2020屆阜陽市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版）

2019-2020學年安徽省阜陽市高三（上）期末

數(shù)學試卷（文科）

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設集合A={W-3<x<-l},B={X|%2-4X-12<0},則ACB=()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.(-1.6]D.(-3,-1)

2.已知復數(shù)z=2-i,目為z的共扼復數(shù)，則（1+z）?日=（

)

A.5+iB.5-zC.7-zD.7+z

3.已知平面向量口=（2,1），/（2,4）,則向量口，口夾角的余弦值為（）

A.gB.目C.目D.目

4.某單位去年的開支分布的折線圖如圖I所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2

所示，則去年的水費開支占總開支的百分比為（）

fflI

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

已知則

5.tana=|7^>cos(2a-1)=()

A-SB-I3c.囹D用

Lx-y<0|

6.若x,y滿足約束條件，:彳,則z=4x+y的最大值為（)

A.-5B.-lC.5D.6

（>0,6>0）的焦點到它的漸近線的距離為2,點P（-3通，-2）是雙曲線

7.已知雙曲線C：fl

C上的一點，則雙曲線c的離心率為（）

A.國B.|C.|

8,將函數(shù)/（x）=sin（3x+|）的圖象向右平移機（w>0）個單位長度，得到函數(shù)gQ）的圖象，若g（x）

為奇函數(shù)，則機的最小值為（）

A.|B.gC.gD.|

9.已知p：In2?ln9>l植?lna,q：函數(shù)/（x）=|huk在（0,e4］上有2個零點，則。是口的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.一個由兩個圓柱組合而成的的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為n，大圓柱底面半徑為/'2,

如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為如圖2放置容器，液面以上空余部分的高為〃2.則

A.日B畫C.冏

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)寸(-尤)，且在[0,+oo)上是增函數(shù)，不等式“取+2)g(-l)

對于2]恒成立，則a的取值范圍是()

A.[-1.5,-11B.[-l,-0.5]C.[-0.5,0]D.[0,1]

12.已知函數(shù)f(x)=：t(2nx+x+|)恰有一個極值點為1，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.(-8,-u｛軟B.(-8,JC.(-8,JD.(一8,一U痘

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和是5,”公差4=3,且切、如痣成等比數(shù)列，貝”io=.

14.中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一.直角三角形最短的邊稱為勾，另一直角邊為股，斜邊

為弦，其三邊長組成的一組數(shù)據(jù)成為勾股數(shù).現(xiàn)從1?5這5個數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，這三個數(shù)

為勾股數(shù)的概率為.

15.如圖，圓錐V。的母線長為/,軸截面V4B的頂角“VB=150。，則過此圓*

錐的頂點作該圓錐的任意截面VCQ,則△VC。面積的最大值是_____,此

時WC￡>=______./6

16.過拋物線C：x2=4y的準線上任意一點P作拋物線的切線PA、PB,切點分<Q__

別為A、B.則4點到準線的距離與B點到準線的距離之和的最小值是

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(sinA+sinB)(a-b)+/?sinC=csinC.點。為邊

BC的中點，且

(1)求A；

(2)若。=2c,求AABC的面積.

18.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃尸1,且斯+1

(1)證明數(shù)列｛國｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

(2)若bn昌,求數(shù)列｛兒｝的前〃項和s“.

19.《中央廣播電視總臺2019主持人大賽》是中央人民廣播電視總臺成立后推出的第一個電視大賽，由撒

貝寧擔任主持人，康輝、董卿擔任點評嘉賓，敬一丹、魯健、朱迅、俞虹、李宏巖等17位擔任專業(yè)評

審.從2019年10月26日起，每周六20：00在中央電視臺綜合頻道播出，某傳媒大學為了解大學生

對主持人大賽的關注情況，分別在大一和大二兩個年級各隨機抽取了100名大學生進行調查.如圖是

根據(jù)調查結果繪制的學生場均關注比賽的時間頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，并將場均關注比賽的時

間不低于80分鐘的學生稱為“賽迷”.

大二學生場均關注比賽時間的頻數(shù)分布表

時間分組頻數(shù)

[0,20)12

[20,40)20

140,60)24

[60,80)22

[80,100)16

[100,120]6

(1)將頻率視為概率，估計哪個年級的大學生是“賽迷”的概率大，請說明理由；

(2)已知抽到的100名大一學生中有男生50名，其中10名為“賽迷”.試完成下面的2x2列聯(lián)表,

并據(jù)此判斷是否有90%的把握認為“塞迷”與性別有關.

