高中數(shù)學(xué)：10-6頻率的穩(wěn)定性（學(xué)案）

第06講頻率的穩(wěn)定性

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.通過具體實例的剖析，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性與頻

率的穩(wěn)定性；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能在簡單的

2.了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系；隨機(jī)實驗中了解頻率的穩(wěn)定性，能用

3.能通過具體的案例用頻率估計概率，會解決簡單的實際隨機(jī)模擬的方法估計概率.

題中的頻率與概率問題.

趣知識精講

知識點

1.頻率的穩(wěn)定性

在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗次數(shù)〃的增

大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率以A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率尸(A),我們稱

頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率4A)估計概率P(A).

2.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系

名稱區(qū)別聯(lián)系

本身是隨機(jī)的，在試驗之前無法確(1)頻率是概率的近似值，隨著試

定，大多會隨著試驗次數(shù)的改變而驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近

頻率

改變.做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得概率

到的頻率值也可能會不同(2)在實際問題中，事件的概率通

是一個［0,1］中的確定值，不隨試常情況下是未知的，常用頻率估計

概率

驗結(jié)果的改變而改變概率

【微點撥】(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率；

(2)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗前不能確定；

(3)概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關(guān).

【即學(xué)即練1】下列說法正確的是()

A.任何事件的概率總是在（0,1）之間

B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)

C.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

D.概率是隨機(jī)的，在試驗前不能確定

【答案】C

【解析】解：由于必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,故A不正確.

頻率的數(shù)值是通過實驗完成的，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值，故5、。不正確.

頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值，

隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率，故C正確.

故選：C.

【即學(xué)即練2］為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000

尾，給每尾魚作上記號，不影響其存活，然后放回水庫，經(jīng)過適當(dāng)時間，讓其和水庫中其余的魚充分混合,

再從水庫中捕出一定數(shù)的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設(shè)有40尾，試上述數(shù)據(jù)，估計水庫內(nèi)魚

的尾數(shù)是（）

A.22000B.23000C.25000D.26000

【答案】C

【解析】由題意可得有記號的魚所占的比例大約為9=2,設(shè)水庫內(nèi)魚的尾數(shù)是X,

50025

則有2="，解得》=25000,故選：C.

25x

【即學(xué)即練3］已知某運動員每次投籃命中的概率為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運動員三次投籃

恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,

7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨

機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

【答案】B

【解析】解：由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，

在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、271、932、812、393.

共5組隨機(jī)數(shù)，所以所求概率為9=0.25.故選：B.

20

【即學(xué)即練4】對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間［20,25）上為一等品，在區(qū)間［15,20）和［25,30）為二等品，在區(qū)間［10,15）和［30,

35）為三等品.用頻率估計概率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為三等品的概率是（）

【答案】D

【解析】解：在區(qū)間［10，15）和［30,35）為三等品，

由頻率分布直方圖得：在區(qū)間［10,15）和［30,35）的頻率為（0.02+0.03）x5=0.25,所以從這批產(chǎn)品中隨機(jī)

抽取1件，其為三等品的概率是0.25.故選：D.

【即學(xué)即練5】張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（）

①拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝；

②同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲勝；

③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是黑色的則張華獲勝；

④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則張華獲勝.

A.①②B.②C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【詳解】

①拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)是等可能的，均為g,所以公平；

②中，恰有一枚正面向上包括（正，反）,（反，正）兩種情況，而兩枚都正面向上僅為（正，正），因此②中游戲不公平.

③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色和黑色是等可能的，均為;，所以公平；

④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8,一共四種情況（6,6）,（6,8）,（8,6）,（8,8）,兩人寫的數(shù)字相同和不同是等可

能的，均為:，所以公平；.

故選B.

