拋物線C：聯(lián)立，并結(jié)合，可知，然后再結(jié)合，可設(shè)，將其與直線，聯(lián)立可得點的坐標(biāo)（含有參數(shù)），所以由兩點之間的距離公式即可用含參數(shù)的式子表示，從而進一步求解.【詳解】如圖所示：由題意不妨設(shè)直線滿足，，其中，聯(lián)立得，，所以由韋達定理有，從而，又由可知，因為，所以解得，此時滿足題意，故，所以直線，因為，所以不妨設(shè)，聯(lián)立，解得，即點，又，所以，因為，所以，.故選：C.8.求值：（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式及其逆用、誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，通過變形運算即可求解.【詳解】不妨設(shè)所求的值為，則，由正弦的二倍角公式逆用有，由誘導(dǎo)公式、二倍角公式及其逆用得，最終由兩角和差的正弦公式得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：正確的變形技巧以及巧妙運用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.將三角函數(shù)經(jīng)如下變換后得到的圖象：①將圖象向右平移個單位；②將圖象向左平移個單位；③將圖象向下平移個單位；④將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大至原來的2倍；以下變換順序正確的是（）A.④①③ B.④③①① C.②②③④ D.③①④【答案】BCD【解析】【分析】先由二倍角公式逆用、輔助角公式化簡函數(shù)的表達式，然后依據(jù)平移變換法則，對每一選項逐一驗證即可.【詳解】由題意.按A選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故A錯誤；按B選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故B正確；按C選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故C正確；按D選項方式對進行伸縮平移變換后會得到，故D正確.故選：BCD.10.等比數(shù)列和函數(shù)滿足，，則以下數(shù)列也為等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，直接按等比數(shù)列的定義對每一選項逐一判斷即可.【詳解】由題意不妨設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，且，對于A，當(dāng)時，有，且，由等比數(shù)列定義可知數(shù)列是等比數(shù)列，故A選項符合題意；對于B，當(dāng)是正奇數(shù)時，不是正整數(shù)，此時沒有定義，從而數(shù)列不是等比數(shù)列，故B選項不符合題意；對于C，當(dāng)時，有，且，由等比數(shù)列定義可知數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項符合題意；對于D，當(dāng)時，有，但，從而數(shù)列不是等比數(shù)列，故D選項不符合題意.故選：AC.11.如圖，在平整的地面上任一點O處觀測點P處的太陽時，可以將太陽一日的運動軌跡看作一個圓，且這個圓在以O(shè)為球心，半徑很大的球面上．白天觀測到的軌跡是其在地面以上的部分．在點O處立一根桿OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三點共線，則白天時點在地面上運動的軌跡可能是（）A.一個拋物線 B.一條直線 C.一個半橢圓 D.雙曲線的一支【答案】ABD【解析】【分析】分析不同位置時在地面上運動的軌跡，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，由自然地理知識，以六個不同緯度討論桿影軌跡形態(tài).1.赤道春秋分日，赤道上的桿影軌跡為一條經(jīng)過桿腳（原點）的東西向直線，與x軸重合（圖3），因為太陽正東升，太陽視運動軌跡垂直于地平面，故整個上午太陽均在正東方向，影子在正西方向，正午太陽在天頂無桿影，下午太陽位于正西，桿影則在正東.除極點外，全球任意緯度的春秋分桿影軌跡均為一條東西向直線，北半球該線位于桿腳以北，南半球則為以南，緯度越高則直線離桿腳越遠.非春秋分日，赤道上的桿影軌跡為雙曲線.春分至秋分，太陽直射點位于北半球，赤道上觀察太陽位于偏北方，故桿影軌跡位于桿腳的南側(cè)，開口朝南.秋分至次年春分，桿影位于桿腳北側(cè)，開口朝北.日期越接近春秋分則雙曲線的曲率越小，日期越接近二至日則曲率越大.二至日曲率最大，且離桿腳最遠.2.回歸線之間（含回歸線）以為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線.春分至秋分，開口朝南；秋分至次年春分，開口朝北，其中太陽直射時，桿影軌跡過原點（即桿腳）.北回歸線上，夏至日軌跡過原點.3.回歸線至極晝區(qū)邊界以為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線，曲率比低緯地區(qū)有所加大。春分至秋分，開口朝南，夏至軌跡與和軸的交點分別為、；秋分至次年春分，開口朝北，冬至軌跡與軸交點為。在春秋分，軌跡為直線，該直線距軸為個單位，因為正午影長與桿高相等。顯然春秋分軌跡并不是兩至日軌跡的對稱軸。4.極晝區(qū)邊界以南極圈為例，冬至日該地恰好出現(xiàn)極晝，軌跡為開口向北的拋物線.值得一提的是，凡是極晝區(qū)與非極晝區(qū)分界緯線上（即剛出現(xiàn)極晝的緯線），其軌跡為拋物線，而并非橢圓.南極圈其他日期為雙曲線或直線.5.極晝區(qū)（除極點）以為例，極晝期間軌跡為橢圓，24小時均有桿影，正午與子夜太陽高度分別為最大和最小，桿影分別為最短和最長.橢圓長軸位于南北方向，短軸位于東西方向，原點位于橢圓的焦點，越靠近極晝區(qū)的邊緣，則橢圓的偏心率越大.6.極點春秋分日，太陽在地平線上，理論上桿影無限長，桿影軌跡無法表達.極晝期間，極點的桿影軌跡為正圓，圓心為桿腳，因為太陽平行于地平面，一天內(nèi)太陽高度不變.越趨向夏至（或冬至日），圓的半徑越??；越趨向春秋分，則圓半徑趨向無窮大.