非“塞迷”“塞迷”合計

男

女

合計

2__________n(ad-bc)2_______

附：,其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d：

P(木泌))0.150.100.050.025

2.0722.7063.8415.024

大一學生場均關注比騫時間的頻率分布直方圖

0.0125

0.0IK

(),0KM

().(XNO

0.0()：

0()025

02040前80100120時間/分鐘

20.如圖1,在等腰梯形ABFiB中，兩腰AB=2Q=2,底邊AB=6,QB=4,D、C是45的三等分點，E

是尸產2的中點.分別沿CE,OE將四邊形BCEFi和ADE尸2折起，使凡、B重合于點兒得到如圖2

所示的幾何體.在圖2中，M、N分別為C。、EF的中點.

(1)證明：MML平面4BCO

(2)求幾何體ABF-DCE的體積.

E+y[l(a>D的左頂點為A,右焦點為F,斜率為1的直線與橢圓C交于A、8兩點,

21.已知橢圓C：

且OB1A8,其中O為坐標原點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設過點尸且與直線4B平行的直線與橢圓C交于M、N兩點，若點P滿足加=3品，且NP與

橢圓C的另一個交點為。，求固的值.

22.設函數(shù)/(x)其中(0,1),1為正實數(shù).

(1)若不等式f(x)<0恒成立，求實數(shù)/的取值范圍;

(2)當天€(0,1)時.，證明/+%_/Ve-nx.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???集合B={x|f-4x-12wO}=3-2人6},集合4={43VxV-l},

??AQB={x\-2<x<-\],

故選:A.

先求出集合&再利用集合的交集運算即可求出Ana

本題主要考查了集合的基本運算，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：?.?z=2-i,g=2+i,

則（1+z）*|=（3-i）（2+i）,

=7+z.

故選：D.

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算及共規(guī)復數(shù)的概念進行化簡，即可求解.

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共朝復數(shù)的概念，是基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：???.（2,1），.（2,4）,

a-b84

cos<a,0>=謫=用再個

故選:B.

根據(jù)向量口的坐標，以及向量夾角的余弦公式即可求出卜S<;，;〉|的值.

本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量坐標求向量長度的方法，向量夾角的余弦公式，考查了計算

能力，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：由拆線圖知去年水、電、交通支出占總支出的百分比為20%,

由條形圖得去年水、電、交通支出合計為：

250+450+100=800（萬元），

共中水費支出250（萬元），

???去年的水費開支占總開支的百分比為：20%=6.25%.

故選：A.

由拆線圖知去年水、電、交通支出占總支出的百分比為20%,由條形圖得去年水、電、交通支出合計為

250+450+100=800（萬元），共中水費支出250（萬元），由此能求出去年的水費開支占總開支的百分比.

本題考查去年的水費開支占總開支的百分比的求法，考查拆線圖、條形圖等基礎知識，考查運算求解能力,

是基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：已知ltana=O，

則cos(2a1)=13(sin2a+cos2a)痔三包車迷

Lil1_￡|/s加"a+cos&a_____

_>/22tana+l-tan2a_后"""2亞+卜-0

21+tan-236|

故選：D.

利用二倍角公式把cos(2a-|)化成齊次式，再化成正切，代入即可.

考查二倍角公式的應用，中檔題.

6.【答案】C

,x-y<0|

【解析】解：由約束條件:"同作出可行域如圖,

聯(lián)立二：，解得C(1,1).

化目標函數(shù)z=4x+y為y=-4x+z,由圖可知，當直線y--4x+z過點C

時，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為5.

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結

合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答

案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：雙曲線C：(，=1(〃>0,b>0)的焦點到它的漸近線的距離為2,

可得氏2,點尸(-30,-2)是雙曲線C上的一點，

可得?一1=1,解得〃=3,則c*9+444宜,

所以雙曲線的離心率為：e書卷.

故選：C.

利用已知條件求出江頂點坐標代入雙曲線方程求解m然后求解離心率即可.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：將函數(shù)/(x)=sin(3x+|)的圖象向右平移〃？(m>0)個單位長度,

得到函數(shù)g(x)=sin(3x-3w+|)的圖象,

又g(x)為奇函數(shù)，

?一3〃2+月=E,keZ,解得加二胃?防,keZ,

故選：C.

先由題意寫出g（幻解析式，根據(jù)g（X）為奇函數(shù)，進而可求出，〃的值.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質，熟記正弦型函數(shù)的性質即可，屬于?？碱}型.

9.【答案】B

【解析】解：p：In2?ln9>ln咽Tn”，即2，n2」n3〉3n3?ma，即41n2>1M即0<a<16,

q：函數(shù)/（x）=|lnxR/在（0,上有2個零點，即|1必=〃，在（0,e4］上有2個交點，則0<〃<4,

則夕是g的必要不充分條件，

故選：B.

先化簡命題，再討論充要性.

本題考查充要性，對數(shù)函數(shù)的求解，零點，屬于基礎題.

10.【答案】B

【解析】解：在圖1中，液面以上空余部分的體積為：nr］hv

在圖2中，液面以上空余部分的體積為：nr］h2

而r灣|=|"羯|,

匹?