【即學(xué)即練6】（多選題）給出下列四個命題，其中正確的命題有（）

A.做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正直朝上的概率是

B.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

9

C.拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點的頻率是否

D.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率不一定是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

【答案】CD

【解析】對于A,混淆了頻率與概率的區(qū)別，故A錯誤；

對于B,混淆了頻率與概率的區(qū)別，故B錯誤；

對于C,拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點的頻率是京,符合頻率定義，故C正確；

對于D,頻率是概率的估計值，故D正確.故選:CD.

【即學(xué)即練7】一家保險公司為了解汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率，收集了20000輛汽車的信息，時間是從某

年的5月1日到下一年的4月30日，發(fā)現(xiàn)共有600輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，則一輛汽車在一年內(nèi)擋風(fēng)玻璃

破碎的概率近似為一.

【答案】0.03

【解析】因為實驗次數(shù)較大，可用頻率估計概率，所以概率尸=3_=0.03,

20000

故一輛汽車在一年內(nèi)擋風(fēng)玻璃破碎的概率近似為0.03.故答案為：0.03.

【即學(xué)即練8】某射擊運動員平時100次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計結(jié)果如下：

命中環(huán)數(shù)12345678910

頻數(shù)24569101826128

如果這名運動員只射擊一次，估計射擊成績是6環(huán)的概率為:不少于9環(huán)的概率為.

【解析】

【分析】

由表中的數(shù)據(jù)，求對應(yīng)的比值可得答案.

【詳解】

由題意得：這名運動員只射擊一次，估計射擊成績是6環(huán)的概率為需=看,

1n1Q1

不少于9環(huán)的概率為益

故答案為：—;—.

【點睛】

本題考查利用頻率估計概率，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練9】某中學(xué)有教職工130人，對他們進(jìn)行年齡狀況和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下:

本科研究生合計

35歲以下503585

35-50歲201333

50歲以上10212

從這130名教職工中隨機(jī)地抽取一人，求下列事件的概率;

（1）具有本科學(xué)歷；（2）35歲及以上；（3）35歲以下且具有研究生學(xué)歷.

897

【答案】⑴三：⑵發(fā)⑶五.

【解析】

（1）先求出具有本科學(xué)歷的人數(shù)，再由頻率估計概率即可得解；

（2先求出35歲及以上的人數(shù)，再由頻率估計概率即可得解；

（3）先求出35歲以下且具有研究生學(xué)歷的人數(shù)，再由頻率估計概率即可得解;

【詳解】

ono

解：（1）具有本科學(xué)歷的共有50+20+10=80（人），故所求概率為奇=].

459

（2）35歲及以上的共有33+12=45（人），故所求概率為說=證.

（3）35歲以下且具有研究生學(xué)歷的有35人，故所求概率為35蕓=7￡.

13026

【點睛】

本題考查了利用頻率估計概率，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

u能力拓展

考法01

計算頻率：

【典例1】某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶,

則此人中靶的頻率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用頻率的公式求解.

【詳解】

由題得這個人中靶的次數(shù)為2+3+4=9,

所以此人中靶的頻率是S=0.9.

故選：D

【典例2】10個小球分別編號為1,2,3,4,其中1號球4個，2號球2個，3號球3個，4號球1個，數(shù)

字0.4是指1號球占總體的（）

A.頻數(shù)B.頻率C.頻率/組距D.累積頻率

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)頻率的概念即可得出結(jié)果.

【詳解】

解析：因為1號球的頻數(shù)為4,

4

則1號球占總體的頻率為正=04

故選：B

【典例3】某射擊運動員為了檢測自己近階段的訓(xùn)練效果，做了一次射擊測試.在這次測試中，他一共射擊

100槍，擊中10環(huán)的有85槍，則這名射擊運動員在這次測試中擊中10環(huán)的頻數(shù)是,頻率是

【答案】850.85

【解析】

【分析】

根據(jù)運動員一共射擊100槍，擊中10環(huán)的有85槍求解.

【詳解】

因為一共射擊100槍，擊中10環(huán)的有85槍，

所以這名射擊運動員在這次測試中擊中10環(huán)的頻數(shù)是85,頻率是黑=0.85,

1UU

故答案為:85；0.85

【典例4】一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表：

組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數(shù)1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在［10,40）上的頻率為.

