湖南省2024年數學中考第一輪復習第二十講解直角三角形課件

第二十講解直角三角形湖南2024年數學中考第一輪復習必備知識·夯根基高頻考點·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識·夯根基

A【課標要點】2.特殊角的三角函數值sin30°=

,cos30°=

,tan30°=

;

sin45°=

,cos45°=

,tan45°=

;

sin60°=

,cos60°=

,tan60°=

.

1

C

60°

【課標要點】3.解直角三角形(1)直角三角形中的邊角關系(2)解直角三角形:由直角三角形中的______________,

求出其余______________的過程.

三邊關系_____________兩銳角關系__________________邊角之間的關系sinA=cosB=

,

sinB=cosA=

,

tanA=

,tanB=

.

a2+b2=c2

∠A+∠B=90°

已知元素

未知元素

B

45

【課標要點】4.解直角三角形的實際應用(1)解直角三角形應用中的相關名詞術語①仰角和俯角:仰角是__________看的視線與水平線的夾角;俯角是__________看的視線與水平線的夾角.如圖1:

向上

向下

②坡角:坡面與____________的夾角α;

坡度(坡比):坡面的鉛直高度h和______________的比;坡度i與坡角α之間的關系為:i=h/l=__________.如圖2:

③方向角:一般是指從__________或__________方向到目標方向所形成的小于90°的角.如圖3點B在點O的南偏西45°方向(或西南方向),點A在點O的北偏西65°方向

水平面

水平寬度l

tanα

正北

正南

(2)解直角三角形在實際問題中應用的一般步驟:①將實際問題抽象為__________問題(畫出平面圖形,構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題).

②根據題目已知特點選用適當______________函數或__________關系去解直角三角形,得到數學問題的答案,再轉化得到__________問題的答案.

數學

銳角三角

邊角

實際

D

C

高頻考點·釋疑難

A【方法技巧】求銳角三角函數值的“三方法”(1)以網格和坐標系為背景,分清直角邊、斜邊,根據勾股定理求出需要的邊,用三角函數定義求值;(2)構造直角三角形,把銳角放到直角三角形中,然后利用銳角三角函數的定義求解;(3)借助等角求值,找出一個與之相等的角,其等角的三角函數值即為此角的三角函數值.提醒:若直角三角形的邊長未知,可以設參數,再在求三角函數值的過程中約去參數.

B

4

BA

【方法技巧】解直角三角形的規(guī)律解直角三角形的方法可概括為“有斜用弦,無斜用切,寧乘勿除,取原避中”,即當已知斜邊時,就用正弦(或余弦),無斜邊時,就用正切;當求值可用乘法又可用除法時,則用乘法,不用除法;當可用已知數據又可用中間數據求解時,則用已知數據,避免用中間數據.【變式訓練】1.(2023·益陽期末)如圖,已知Rt△ABC,CD是斜邊AB上的高,那么下列結論正確的是

()A.CD=AB·tanB

B.CD=AD·cosAC.CD=AC·sinB

D.CD=BC·cosAD

考點4

解直角三角形的應用【例4】(教材原題·湘教版九年級上冊·P130T5)如圖,塔AD的高度為30m,塔的底部D與橋BC位于同一條水平直線上.由塔頂A測得B和C的俯角∠EAB,∠EAC分別為60°和30°.求BD,BC的長(結果精確到0.01m).【思路點撥】利用AD及正切函數的定義求得BD,DC長,把這兩條線段相減即為BC長.