故選：B.

在圖1中，液面以上空余部分的體積為：兀在圖2中，液面以上空余部分的體積為：兀r%2，由

口71=巴如，能求出日

本題考查兩個圓柱的高的比值的求法，考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、空間

幾何體的體積等基礎知識，考查的數(shù)學素養(yǎng)主要有邏輯推理、直觀想象等.

11.【答案】A

【解析】解：（JC）滿足/（x）W（-X）,

故/（X）為偶函數(shù)，且在［0,+00）上是增函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，（-co,0）上單調遞減，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大,

丫不等式/'（皿+2）</'（-1）對于x€［l,2］恒成立,

則3+2區(qū)1,

.,.-1<O￥+2<1,

即-3%爛?1對于xG［l,2］恒成立,

（-3<a<-1

根據(jù)一次函數(shù)的性質可得，｛332&2-1，

解可得，-iWaW-l.

故選：A.

由題意f（x）為偶函數(shù)，且在［0,+oo）上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，（-co,0）上單調遞減,

距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，由題意可得|以+2區(qū)1,對于在［1,2］恒成立，然后結合一次函數(shù)的性質可求.

本題主要考查了偶函數(shù)對稱性的簡單應用，及函數(shù)恒成立問題的應用，屬于中檔試題.

12.【答案】C

【解析】解：由題意知函數(shù)的定義域為（0,+8）,f，⑺=空二定+1一）=（'7（、？（方。,

???函數(shù)/（X）恰有一個極值點1,

.?/（無）=0有且僅有一個解，即X=1是它的唯一解，也就是另一個方程$t=0無解，

令g（x）=六式4〉°）‘則g'（"）=/舞〉°’

???函數(shù)g（x）在（0,+00）上單調遞增，從而|g（x）〉g（0）=［，所以當目時，方程工—t=o無解，

故選：C.

解題的關鍵是把問題轉化為方程$-t=0無解，進而構造函數(shù)求解.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值及最值，考查化簡變形及邏輯推理能力，屬于中檔題.

13.【答案】175

【解析】解：由題意，數(shù)列｛斯｝是公差為3的等差數(shù)列，則

的=。1+24=。1+6,?8=?I+21.

?.⑷、。3、48成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項的性質，可得

|a|=ai*ag>即（0+6）~=a\,（?+21）.

解得G=4.

.?.等差數(shù)列｛%｝的首項為4.

.-.510=10x4+^^x3=175.

故答案為：175.

本題先根據(jù)數(shù)列｛斯｝是公差為3的等差數(shù)列，寫出6、金，然后根據(jù)等比中項的性質列出得國=“「例，解

出再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可算出結果.

本題主要考查等差數(shù)列的性質以及求和公式，等比數(shù)列的性質，考查了數(shù)學計算能力.本題屬中檔題.

14.【答案】g

【解析】解：現(xiàn)從1?5這5個數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，

基本事件總數(shù)〃=@=10,

這三個數(shù)為勾股數(shù)包含的基本事件（a,b,c）有：（3,4,5）,共1個，

二這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為片目

故答案為：目

基本事件總數(shù)〃起=10,這三個數(shù)為勾股數(shù)包含的基本事件（a,h,c）有：（3,4,5）,共1個，由此

能求出這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率.

本題考查概率的求法，考查列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

一

工O

15.【答案】2一45

一

【解析】解：過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面UC。，則△MCD面積的最大值時是等腰直角三角形時,

2

止匕時5AvcD=^l.sin90°=|,且NUO)=45。

故答案分別為：|,45°.

過圓錐頂點的任意截面中，軸截面的面積最大，所以可得△飲弟為等腰直角三角形，由題意求出截面的最

大面積及角.

考查圓錐的軸截面時過頂點的最大面積的三角形，屬于基礎題.

16.【答案】4

【解析】解：顯然直線AB的斜率存在，設直線A8A的方程為：y=kx+b,設A(x,y),)B(x,(/),

由題意知焦點F(0,1),聯(lián)立與拋物線的方程：^-4kx-4b=0,x+x'=4k,xx'=-4b,416爐+16b>0,b>-F,

J1+必+xr)2-4xx'J1+必Jl6k2+16力J1+必Jb+4

A點到準線的距離與B點到準線的距離之和=AF+BF,當A,F,8三點共線時最小，這時氏1,

當A,F,B三點共線時最小，所以AF+BF=AB=4J1+/.d+謁=4(1+))％,這時直線AB平行于x軸.

故答案為：4.

到準線的距離轉化為到焦點的距離，三點共線時距離最小，進而求出最小值.