【答案】0.52

【解析】

【分析】

根據(jù)圖表，樣本數(shù)據(jù)落在口0,40）上的頻數(shù)為13+24+15=52,根據(jù)頻率公式即可得解.

【詳解】

樣本數(shù)據(jù)落在［10,40）上的頻數(shù)為13+24+15=52.

則樣本數(shù)據(jù)落在口0,40）上的頻率為益=0.52.

故答案為:0.52

考法02

辨析頻率與概率的關(guān)系問題：

【典例5】給出下列說法：

①頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗總次數(shù)中的頻繁程度；

②每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗的樣本總數(shù)；

③每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1；

④頻率就是概率.

其中正確的是()

A.①B.①②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】對于①，根據(jù)頻數(shù)和頻率的定義知，頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗總次數(shù)中的頻繁程度，

所以①正確；

對于②，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗的樣本總數(shù)，所以②正確；

對于③，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和一定等于1,所以③錯誤；

對于④，頻率是一個實驗值，是隨實驗結(jié)果變化的，概率是穩(wěn)定值，是不隨實驗結(jié)果變化的，所以④錯誤.

綜上知，正確的命題序號是①②.故選：C.

【典例6】下列說法正確的有()

A.概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值；

B.一次試驗中不同的基本事件不可能同時發(fā)生；

C.任意事件A發(fā)生的概率P(A)總滿足O<P(A)<1；

D.若事件A的概率趨近于0,即P(A)TO,則事件A是不可能事件.

【答案】AB

【解析】頻率是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律.在大量重復(fù)試驗時，頻率具有一定的穩(wěn)

定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加，這種擺動幅度越來越小，這個常數(shù)叫做這個

事件的概率.

???隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值.，A正確.

?.?基本事件的特點是任意兩個基本事件是互斥的，.?.一次試驗中，不同的基本事件不可能同時發(fā)生.，B

正確.

???必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機(jī)事件的概率大于0,小于1,...任意事件A發(fā)生的概

率P(A)滿足OWP(A)W,，C錯誤.

若事件A的概率趨近于0,則事件A是小概率事件，；.D錯誤

二說法正確的有兩個，故選:AB.

【典例7】以下是表述“頻率”與“概率”的語句：

①在大量試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其概率很接近；

②概率可以作為當(dāng)實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限；

③計算頻率通常是為了估計概率.

其中正確的語句為()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】由頻率和概率的定義以及頻率和概率的關(guān)系判斷①②③，即可得正確答案.

【詳解】

事件A的頻率是指事件A發(fā)生的頻數(shù)與?次事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)比，

隨機(jī)事件A在每次實驗中是否會發(fā)生是不能預(yù)料的，但在大量重復(fù)試驗后，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)

生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間［0』中的某個常數(shù)上，這個常數(shù)就是事件A的概率.所以隨著試驗次數(shù)的增加，

頻率一般會越來越接近概率.計算頻率通常是為了估計概率.

所以①②③都正確，

故選：D.

【典例8】對下面的描述：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大?。虎谧?/p>

〃次隨機(jī)試驗，事件A發(fā)生小次，則事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率；③頻率是不能脫離具體的〃

次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻

率的穩(wěn)定值.其中正確的說法有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)頻率和概率的關(guān)系可判斷.

【詳解】

由頻率和概率的意義知，頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大小，故①正

確：

由頻率和概率的關(guān)系知，頻率是概率的近似值，是通過大量試驗得到的，而概率是頻率的穩(wěn)定值，是確定

的理論值，故②錯誤，③④正確.

故選：ACD.

考法03

用頻率估計概率：

【典例9］某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示:

射擊次數(shù)501002004001000

射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

【答案】C

【解析】

【分析】

利用頻率估計概率即可求解.