綜合以上分析可知，桿影軌跡共有雙曲線、直線、拋物線、橢圓和圓5種線條類型.直線是春秋分日的特有形態(tài)，全球（除兩極）皆為直線.拋物線是剛出現(xiàn)極晝地區(qū)（如太陽直射那天，地區(qū)）的特有形態(tài).橢圓是高緯地區(qū)在極晝時期的特有形態(tài).圓是北極點和南極點的特有形態(tài).雙曲線是全球各地的普遍形態(tài)，太陽直射點在北半球時則雙曲線開口朝南，反之則朝北.其中，直線為一條直線，雙曲線和拋物線均為半支，橢圓為一整個橢圓，故ABD正確，C錯誤.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓錐曲線的軌跡，自然地理的地球運動，考查學(xué)生分析問題的能力，日常生活的觀察能力，與其他科目知識綜合運用的能力，具有很強的綜合性.12.已知，若它的圖象恒在x軸上方，則（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.方程可能有三個實數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則D.過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線【答案】D【解析】【分析】A選項，根據(jù)函數(shù)的圖象恒在x軸上方，得到，畫出函數(shù)圖象，可得單調(diào)區(qū)間；B選項，結(jié)合函數(shù)圖象得到方程的根的個數(shù)；C選項，分和兩種情況，得到或；D選項，設(shè)上一點，分為切點和不是切點，結(jié)合函數(shù)圖象可得過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線.【詳解】A選項，因為函數(shù)的圖象恒在x軸上方，時，由于恒成立，故要想恒正，則要滿足，時，恒成立，，當(dāng)時，在恒成立，故在單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，故在上恒成立，滿足要求，當(dāng)時，令，故存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，故時，，不合題意，舍去，綜上：，當(dāng)時，，，且，畫出函數(shù)圖象如下，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，A錯誤；B選項，可以看出方程最多有兩個實數(shù)解，不可能有三個實數(shù)根，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，，解得，當(dāng)時，，則，則函數(shù)在處切線方程為，將代入切線方程得，，其中滿足上式，不滿足，故C錯誤；D選項，當(dāng)時，設(shè)上一點，，當(dāng)切點為，則，故切線方程為，此時有一條切線，當(dāng)切點不為時，設(shè)切點為，則，此時有，即，其中表示直線的斜率，畫出與的圖象，最多有6個交點，故可作6條切線，時，當(dāng)切點不為時，設(shè)切點為，則，，，，結(jié)合圖象可得，存在一個點，使得過點的切線過上時函數(shù)的一點，故可得一條切線，當(dāng)點在時的函數(shù)圖象上時，由圖象可知，不可能作8條切線，綜上，過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線，D正確.故選：D【點睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點即解方程；(3)已知切線過某點(不是切點)求切點,設(shè)出切點利用求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出一個焦距為3的橢圓的標(biāo)準方程：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由，任取一個值，求出相應(yīng)的值，寫出標(biāo)準方程即可．【詳解】由題意，即，又，例如，則，標(biāo)準方程可為．故答案為：．（答案不唯一）14.平面直角坐標(biāo)系中有一直線l：，用斜二測畫法畫出平面的直觀圖，在直觀圖中直線l恰為x軸和y軸的角平分線，則______．【答案】2【解析】【分析】首先畫出平面的直觀圖，對其分析發(fā)現(xiàn)，再將其還原的時候發(fā)現(xiàn)，由斜率公式即可求解.【詳解】畫出平面的直觀圖如圖所示：由題意，平分，所以，過點作軸，交軸于點，所以，所以，從而有，所以有，不妨設(shè)，現(xiàn)在將平面直觀圖還原，如圖所示：由圖可知，此時直線l：經(jīng)過點，所以.故答案為：2.15.已知矩形和另一點E，，，且，連接交直線于點F，若的面積為6，則______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意分兩種情形分別畫出圖形，結(jié)合相似三角形的知識將的底和高分別用含有參數(shù)的代數(shù)式表示，從而可建立方程求解.【詳解】我們分以下兩種情形來解決，情形一：如圖所示：當(dāng)時，有，，所以有，即，解得，此時，由題意，，解得；情形二：如圖所示：當(dāng)時，有，，所以有，即，解得，由題意，，解得.綜上所述：若的面積為6，則或.故答案為：或.16.一張圓形餐桌前有個人，每個人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜．現(xiàn)規(guī)定每人只能在相鄰兩人或餐桌中心的三道菜中隨機夾取一道菜，每個人都各夾過一次菜后，記未被夾取過的菜肴數(shù)為，則______，的通項公式為______．【答案】①.②.【解析】【分析】每一道菜是否被夾都可以看成是兩點分布，要被個人均選擇一次：“夾”或“不夾”，但由于“中心菜具有特殊性”即可以被所有人夾，故先考慮，而對于每個人前面的道菜而言，它可以被兩個人（這兩個人中間隔了這道菜所對的那個人）選擇“夾”或者“不夾”，由此即可求解.【詳解】給所有菜編號，中心菜編號為0，其余每人前面的菜分別為，記事件“中心菜未被夾”為，事件“中心菜被夾”為，則由題意，，所以，記事件“第道菜未被夾”為，事件“第道菜被夾”為，，所以，，所以，而由題意有，所以，從而.