考查拋物線的性質，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)A7BC中，T(sinA+sinB)(,a-b)+Z?sinC=csinC；

???(sinA+sinB)(a-b)=(sinC-sinB)c,

由正弦定理可得，(a+6)(a-b)=(c-b)c,

化簡可得,b2+c2-a2=bc,

由余弦定理可得，cosA=

vO<A<7t,

(2)vZ?2+c2-^2=/?c,b=2c,

.-.^2=3C2=/?2-C2,

.?珊C=|；

???在直角△8AD中，AD2=C2+|(^=>7=C2+|C2=>C=2,4=2國;

二SAABC=|"=2|^?

【解析】（1）由已知結合正弦定理可得，/+C2-J=bc,然后結合余弦定理可求cosA,進而可求A；

（2）先結合第一問的結論求出.?,8=事C=g;再在直角△BAQ中求出邊長即可求出結論.

本題綜合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式等知識的綜合應用，屬于中檔試題.

18.【答案】解：（1）證明:數(shù)列｛“"｝滿足4|=1,且?！?1

則：冉國=自左（常數(shù)）,

故數(shù)列數(shù)歹U｛焉｝是以1*=鼻為首項,|為公差的等差數(shù)列.

所以點=t+q（nl）=3|，整理同冊=：-1|（首項符合通項）.

故4=：T?

（2）由于冊=丁1＞所以a“+1=q.

設除=n.21,

則：7\=l-21+2-22++n,2?

27'?=l-22+2-23+...+n-2n+1②，

①-②得：|一*經習,

-4-JL________________

所以幾=（71-1）.2"+1+4.

所以數(shù)列｛兒｝的前〃項和冬周=（n-1）-2n+l.

【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出數(shù)列的通項公式.

（2）利用（1）的結論，進一步利用乘公比錯位相減法的應用求出數(shù)列的和.

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用，主要考查

學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

19.【答案】解：（1）由頻率分布直方圖知，大一學生是“賽迷”的概率為

P尸（0.0100+0.0025）x20=0.25；

由頻數(shù)分布表知，大二學生是“賽迷”的概率為

戶2=|^提。?22；

因為外＞22,所以大一年級的學生是“賽迷”的概率大；

（2）由題意填寫2X2列聯(lián)表如下:

非“賽迷”“賽迷”合計

男401050

女351550

合計7525100

將2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得

100X(40X15-10X35)2普1.333V2.706,

75x25x50x50

所以沒有90%的把握認為“塞迷”與性別有關.

【解析】（1）由頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，分別求出大一、大二學生是“賽迷”的頻率值，再比較即

可；

（2）由題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論.

本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的問題，是基礎題.

20.【答案】解：（1）證明：連結。M由題意得CN=￡W,CE=CF=2,

:.MN上CD,DN1EF,CN1.EF,

?：DNCCN=N,;.EF工平面CDN,

???MNu平面CDN,:.EFLMN,

■■■EF\\BC,：.MNLBC,

???CCnBC=C,平面ABCD.

（2）解：設幾何體ABF-OCE高為后EF=2,

幾何體ABF-DCE的體積：

V=SaCDN.h=gxCDxMNx力/x2x《3-1x*2例.

【解析】（1）連結。M由題意得CN=￡W,CE=CF=2,從而MMLCD,DNLEF,CNLEF,進而平面

CDN,EFLMN,由EFII2C,得MNLBC,由此能證明MML平面48CD.

（2）設幾何體A8尸-CCE高為〃=EF=2,幾何體ABF-CCE的體積GSAOWT，由此能求出結果.

本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

21.【答案】解：（1）由題意得，設直線AB的方程：4…，與橢圓聯(lián)立整理得：（1+J）戶2沖=（）,

折舟,

|~2a~1a—a3

??四號寸舄，

因為OB1AB,

—=—1=-La>\,解得：a2=3,

所以橢圓C的標準方程:E3=i；

（2）由（1）得，F(xiàn)（的，0）所以由題意得直線MN的方程為：|y=x-^,

設M（為，yi）,N（X2，及），Q（為，力），

將|y=翔弋入/+y2=1,得4%2-6但％+3=0,

3"

%1+%2=虧，X1X2=V

y\y2—（%1-但）（%2—0=~4f

整理得'：6：？（*彳+4）+.（抬+矽一歿當今/2+7172）=1，

1XXT

=

由上知，/1%2+、1丫2=°，且/+,1=1,y+y2

|"。+*=；,即7〃上18〃?-25=0,解得|m=1或團=-1（舍），

\NP\25

兩=亍

【解析】（1）設出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點B的坐標，再根據(jù)0B1AB,建立關于〃的

方程，解出即可；

（2）設M（X1,J1）,N（X2,J2）>Q（X3，力），需■=m，由己知，將點。的坐標用點M,N表示，再

由點。在橢圓上，得到關于，”的方程，解出即可.

本題考查直線與橢圓的綜合運用，考查邏輯推理能力，特別是考查了化簡運算求解能力，屬于中檔題.

22.【答案】解