【詳解】

大量量復(fù)試驗，由表格知射擊運動員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在0.8,

所以這名運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為0.8,

故選：C.

【典例10］手機(jī)支付己經(jīng)成為人們常用的付費方式.某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了

100名顧客進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果整理如下：

顧客年齡70歲及以

20歲以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

（歲）上

手機(jī)支付

3121491320

人數(shù)

其他支付

0021131121

方式人數(shù)

從該超市顧客中隨機(jī)抽取1人，估計該顧客年齡在［40,60）且未使用手機(jī)支付的概率為（）

,212〃23c21

A.—B.-C.—D.—

5055025

【答案】A

【解析】

【分析】

算出100名顧客中，顧客年齡在［40,60）且未使用手機(jī)支付的的人數(shù)，進(jìn)而可以得到未使用手機(jī)支付的概率.

【詳解】

在隨機(jī)抽取的100名顧客中，顧客年齡在［40,60）且未使用手機(jī)支付的共有11+31=42人，所以從該超市隨

機(jī)抽取I名顧客，估計該顧客年齡在［40,60）且未使用手機(jī)支付的概率為「=蕓47=蕓91.

10（）5（）

故選：A.

【典例11】一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下表所示：

時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)

新生嬰兒數(shù)”554496071352017190

男嬰數(shù)“2883497069948892

則4年內(nèi)男嬰的出生頻率為（保留4位小數(shù)）；這一地區(qū)男嬰出生的概率約是

【答案】0.51730.5173

【解析】

【分析】

求出每年內(nèi)男嬰出生的頻率，從而可估計4年內(nèi)男嬰的出生頻率，用頻率來衡量概率即可

【詳解】

因為男嬰出生的頻率依次約為0.520（）,0.5173,0.5173,0.5173.

這些頻率非常接近0.5173,所以這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.5173.

故答案為：0.5173,0.5173

【典例12】容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的頻數(shù)為,數(shù)

據(jù)落在［6,10）內(nèi)的概率約為.

'頻率/組距

0.09F...........r-

0.08--------'

0.03............一一1_

002

°（T2C41822樣本數(shù)箱

【答案】64.0.32.

【解析】

（1）根據(jù)矩形面積表示頻率，再根據(jù)公式屋條=頻率，計算頻數(shù)；

（2）轉(zhuǎn)化為求數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的頻率.

【詳解】

由題圖易知組距為4,故樣本數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的頻率為0.08x4=0.32,頻數(shù)為0.32x200=64,故數(shù)據(jù)落

在［6,10）內(nèi)的概率約為0.32.

故答案為：64：0.32

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的簡單應(yīng)用，理解頻率和概率，屬于基礎(chǔ)題型.

【典例13】某個制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有500名志愿者服用此藥，結(jié)果如下：

體重變化體重減輕體重不變體重增加

人數(shù)27614480

如果另有一人服用此藥，估計下列事件發(fā)生的概率：

（1）這個人的體重減輕了；（2）這個人的體重不變；（3）這個人的體重增加了.

【答案】（1）0.552；（2）0.288；（3）0.16.

【解析】

（1）由頻率估計概率運算即可得解：

（2）由頻率估計概率運算即可得解；

(3)由頻率估計概率運算即可得解.

【詳解】

(1)由頻率估計概率可得：體重減輕了的概率估計值為就=0.552；

50()

144

(2)由頻率估計概率可得：體重不變的概率估計值為麗=0.288；

QA

(3)由頻率估計概率可得：體重增加了的概率估計值為盤=016.

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，重點考查r運算能力，屬基礎(chǔ)題.