故答案為：，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是“特殊元素中心菜”優(yōu)先考慮，其次是注意到其他菜只能被選擇兩次，結(jié)合隨機變量的均值公式即可求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．17.等差數(shù)列中，，的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對任意正數(shù)k，均存在使得成立．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)將變形為，結(jié)合即可算出公差，從而即可求解.（2）結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式以及的通項公式，去分析不等式成立的必要條件為，從而取即可證明.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則.【小問2詳解】由（1）可知，所以，，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．18.已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）作在處的切線交的圖象于另一點，若，求l的斜率．【答案】（1）極大值為，極小值為（2）【解析】【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求得函數(shù)的極值；（2）求得在處的切線l的方程為，設(shè)，結(jié)合，得到，列出方程組，求得，得到方程有另一解，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，解得，，則列表如下：+00+極大值極小值所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】解：由題意，在處的切線l的方程為，整理得，設(shè)，可得，則，從而，可得，解得，所以，由題意可知，方程有另一解，于是，所以，解得或，當(dāng)時，l的斜率；當(dāng)時，l的斜率，綜上可得，切線l的斜率為3．19.中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且；邊上有一點D（D不與三角形的頂點重合）滿足.（1）求C的取值范圍；（2）若，求A．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由正弦定理得，然后分C為鈍角或C為銳角兩種情況，分別畫出圖形并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解.（2）分C為鈍角或C為銳角兩種情況討論，推出C只能是銳角，且由（1）可知，并在中運用余弦定理，即可得出，從而結(jié)合已知以及三角形內(nèi)角和定理即可求解.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，則，又，且，所以，考慮到，則是銳角，如圖所示：若C為鈍角，則，即，此時有，又，則，則；如圖所示：若C為銳角，則，由題意知，則，所以，又，所以，所以，綜上所述，．【小問2詳解】由題知，若C為鈍角，則在中，有，此時，不合題意；故C為銳角，也即，由（1）可知，，且注意到，所以中，由余弦定理得，解得，因為，所以，結(jié)合正弦定理知，于是，又，則，又，將上式代入得，解得．20.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車將成為未來的發(fā)展方向．某市大力推廣新能源汽車，成果顯著，該市近6年的新能源汽車保有量數(shù)據(jù)如下表，年份代號x123456保有量y（萬輛）11.82.745.99.1（1）記時對應(yīng)的汽車保有量為，其相較去年的增長量為，分析發(fā)現(xiàn)變量z和y有線性關(guān)系，試建立變量z和y的回歸方程（精確到0.01）；（2）根據(jù)（1）問的結(jié)果分析：①；②；③當(dāng)中哪一個更適合作為汽車保有量y與年份x的回歸方程類型？判斷并說明理由．附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）（2）②適宜，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)關(guān)于的回歸方程為，結(jié)合最小二乘法，求得的值，即可得出回歸直線方程；（2）由（1）問知和有線性關(guān)系，得到，得出是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而得到回歸方程，滿足②式的形式．【小問1詳解】設(shè)關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時，可得，，則，可得，所以關(guān)于的回歸方程為．【小問2詳解】選擇②，理由如下：由（1）問知和有線性關(guān)系，故用估計，知，則，可得，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，滿足②式的形式，故②適宜作為y與x回歸方程類型．21.空間中的兩平行平面與之間的距離為4，邊長為2的等邊三角形，分別在平面，中，且它們中心的連線垂直于平面；若恒成立.（1）證明：，，兩兩夾角相等；（2）當(dāng)四面體的體積最大時，求（1）問中夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）畫出圖形，通過分析發(fā)現(xiàn)要證，，兩兩夾角相等，只需，注意到，且，，從而，同理即可得證.（2）分兩種情況：P在線段上，或者P在線段的延長線上，然后畫出圖形，通過分析發(fā)現(xiàn)從而可知，結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)及結(jié)論即可求出的值，最終由向量夾角的余弦公式即可求解.【小問1詳解】記和中心分別為點O，，當(dāng)時，記點，，所在位置分別為點，，，易知為正三棱柱，且點，，，，，均在以為圓心的圓上，的半徑為；因為，所以，同理可得，記，則在中，，由上知，于是，且，，，則，下面只需證明，因為，同理有，，而在中，由于，所以和所對弧長相等，即，所以，則，，也即，則，同理有，所以，所以，即，，兩兩夾角相等．【小問2詳解