湖南省2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)第二十講解直角三角形課件

第二十講解直角三角形湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)必備知識(shí)·夯根基高頻考點(diǎn)·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識(shí)·夯根基

A【課標(biāo)要點(diǎn)】2.特殊角的三角函數(shù)值sin30°=

,cos30°=

,tan30°=

;

sin45°=

,cos45°=

,tan45°=

;

sin60°=

,cos60°=

,tan60°=

.

1

C

60°

【課標(biāo)要點(diǎn)】3.解直角三角形(1)直角三角形中的邊角關(guān)系(2)解直角三角形:由直角三角形中的______________,

求出其余______________的過(guò)程.

三邊關(guān)系_____________兩銳角關(guān)系__________________邊角之間的關(guān)系sinA=cosB=

,

sinB=cosA=

,

tanA=

,tanB=

.

a2+b2=c2

∠A+∠B=90°

已知元素

未知元素

B

45

【課標(biāo)要點(diǎn)】4.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(1)解直角三角形應(yīng)用中的相關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)①仰角和俯角:仰角是__________看的視線與水平線的夾角;俯角是__________看的視線與水平線的夾角.如圖1:

向上

向下

②坡角:坡面與____________的夾角α;

坡度(坡比):坡面的鉛直高度h和______________的比;坡度i與坡角α之間的關(guān)系為:i=h/l=__________.如圖2:

③方向角:一般是指從__________或__________方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角.如圖3點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°方向(或西南方向),點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏西65°方向

水平面

水平寬度l

tanα

正北

正南

(2)解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的一般步驟:①將實(shí)際問(wèn)題抽象為_(kāi)_________問(wèn)題(畫(huà)出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題).

②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)______________函數(shù)或__________關(guān)系去解直角三角形,得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案,再轉(zhuǎn)化得到__________問(wèn)題的答案.

數(shù)學(xué)

銳角三角

邊角

實(shí)際

D

C

高頻考點(diǎn)·釋疑難

A【方法技巧】求銳角三角函數(shù)值的“三方法”(1)以網(wǎng)格和坐標(biāo)系為背景,分清直角邊、斜邊,根據(jù)勾股定理求出需要的邊,用三角函數(shù)定義求值;(2)構(gòu)造直角三角形,把銳角放到直角三角形中,然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解;(3)借助等角求值,找出一個(gè)與之相等的角,其等角的三角函數(shù)值即為此角的三角函數(shù)值.提醒:若直角三角形的邊長(zhǎng)未知,可以設(shè)參數(shù),再在求三角函數(shù)值的過(guò)程中約去參數(shù).

B

4

BA

【方法技巧】解直角三角形的規(guī)律解直角三角形的方法可概括為“有斜用弦,無(wú)斜用切,寧乘勿除,取原避中”,即當(dāng)已知斜邊時(shí),就用正弦(或余弦),無(wú)斜邊時(shí),就用正切;當(dāng)求值可用乘法又可用除法時(shí),則用乘法,不用除法;當(dāng)可用已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時(shí),則用已知數(shù)據(jù),避免用中間數(shù)據(jù).【變式訓(xùn)練】1.(2023·益陽(yáng)期末)如圖,已知Rt△ABC,CD是斜邊AB上的高,那么下列結(jié)論正確的是

()A.CD=AB·tanB

B.CD=AD·cosAC.CD=AC·sinB

D.CD=BC·cosAD

考點(diǎn)4

解直角三角形的應(yīng)用【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)上冊(cè)·P130T5)如圖,塔AD的高度為30m,塔的底部D與橋BC位于同一條水平直線上.由塔頂A測(cè)得B和C的俯角∠EAB,∠EAC分別為60°和30°.求BD,BC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.01m).【思路點(diǎn)撥】利用AD及正切函數(shù)的定義求得BD,DC長(zhǎng),把這兩條線段相減即為BC長(zhǎng).