【典例14】某文具廠打算生產(chǎn)一種中學(xué)生使用的筆袋，但無法確定各種顏色的產(chǎn)量，于是該文具廠就筆袋

的顏色隨機(jī)調(diào)查了500()名中學(xué)生，并在調(diào)查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名時分別計算

了各種顏色的頻率，繪制的折線圖如下：

(1)隨著調(diào)查次數(shù)的增加，紅色的頻率如何變化？

(2)你能估計中學(xué)生選取紅色的概率是多少嗎？

(3)若你是該廠的負(fù)責(zé)人，你將如何安排生產(chǎn)各種顏色筆袋的產(chǎn)量？

【答案】(1)紅色的頻率越來越穩(wěn)定在0.2

(2)0.2

(3)可安排生產(chǎn)藍(lán)色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的筆袋產(chǎn)量的比例大約為4:2:2:12:0.8(合理即可)

【分析】(1)根據(jù)折線圖分析即可；

(2)根據(jù)頻率和概率的關(guān)系判斷即可；

(3)根據(jù)折線圖可得中學(xué)生選取藍(lán)色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的概率，即可按比例安排生產(chǎn)；

【解析】(1)根據(jù)折線圖可知隨著調(diào)查次數(shù)的增加，紅色的頻率越來越穩(wěn)定在0.2；

(2)由圖可知，紅色的頻率基本在0.2附近浮動，所以中學(xué)生選取紅色的概率是0.2：

(3)由圖可知，中學(xué)生選取藍(lán)色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的概率分別是0.4、0.2、0.2、0.15、0.1,

故可安排生產(chǎn)藍(lán)色、紅色、綠色、紫色、及其它顏色的筆袋產(chǎn)量的比例大約為4:2:2:12:0.8(合理即可);

考法04

游戲的公平性問題：

【典例15］甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（）

A.拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝

B.同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝

C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝

D.甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝

【答案】B

【解析】

【分析】運用古典概型的概率計算公式，分別計算A,B,C,D中的概率，結(jié)合題意，即可得到所求結(jié)論.

【詳解】A項，P（點數(shù)為奇數(shù)）=P（點數(shù)為偶數(shù)）=/；

B項，P（點數(shù)之和大于7）=弓15=三5，P（點數(shù)之和小于等于7）==21二7/；

36123612

C項，P（牌色為紅）=P（牌色為黑）=/；

D項，P（同奇或同偶）=P（奇偶不同）=g.故選：B.

【典例16］（多選）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中公平的是（）

A.拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝

B.同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝

C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝

D.甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝

【答案】ACD

【分析】求出每一個選項的情況下，甲勝和乙勝的概率即可判斷得解.

【解析】對于選項A,甲勝和乙勝的概率都是=3=1所以游戲是公平的；

對于選項B,點數(shù)之和大于7和點數(shù)之和小于7的概率相等，但點數(shù)等于7時乙勝，所以甲勝的概率小，所

以游戲不公平；

對于選項C,甲勝和乙勝的概率都是||=g,所以游戲是公平的；

對于選項D,甲勝的概率是3，乙勝的概率是所以游戲是公平的.

故選：ACD

【典例17】一個游戲包含兩個隨機(jī)事件A和B,規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲

是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等。

在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700

次.據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的.你更支持誰的結(jié)論？為什么？

【解析】當(dāng)游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3,

乙獲勝的頻率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相

對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率

更近.而游戲玩到100（）次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是

不公平的.因此，應(yīng)該支持甲對游戲公平性的判斷.

【典例18].一天，甲拿出一個裝有三張卡片的盒子（一張卡片的兩面都是綠色，一張卡片的兩面都是藍(lán)色,

還有一張卡片一面是綠色，另一面是藍(lán)色），跟乙說玩一個游戲，規(guī)則是：甲將盒子里的卡片順序打亂后，

由乙隨機(jī)抽出一張卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的顏色決定勝負(fù)，如果朝下的面的顏色與朝上的面

的顏色一致，則甲贏，否則甲輸.乙對游戲的公平性提出了質(zhì)疑，但是甲說：“當(dāng)然公平！你看，如果朝上的

面的顏色為綠色，則這張卡片不可能兩面都是藍(lán)色，因此朝下的面要么是綠色，要么是藍(lán)色，因此，你贏

的概率為子，我贏的概率也是怎么不公平？”分析這個游戲是否公平.