【方法技巧】1.應用解直角三角形解決實際問題的方法與步驟(1)得直角三角形:根據實際問題情境畫出直角三角形,若無現成的直角三角形,則需要作垂線等構造出直角三角形.(2)解直角三角形:得到直角三角形后,將題干中的已知量和三角形的邊角對應起來,看能否直接求解,若不能,則需要設某一線段長為x,列方程求解.2.應用解直角三角形解決實際問題的注意事項(1)注意仰角俯角的區(qū)別:仰角的視線在水平線上,俯角的視線在水平線下.(2)注意坡度的實際含義:坡度不是坡角的度數,而是坡角的正弦值.(3)注意方位角的基準線:方位角的基準線是南北方向線,先說“南或北”,再說偏東或偏西多少度.【變式訓練】1.(中考初級變·2023·岳陽中考)2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事.如圖,某校數學興趣小組在A處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°,儀器與氣球的水平距離BC為20米,且距地面高度AB為1.5米,則氣球頂部離地面的高度EC是________米(結果精確到0.1米,sin21.8°≈0.3714,cos21.8°≈0.9285,tan21.8°≈0.4000).

9.5

2.(中考升級變·2023·邵陽中考)我國航天事業(yè)捷報頻傳,2023年5月30日,被譽為“神箭”的長征二號F運載火箭托舉神舟十六號載人飛船躍入蒼穹,中國空間站應用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務取得圓滿成功.如圖,有一枚運載火箭從地面O處發(fā)射,當火箭到達P處時,地面A處的雷達站測得AP距離是5000m,仰角為23°,9s后,火箭直線到達Q處,此時地面A處雷達站測得Q處的仰角為45°,求火箭從P到Q處的平均速度(結果精確到1m/s).

(參考數據:sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)【解析】由題意可得,∠PAO=23°,∠QAO=45°,AP=5000m,則PO=APsin23°≈5000×0.39=1950(m),AO=APcos23°≈5000×0.92=4600(m),∴OQ=AO=4600m,∴PQ=OQ-OP=4600-1950=2650(m),則火箭從P處到Q處的平均速度為2650÷9≈294(m/s),答:火箭從P處到Q處的平均速度為294m/s.常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2021·衡陽中考)如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯AB的傾斜角為37°,大廳兩層之間的距離BC為6米,則自動扶梯AB的長約為(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75) ()A.7.5米

B.8米C.9米

D.10米湘約中考·檢成效D

3

10.2

87

5.(2021·婁底中考)高速公路上有一種標線叫縱向減速標線,外號叫魚骨線,作用是提醒駕駛員在開車時減速慢行.如圖,用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”,AB平行于車輛前行方向,BE⊥AB,∠CBE=α,過B作AD的垂線,垂足為A'(A點的視覺錯覺點),若sinα=0.05,AB=300mm,則AA'=________mm.

15

創(chuàng)新題型組

感悟湖南14地市、州新考法9.(2021·株洲中考)某限高曲臂道路閘口如圖所示,AB垂直地面l1于點A,BE與水平線l2的夾角為α(0°≤α≤90°),EF∥l1∥l2,若AB=1.4米,BE=2米,車輛的高度為h(單位:米),不考慮閘口與車輛的寬度:①當α=90°時,h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口;②當α=45°時,h等于2.9米的車輛不可以通過該閘口;③當α=60°時,h等于3.1米的車輛不可以通過該閘口.則上述說法正確的個數為

()A.0個

B.1個

C.2個

D.3個C

11.(建立模型·2023·常德中考)今年“五一”長假期間,小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩,坐在如圖的椅子上休息時,小陳感覺很舒服,激發(fā)了她對這把椅子的好奇心,就想出個問題考考同學小余,小陳同學先測量,根據測量結果畫出了圖1的示意圖(圖2).在圖2中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,座板CD與地面MN平行,△EBC是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.這時她問小余同學,你能算出靠背頂端F點距地面(MN)的高度是多少嗎?請你幫小余同學算出結果(最后結果保留一位小數).(參考數據:sin65.8°≈0.91,cos65.8°≈0.41,tan65.8°≈2.23)【解析】過點F作FQ⊥CD于點Q,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠FBA=114.2°,∴∠FCQ=180°-114.2°=65.8°,FQ=FC·sin∠FCQ=57sin65.8°,過點A作AP⊥MN于點P,由題意知,AB∥CD∥MN,FC∥AN,則∠ANP=∠FCQ=65.8°,又AN=43cm,∴AP=AN·sin∠ANP=43sin