【方法技巧】1.應(yīng)用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的方法與步驟(1)得直角三角形:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境畫(huà)出直角三角形,若無(wú)現(xiàn)成的直角三角形,則需要作垂線等構(gòu)造出直角三角形.(2)解直角三角形:得到直角三角形后,將題干中的已知量和三角形的邊角對(duì)應(yīng)起來(lái),看能否直接求解,若不能,則需要設(shè)某一線段長(zhǎng)為x,列方程求解.2.應(yīng)用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)注意仰角俯角的區(qū)別:仰角的視線在水平線上,俯角的視線在水平線下.(2)注意坡度的實(shí)際含義:坡度不是坡角的度數(shù),而是坡角的正弦值.(3)注意方位角的基準(zhǔn)線:方位角的基準(zhǔn)線是南北方向線,先說(shuō)“南或北”,再說(shuō)偏東或偏西多少度.【變式訓(xùn)練】1.(中考初級(jí)變·2023·岳陽(yáng)中考)2023年岳陽(yáng)舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事.如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°,儀器與氣球的水平距離BC為20米,且距地面高度AB為1.5米,則氣球頂部離地面的高度EC是________米(結(jié)果精確到0.1米,sin21.8°≈0.3714,cos21.8°≈0.9285,tan21.8°≈0.4000).

9.5

2.(中考升級(jí)變·2023·邵陽(yáng)中考)我國(guó)航天事業(yè)捷報(bào)頻傳,2023年5月30日,被譽(yù)為“神箭”的長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭托舉神舟十六號(hào)載人飛船躍入蒼穹,中國(guó)空間站應(yīng)用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功.如圖,有一枚運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射,當(dāng)火箭到達(dá)P處時(shí),地面A處的雷達(dá)站測(cè)得AP距離是5000m,仰角為23°,9s后,火箭直線到達(dá)Q處,此時(shí)地面A處雷達(dá)站測(cè)得Q處的仰角為45°,求火箭從P到Q處的平均速度(結(jié)果精確到1m/s).

(參考數(shù)據(jù):sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)【解析】由題意可得,∠PAO=23°,∠QAO=45°,AP=5000m,則PO=APsin23°≈5000×0.39=1950(m),AO=APcos23°≈5000×0.92=4600(m),∴OQ=AO=4600m,∴PQ=OQ-OP=4600-1950=2650(m),則火箭從P處到Q處的平均速度為2650÷9≈294(m/s),答:火箭從P處到Q處的平均速度為294m/s.常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2021·衡陽(yáng)中考)如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖.自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為37°,大廳兩層之間的距離BC為6米,則自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)約為(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75) ()A.7.5米

B.8米C.9米

D.10米湘約中考·檢成效D

3

10.2

87

5.(2021·婁底中考)高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線,外號(hào)叫魚(yú)骨線,作用是提醒駕駛員在開(kāi)車時(shí)減速慢行.如圖,用平行四邊形ABCD表示一個(gè)“魚(yú)骨”,AB平行于車輛前行方向,BE⊥AB,∠CBE=α,過(guò)B作AD的垂線,垂足為A'(A點(diǎn)的視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)點(diǎn)),若sinα=0.05,AB=300mm,則AA'=________mm.

15

創(chuàng)新題型組

感悟湖南14地市、州新考法9.(2021·株洲中考)某限高曲臂道路閘口如圖所示,AB垂直地面l1于點(diǎn)A,BE與水平線l2的夾角為α(0°≤α≤90°),EF∥l1∥l2,若AB=1.4米,BE=2米,車輛的高度為h(單位:米),不考慮閘口與車輛的寬度:①當(dāng)α=90°時(shí),h小于3.3米的車輛均可以通過(guò)該閘口;②當(dāng)α=45°時(shí),h等于2.9米的車輛不可以通過(guò)該閘口;③當(dāng)α=60°時(shí),h等于3.1米的車輛不可以通過(guò)該閘口.則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為

()A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)C

11.(建立模型·2023·常德中考)今年“五一”長(zhǎng)假期間,小陳、小余同學(xué)和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩,坐在如圖的椅子上休息時(shí),小陳感覺(jué)很舒服,激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心,就想出個(gè)問(wèn)題考考同學(xué)小余,小陳同學(xué)先測(cè)量,根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫(huà)出了圖1的示意圖(圖2).在圖2中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,座板CD與地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.這時(shí)她問(wèn)小余同學(xué),你能算出靠背頂端F點(diǎn)距地面(MN)的高度是多少嗎?請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果(最后結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin65.8°≈0.91,cos65.8°≈0.41,tan65.8°≈2.23)【解析】過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥CD于點(diǎn)Q,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠FBA=114.2°,∴∠FCQ=180°-114.2°=65.8°,FQ=FC·sin∠FCQ=57sin65.8°,過(guò)點(diǎn)A作AP⊥MN于點(diǎn)P,由題意知,AB∥CD∥MN,FC∥AN,則∠ANP=∠FCQ=65.8°,又AN=43cm,∴AP=AN·sin∠ANP=43sin