教案：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊 函數(shù)的應(yīng)用

3.3函數(shù)的應(yīng)用（一）教案

教學(xué)課時：1課時

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力；

2.通過實例，經(jīng)歷建立函數(shù)模型，并用其解決有關(guān)的實際問題的過程，理解

建立函數(shù)模型的方法，體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用；

3.經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括等思維過程，進一步體驗從特殊到一

般的思想方法。

教學(xué)重點：

根據(jù)實際問題的需要，建立一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)模型解決問題。

教學(xué)難點：

選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題。

教學(xué)過程：

一、提出問題、師生探究

我們學(xué)過的函數(shù)不但可以解決很多數(shù)學(xué)問題，還可以運用函數(shù)知識和方法解

決實際問題，在生活中有著廣泛的應(yīng)用。

運用函數(shù)解決實際問題，通常我們遵循以下幾個步驟：

步驟：審題一一轉(zhuǎn)化一一建立模型（函數(shù)關(guān)系式）一一解答一一檢驗實

際問題。

1.閱讀理解審清題意：讀題時要抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，認(rèn)真分析題

目所給的有關(guān)材料，弄清題意，理順問題中的條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵量，進而明

確其中的數(shù)量關(guān)系（等量或大小關(guān)系）。

2.建立文字?jǐn)?shù)量關(guān)系：在讀題的基礎(chǔ)上，要能復(fù)述題目中的要點，深思題意，

很多情況下，可將應(yīng)用題翻譯成簡單的圖或表的形式，從而列出題中各種數(shù)量之

間的關(guān)系，為建立數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。

3.準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型：將文字語言、符號語言、圖表語言所表達的數(shù)量關(guān)系

轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，其中特別注意變

量的范圍.準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

4.解決數(shù)學(xué)模型問題：利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題，得到相應(yīng)

的數(shù)學(xué)結(jié)論。

5.檢驗結(jié)果還原作答：把所得到的關(guān)于應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)結(jié)論，還原為實際問

題本身所具有的意義。

二、例題講解、學(xué)以致用

下面我們一起來看看幾個實際問題：

例1：(課本121頁例1)為了鼓勵大家節(jié)約用水，自2013年以后，上海市

實行了階梯水價制度，其中每戶的綜合用水單價與戶年用水量的關(guān)系如下表所

示：

分檔戶年用水量/m，綜合用水單價/(元-n?)

第一階梯0-220（含）3.45

第二階梯220-300（含）4.83

第三階梯300以上5.83

記戶年用水量為xn?時應(yīng)繳納的水費為f(x)元。

(1)寫出f(x)的解析式;

(2)假設(shè)居住在上海的張明一家2015年共用水260m3,則張明一家2015

年應(yīng)繳納水費多少元？

【交流與討論1：］

①何為階梯水價？能否舉例說明？

②f(x)和哪個函數(shù)模型有關(guān)？

【設(shè)計意圖】：通過讓學(xué)生舉例說明階梯水價的含義更好的理解題意，從而

能夠順利建立分段函數(shù)模型

【學(xué)生活動1】：根據(jù)上面的討論，求出f(x)的解析式.

解：(1)由題目可知，f(x)是一個分段函數(shù)，

當(dāng)0<xW220時，f(x)=3.45x；

當(dāng)220VxW300時，f(x)=220X3.45+(x-220)X4.83=4.83x-303.6；

當(dāng)x>300時，f(x)=220X3.45+(300-220)X4.83+(x-300)X

5.83=5.83x-603.6；

所以：

3.45x,0<x<220.

/（x）=<4,83x-303.6,220<x<300,

5.83x-603.6,x>300.

(2)因為220V260W300,所以f(260)=4.83X260-303.6=952.2

答：張明一家2015年應(yīng)繳納水費952.2元.

【設(shè)計意圖】：學(xué)生親身實踐，體會一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。

【交流與討論2】

①如何正確書寫分段函數(shù)的解析式;

②生活中還有哪些問題可以用分段函數(shù)來描述：如：階梯電價，居民煤氣

費用，公民個人所得稅計算方式等。

③實行階梯水價有什么好處？(在保證了居民正常生活用水的情況下，用

水量越多，價格越高，有利于居民節(jié)約用水，提高環(huán)保意識。)

【設(shè)計意圖】：

討論交流分段函數(shù)的形式，避免學(xué)生書寫錯誤或者不規(guī)范，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)

性；

交流生活中還有哪些實際問題可以用分段函數(shù)解決，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的角度去

發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識，以及歸納推廣的思想方法；

交流階梯水價的意義，有利于培養(yǎng)學(xué)生節(jié)約用水的環(huán)保意識。

例2：(課本123頁例5)已知某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為

C=aQ2+3000,且當(dāng)年產(chǎn)量是100時，總成本是60000設(shè)改產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時的平

均成本為f(Q)。

(1)求f(Q)的解析式；

(2)求年產(chǎn)量為多少時，平均成本最小，并求最小值。

【交流與討論3］：什么是平均成本？

這是函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，平均成本是指平均每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所消耗

的成本，等于總成本除以總產(chǎn)量。

【設(shè)計意圖】：理清概念，理解題意，為順利建立模型打下基礎(chǔ)。

【學(xué)生活動2】：根據(jù)上面的討論，求出f(Q)的表達式，并求出平均成本的

最小值。

解：(1)將Q=100,C=6000代入C=aQ2+3000中，可得：

100a+3000=6000

從而：a=—,于是。=駕+3000

1010

因此一⑼君堀+等,Q>0

⑵分析：由/幻)=0=些+理,。〉0可知：吆和幽均為正數(shù)且乘積為定

Q10Q10Q

值.可以運用

均值不等式求最小值.

(產(chǎn)普+aooo“"強=6。

Q10Q\10Q

當(dāng)且僅當(dāng)吆=幽，即Q=100時，取等號.

10Q

答:當(dāng)年產(chǎn)量為100時，平均成本最小，最小值為60.

三、課堂練習(xí)、深化理解

1.(課本P124頁練習(xí)A組第1題)

參考答案:y=x(1+2%)(1-2%)=0.9996x,x>0

【注意自變量x范圍】

2.(課本P124頁練習(xí)A組第2題)

4320+160X216+8x

v=----------=-------.xGN

2000+20x100+x

參考答案:

【注意自變量x范圍】

3.(課本P124頁練習(xí)B組第1題)

參考答案：

(1)

Rx)=R(x)-C(x)=-20.x2+2500x-4000.xGN*.x<100

JWP(X)=Rx+1)—P(x)=-40x+2480.xeN*u<100

(2)P(x)在x=62或63時取得最大值74120元，MP(x)在x=l時取得最

大值2440元，因此它們不具有相同的最大值。

四、課堂小結(jié)、回