【答案】見解析.

【解析】把卡片六個面的顏色記為G-G,G3,用，Bz,B,,其中，G表示球色，B表示藍(lán)色；G3和紇

是兩面顏色不一樣的那張卡片的顏色，用樹形圖得到樣本空間，計算出概率即可判斷.

【詳解】把卡片六個面的顏色記為G-G，G,,用，B2,B、,

其中，G表示綠色，B表示藍(lán)色；G3和鳥是兩面顏色不一樣的那張卡片的顏色.

游戲所有的結(jié)果可以用如圖表示.

朝1.的面G,GGB,B；B,

IIIIII

初卜的面（；:＜；,B,H,B,（；,

不難看出，此時，樣本空間中共有6個樣本點，朝上的面與朝下的面顏色不一致的情況只有.2種，因此乙

贏的概率為因此，這個游戲不公平.

oJ

【點睛】本題考查概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考法05

頻率穩(wěn)定性問題的常見題型：

【典例19】將A,B兩位籃球運動員在一段時間內(nèi)的投籃情況記錄如下:

投籃次數(shù)102030405060708090100

投中次數(shù)7152330384553606875

A

投中頻率0.7000.7500.7670.7500.7600.7500.7570.7500.7560.750

投中次數(shù)8142332354352617080

B

投中頻率0.8000.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800

下面有三個推斷：

①當(dāng)投籃30次時，兩位運動員都投中23次，所以他們投中的概率都是0.767；

②隨著投籃次數(shù)的增加，A運動員投中頻率總在0.750附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計A運動員

投中的概率是。750；

③當(dāng)投籃達(dá)到200次時，5運動員投中次數(shù)一定為160次.

其中合理的是（）.A.①B.②C.①③D.②③

【答案】B

【解析】事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理,

可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據(jù)此可得解答.

【詳解】

解：①在大量重復(fù)試驗時.，隨著試驗次數(shù)的增加，可以用一個事件出現(xiàn)的頻率估計它的概率，投籃30次，

次數(shù)太少，不可用于估計概率，故①推斷不合理；

②隨著投籃次數(shù)增加，A運動員投中的頻率顯示出穩(wěn)定性，因此可以用于估計概率，故②推斷合理；

③頻率用于估計概率，但并不是準(zhǔn)確的概率，因此投籃200次時，只能估計投中160次，而不能確定一定

是160次，故③不合理；故選：B.

【點睛】此題考查了利用頻率估計概率的知識，屬于容易題.

【典例20],概率是對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，通過實驗和觀察的方法可以得到實驗中某事件發(fā)生

的頻率，進(jìn)而用頻率得到某事件的概率的估計.利用計算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的實驗，在重復(fù)實驗次數(shù)為20,

100,500時各做5組實驗，得到事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”.發(fā)生的頻數(shù)和頻率表如下：

〃=20n=\00n=500

序號

頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率

1120.6560.562610.522

290.45500.552410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

用折線圖表示頻率的波動情況如下圖所示:

n-2O3100〃二500

Q7-------------------------------------------------07-------------------------------------------------

?\/\/

04

09-------------------------------------------------03--------------------------------------------------

1234512945

1294S

根據(jù)以上信息，下面說法正確的有（）A.實驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率

具有隨機(jī)性；

B.實驗次數(shù)較小時，頻率波動較大；實驗次數(shù)較大時，頻率波動較?。凰詫嶒灂r，實驗次數(shù)越少越好；

C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會隨著實驗次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值（即隨機(jī)事件發(fā)生的概率）附近；

D.我們要得到某事件發(fā)生的概率時，只需要做一次隨機(jī)實驗得到事件發(fā)生的頻率即為概率.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)頻率、概率的知識確定正確選項.

