專題03條件概率與全概率公式

專題03條件概率與全概率公式專題03條件概率與全概率公式一．事件的相互獨(dú)立性1.兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.必然事件Ω，不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立.2.相互獨(dú)立的性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．二．條件概率①定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)·P(B|A)．三．條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．四．全概率公式1.P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；2.定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai).五．貝葉斯公式1.一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).2.定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))PAiPB|Ai)).3.拓展：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉(zhuǎn)化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內(nèi)在聯(lián)系．六、常用結(jié)論與知識(shí)拓展1.兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥．2.P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3.計(jì)算條件概率P(B|A)時(shí)，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．題型一相互獨(dú)立事件判斷【典例1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立【答案】【解析】P(甲)＝eq\f(1,6)，P(乙)＝eq\f(1,6)，P(丙)＝eq\f(5,36)，P(丁)＝eq\f(1,6).因?yàn)镻(甲丙)＝0≠P(甲)·P(丙)，所以甲與丙不獨(dú)立，A錯(cuò)誤；P(甲丁)＝eq\f(1,36)＝P(甲)P(丁)，所以甲與丁相互獨(dú)立，B正確；P(乙丙)＝eq\f(1,36)≠P(乙)P(丙)，所以乙與丙不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，所以丙與丁不獨(dú)立，D錯(cuò)誤．故選B．【典例2】【多選題】（2324高二下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知，是隨機(jī)事件，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．，為對(duì)立事件C．，相互獨(dú)立 D．【答案】AD【分析】利用對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)直接求解.【詳解】，是隨機(jī)事件，，且對(duì)于A，，即，，即，又，故，A正確；對(duì)于BCD，因?yàn)?，所以，由于，，則，所以，不是對(duì)立事件則，所以，不是相互獨(dú)立事件，故BC錯(cuò)誤；D正確.故選：AD【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．題型二：獨(dú)立事件與互斥事件【典例3】（2324高二上·浙江舟山·期末）已知事件，且，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，那么，則分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件的定義可求，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求，由此可判斷結(jié)論.【詳解】如果事件與互斥，則，所以.如果事件與相互獨(dú)立，則事件與也相互獨(dú)立，所以，，即.故選：C.【典例4】（2324高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）射箭是群眾喜聞樂(lè)見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式之一，某項(xiàng)賽事前，甲、乙兩名射箭愛(ài)好者各射了一組（72支）箭進(jìn)行賽前熱身訓(xùn)練，下表是箭靶區(qū)域劃分及兩人成績(jī)的頻數(shù)記錄信息：用賽前熱身訓(xùn)練的成績(jī)估計(jì)兩名運(yùn)動(dòng)員的正式比賽的競(jìng)技水平，并假設(shè)運(yùn)動(dòng)員競(jìng)技水平互不影響，運(yùn)動(dòng)員每支箭的成績(jī)也互不影響．箭靶區(qū)域環(huán)外黑環(huán)藍(lán)環(huán)紅環(huán)黃圈區(qū)域顏色白色黑色藍(lán)色紅色黃色環(huán)數(shù)12環(huán)34環(huán)5環(huán)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲成績(jī)（頻數(shù)）0012363624乙成績(jī)（頻數(shù)）01245123612(1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8環(huán)及以上的概率；(2)甲乙各射出兩支箭，求共有3支箭命中黃圈的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)“甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中8環(huán)及以上”，“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中8環(huán)及以上”，“有人命中8環(huán)及以上”，由獨(dú)立事件的概率可得求解即可；（2）設(shè)“甲運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，“乙運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，“共有3支箭命中黃圈”，由題意可得，由獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)“甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中8環(huán)及以上”，“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中8環(huán)及以上”，“有人命中8環(huán)及以上”，則，，顯然事件A，B相互獨(dú)立，，，所以甲乙各射出一支箭，有人命中8環(huán)及以上的概率為．（2）解：設(shè)“甲運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，“乙運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，∴，，設(shè)“共有3支箭命中黃圈”，，∵，，，相互獨(dú)立，，，，互斥，∴甲乙各射出兩支箭，共有3支箭命中黃圈的概率為：.題型三相互獨(dú)立事件概率計(jì)算【典例5】（2023·天津·高考真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無(wú)其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為．【答案】/【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以，．故答案為：；．【典例6】（2007·陜西·高考真題）某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否回答正確互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）記表示該選手能正確回答第個(gè)問(wèn)題，則．該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰就是前三輪答題成功，第四輪沒(méi)有成功，各輪問(wèn)題能否回答正確互不影響，所以所求概率是.（2）該選手至多進(jìn)入第三輪考核，即可能第一輪被淘汰，可能第二輪被淘汰，可能第三輪被淘汰，這三種情況又是互斥的，所以所求概率為．【規(guī)律方法】1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．3.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．4．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．5.計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問(wèn)題可以考慮間接法．題型四條件概率的計(jì)算【典例7】（2023·全國(guó)·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【分析】先算出同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識(shí)求解.【詳解】同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件，則，所以.故選:.【典例8】（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.【規(guī)律方法】1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問(wèn)題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.題型五條件概率性質(zhì)的應(yīng)用【典例9】（2324高二上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，則.【答案】【分析】求出的值，利用條件概率公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，.故答案為：.【典例10】（2324高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知，，，則，．【答案】//【分析】根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合已知即可求出；由，結(jié)合已知推得，進(jìn)而即可根據(jù)概率的性質(zhì)，得出.【詳解】根據(jù)條件概率的公式可得，，所以，.又，所以.又，所以，.故答案為：；.【規(guī)律方法】條件概率性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．題型六全概率公式的應(yīng)用【典例11】（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式、全概率公式列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，記選“初心”隊(duì)為事件，選“使命”隊(duì)為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊(duì)參加比賽的概率.