【詳解】“實驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性“，A正確；

”實驗次數(shù)較小時，頻率波動較大；實驗次數(shù)較大時，頻率波動較小；所以實驗時，實驗次數(shù)越多越好”，B

錯誤；

“隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會隨著實驗次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值（即隨機(jī)事件發(fā)生的概率）附近“，C正

確、D錯誤.故選：AC

【典例21】在一個不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明

通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%,則口袋中白色球的個數(shù)可能

是個.

【答案】16

【解析】

【分析】

根據(jù)紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計算紅色球和黑色球的個數(shù)，從而得到白色球的個數(shù).

【詳解】

根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，

紅色球的個數(shù)為40x0.15=6個；

黑色球的個數(shù)為40x0.45=18個；

故白色球的個數(shù)為40-6-18=16個.

故答案為：16.

【點睛】本題考查概率和頻率之間的關(guān)系：概率是頻率的穩(wěn)定值.

【典例22】在一次擲硬幣試驗中，擲30000次,其中有14984次正面朝上，則出現(xiàn)正面朝上的頻率近似是,

據(jù)此，擲一枚硬幣，正面朝上的概率是.

【答案】04990.5

【解析】

設(shè)“出現(xiàn)正面朝上”為事件A,則〃=30000.%=14984,即可計算頻率，進(jìn)而求得答案.

【詳解】

設(shè)“出現(xiàn)正面朝上”為事件人.

則"=30000.%=14984.

14984

2(A)=--------?0.499,

"30000

T當(dāng)實驗數(shù)據(jù)越多頻率就越接近概率，

P(A)=0.5.

故答案為：0499,0.5.

【點睛】本題考查了用頻率估計概率，解題關(guān)鍵是頻率和概率的定義,當(dāng)實驗數(shù)據(jù)越多頻率就越接近概率,考查

了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

【典例23】2020年新型冠狀病毒席卷全球，美國是疫情最嚴(yán)重的國家，截止2020年6月8日美國確診病

例約為200萬人，經(jīng)過隨機(jī)抽樣，從感染人群中抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，按照年齡得到如下頻數(shù)分布表:

年齡(歲)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)50a32030080

(I)求。的值及這1000例感染人員的年齡的平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(II)用頻率估計概率，求感染人群中年齡不小于60歲的概率.

【答案】(I)"=250,平均數(shù)為52.2；(II)0.38.

【解析】(1)由題意知50+a+32()+3(X)+80=l(XX),

a=250>

10x50+30x250+50x320+70x300+90x80c

年齡平均數(shù)=---------------------------------------------=52.2.

1000

(II)1000人中年齡不小于60歲的人有380人，

38()

所以年齡不小于60歲的頻率為嬴=0.38,

用頻率估計概率，所以感染人群中年齡不小于60歲的概率為0.38.

【典例24】新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生

的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.

(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)

(2)根據(jù)估計結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？

【解析】(1)2014年男嬰出生的頻率為.‘0.537

100+115.88

2015年男嬰出生的頻率為一113?51―"0$32

100+113.51

由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率約為0.532

(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度.

因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的'’的結(jié)論.

【典例24］某水產(chǎn)試驗廠進(jìn)行某種魚卵的人工孵化，6個試驗小組記錄了不同的魚卵數(shù)所孵化出的魚苗數(shù),

如下表所示：

魚卵數(shù)200600900120018002400

孵化出的魚苗數(shù)188548817106716142163

孵化成功的頻率0.9400.9130.908①0.897②

（1）表中①②對應(yīng)的頻率分別為多少（結(jié)果保留三位小數(shù)）？

（2）估計這種魚卵孵化成功的概率.

（3）要孵化5000尾魚苗，大概需要魚卵多少個（精確到百位）？

【答案】(1)0.889,0.901(2)0.9(3)翳々5600

【解析】

（1）計算器，墨的值，即可得答案:

（2）從表中數(shù)據(jù)可看出，雖然頻率都不一樣，但隨著試驗的魚卵數(shù)不斷增多,孵化成功的頻率穩(wěn)定在0.9

附近，即可得答案；

（3）利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)計算，即可得答案.

【詳解】

（1）黑"°-889,羽”。-901,所以①②對應(yīng)的頻率分別為0.889,0.90L

（2）從表中數(shù)據(jù)可看出，雖然頻率都不一樣，但隨著試驗的魚卵數(shù)不斷增多,孵化成功的頻率穩(wěn)定在0.9

附近，由此可估計該種魚卵孵化成功的概率為0.9.

（3）大概需要魚卵曹"5600（個）.

【點睛】

本題考查頻率計算、頻率估計概率的思想，屬于基礎(chǔ)題.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列說法錯誤的是（）

A.隨機(jī)事件的概率與頻率是一樣的

B.在試驗中，某事件發(fā)生的頻率的取值范圍是［0』］

C.必然事件的概率是1

D.不可能事件的概率是0

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)頻率和概率，必然事件和不可能事件的定義，依次判斷即可

【詳解】對于選項A,概率是唯一的確定的值，而頻率是統(tǒng)計出來的，通過一次次的試驗得到，因此隨機(jī)

事件的概率與頻率是兩個不同的概念，故A錯誤；

對于選項B,頻率是指是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值，故取值范圍是［0』］,故B正確；

對于選項C,D,由必然事件和不可能事件的定義可知，說法正確.

故選：A

2.下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中哪個是正確的（）

A.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)

C.概率是隨機(jī)的，在試驗前不能確定

D.頻率就是概率

【答案】A

【解析】

【分析】因為概率是在大量重復(fù)試驗后，事件A發(fā)生的頻率逐漸接近的值，所以就可得到正確答案.

（詳解】事件A的頻率是指事件A發(fā)生的頻數(shù)與?次事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)比，

一般來說，隨機(jī)事件A在每次實驗中是否會發(fā)生是不能預(yù)料的，但在大量重復(fù)試驗后，隨著試驗次數(shù)的增

加，事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間［0,1］中的某個常數(shù)上，這個常數(shù)就是事件A的概率.

???隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率.

故選：A.

3.某位同學(xué)進(jìn)行投球練習(xí)，連投了10次，恰好投進(jìn)了8次.若用A表示“投進(jìn)球”這一事件，則事件A發(fā)生

的（）

A.概率為3B.頻率為±C.頻率為8D.概率接近0.8

55

【答案】B

【解析】投球1次即進(jìn)行一次試驗，連投球10次，即進(jìn)行了10次試驗，用A表示"投進(jìn)球''這一事件，恰

好投進(jìn)了8次.則事件A發(fā)生的頻數(shù)為8,所以事件A發(fā)生的頻率為：—所以CD都不對故選：B.

105

4.關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是（）

①某同學(xué)在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學(xué)每次投籃的命中率為

②數(shù)學(xué)家皮爾遜曾經(jīng)做過兩次試驗，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬

幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005；

③某類種子發(fā)芽的概率為0.903,當(dāng)我們抽取2000粒種子試種，一定會有1806粒種子發(fā)芽；

④將一個均勻的骰子拋擲6000次，則出現(xiàn)點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次.

A.②④B.C.①②D.②③

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)頻率和概率的定義對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

①某同學(xué)投籃三次，命中兩次，只能說明在這次投籃中命中的頻率為|,不能說概率，故錯誤；

②進(jìn)行大量的實驗，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動，可能大于0.5,也可能小于05故正確；

③只能說明可能有1806粒種子發(fā)芽，具有隨機(jī)性，并不是一定有1806粒種子發(fā)芽，故錯誤；

④出現(xiàn)點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次，正確.

故選：A

【點睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.

5.某學(xué)校共有教職工120人，對他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：

本科研究生合計

35歲以下403070

35-50歲271340

50歲以上8210

現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是（）

A.該教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%

B.該教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過50%

C.該教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%

D.該教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過10%

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用頻率代替概率求解.

【詳解】

754

A.該教職工具有本科學(xué)歷的概率p=高=營=62.5%>60%,故錯誤；