故選：D【典例12】（2324高三下·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.【答案】/0.4【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進(jìn)行了三局的概率.【詳解】設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽共進(jìn)行了3局為事件B，則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局，，，所以.故答案為：.【總結(jié)提升】利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算．題型七貝葉斯概率公式的應(yīng)用【典例13】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：C．【典例14】（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.若已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)為1的概率.【答案】【分析】由條件概率和貝葉斯公式計(jì)算．【詳解】設(shè)A表示“發(fā)送的信號(hào)為0”，B表示“接收的信號(hào)為0”，則表示“發(fā)送的信號(hào)為1”，表示“接收的信號(hào)為1”.由題意得，，，，，.由貝葉斯公式有.故已知接收的信號(hào)為0，則發(fā)送的信號(hào)為1的概率為.【規(guī)律方法】利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計(jì)算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．題型八遞推法求概率【典例15】【多選題】（2324高三上·湖北·階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)A根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對(duì)B，直接計(jì)算即可；對(duì)C，利用全概率公式即可；對(duì)D，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)閷?duì)立事件是互斥事件，所以A正確；對(duì)B，，所以B錯(cuò)；對(duì)C，由全概率公式可知，所以C正確；對(duì)D，由C可知，因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以是關(guān)于n的遞減數(shù)列，所以，D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡(jiǎn)得到，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)性即可.【典例16】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）隨著芯片技術(shù)的不斷發(fā)展，的性能越來(lái)越強(qiáng)大，為用戶體驗(yàn)帶來(lái)了極大的提升．某科技公司開(kāi)發(fā)了一款學(xué)習(xí)類的闖關(guān)益智游戲，每一關(guān)的難度分別有“容易”“適中”“困難”三個(gè)檔次，并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān)，若上一關(guān)的難度是“容易”或者“適中”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，若上一關(guān)的難度是“困難”，則下一關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，已知第1關(guān)的難度為“容易”．(1)求第3關(guān)的難度為“困難”的概率；(2)用表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)概率事件的關(guān)系分析求解即可；（2）利用概率分布結(jié)合等比數(shù)列求解第關(guān)的難度為“困難”的概率即可.【詳解】（1）已知第1關(guān)的難度為“容易”，則第2關(guān)的難度是“容易”“適中”“困難”的概率分別為，故第3關(guān)的難度是“困難”的概率為；（2）由題意可得，表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，表示第關(guān)的難度為“困難”的概率，則，整理可得：，根據(jù)題意得，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.一、選擇題：1．（2014·全國(guó)·高考真題）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【答案】A【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.2.（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率分別為，加工出來(lái)的零件混放在一起．己知第臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由全概率公式、條件概率公式和貝葉斯公式，結(jié)合已知條件，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：；；由全概率公式可得：；故.故選：D.3．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件B，被檢測(cè)者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.4．（2324高二下·山東青島·階段練習(xí)）盒中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，隨機(jī)地從中取出1個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個(gè)，再?gòu)暮兄腥〕?個(gè)球，則取出的是黑球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意運(yùn)用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示第一次抽取的是黑球，則，，事件表示第二次抽取的是黑球，可知，所以故選：A.5．（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式、全概率公式列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，記選“初心”隊(duì)為事件，選“使命”隊(duì)為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊(duì)參加比賽的概率.故選：D6．（2324高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）某學(xué)校高中部有自由、青華兩個(gè)校區(qū)，數(shù)學(xué)教研組每周選擇其中一個(gè)校區(qū)開(kāi)例會(huì)，第一周例會(huì)選擇青華校區(qū)的概率是，如果第一周例會(huì)選擇自由校區(qū)，那么第二周去自由校區(qū)的概率為；如果第一周去青華校區(qū)，那么第二周去自由校區(qū)的概率為；已知數(shù)學(xué)教研組第二周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)，則第一周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用全概率公式與貝葉斯公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)第一周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)為事件，第二周去自由校區(qū)開(kāi)會(huì)為事件，則，，所以，則.故選：A.二、多選題7．（2324高二下·河北滄州·階段練習(xí)）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則A，B相互獨(dú)立B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】由獨(dú)立事件概率可判斷A，由條件概率公式可判斷BCD.【詳解】及，得，即，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；由，得，所以，故B錯(cuò)誤；由A知當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；，，所以等式不成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC．8．（2024·湖北·二模）已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨(dú)立，則D．若若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件性質(zhì)可求得A正確，B錯(cuò)誤，再由相互獨(dú)立事件性質(zhì)可得C正確，利用對(duì)立事件及條件概率公式可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若為互斥事件，則，即可得A正確；對(duì)于B，由可得，又為互斥事件，則，又，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若相互獨(dú)立，則,所以，即C正確；對(duì)于D，若，所以；可得，所以，即D正確.故選：ACD三、填空題：9．（2324高二上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，則.【答案】【分析】求出的值，利用條件概率公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，.故答案為：.10．（2010·安徽·高考真題）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．①；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)【答案】②④【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷④；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式分別得出事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.【詳解】由題意可知事件不可能同時(shí)發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；由題意得，故②正確；,①⑤錯(cuò)；因?yàn)?，所以事件B與事件A1不獨(dú)立，③錯(cuò)；綜上選②④故答案為：②④四、解答題：11．（2023·河南·三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來(lái)自哪個(gè)班的可能性最大．【答案】(1)(2)來(lái)自丙班的可能性最大【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算，即可判斷.【詳解】（1）設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，“所選學(xué)生來(lái)自甲班”，“所選學(xué)生來(lái)自乙班”,“所選學(xué)生來(lái)自丙班”．由題可