云南省德宏州2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題理含解析

PAGE23-云南省德宏州2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，再利用集合并集運(yùn)算即可得到答案.【詳解】又所以故選：B.2.若為虛數(shù)單位，，且，則復(fù)數(shù)的模等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)復(fù)數(shù)相等得到，，再求的模即可.【詳解】因?yàn)?，所以?所以.故選：C3.我國(guó)古代聞名的數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》，稱(chēng)為“算經(jīng)十書(shū)”.某校數(shù)學(xué)愛(ài)好小組為了解本校學(xué)生對(duì)《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》閱讀的狀況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，閱讀狀況統(tǒng)計(jì)如下表，書(shū)籍《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》且《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》或《九章算術(shù)》閱讀人數(shù)70？6090則該100名學(xué)生中閱讀過(guò)《九章算術(shù)》的人數(shù)為（）A.60 B.70 C.80 D.90【答案】C【解析】【分析】依據(jù)統(tǒng)計(jì)表分析可得結(jié)果.【詳解】依據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知，只閱讀過(guò)《周髀算經(jīng)》沒(méi)閱讀過(guò)《九章算術(shù)》的人數(shù)為人，所以只閱讀過(guò)《九章算術(shù)》沒(méi)閱讀過(guò)《周髀算經(jīng)》的人數(shù)為人，所以閱讀過(guò)《九章算術(shù)》的人數(shù)為人.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表給出的信息是解題關(guān)鍵.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得,再利用二倍角公式化簡(jiǎn)，然后代值求解即可.【詳解】，利用誘導(dǎo)公式可得，，故選：B.5.綻開(kāi)式的系數(shù)為（）A.-10 B.10 C.-30 D.30【答案】A【解析】【分析】先求得的通項(xiàng)公式，然后再由求解.【詳解】的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?。所以含的?xiàng)為：，，綻開(kāi)式的系數(shù)為-10，故選：A6.如下圖所示，在正方體中，是平面的中心，、、分別是、、的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，且與平行B.，且與平行C.，且與異面D.，且與異面【答案】D【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，利用正方體性質(zhì)可求得，，知，再利用三角形中位線性質(zhì)知，從而，又與相交，可知與異面，即可選出答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則作點(diǎn)在平面的投影點(diǎn)，即平面，連接，在直角中，，，則，所以，故解除A、C連接，由是平面的中心，得又分別是、的中點(diǎn)，所以又，所以，又，所以與異面故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查正方體中的線面關(guān)系，線線平行的關(guān)系，及推斷異面直線，解題的關(guān)鍵是熟記正方體的性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，的值分別是288，123，則輸出的結(jié)果是（）A.42 B.39 C.13 D.3【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，寫(xiě)出每次循環(huán)得到的值，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)意條件，輸出的值.【詳解】執(zhí)行程序框圖，由，知由，知由，知由，知，即，輸出，結(jié)束循環(huán)故選：D.8.設(shè)ΔABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則∠B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】由正弦定理可得：，.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，依據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)求解角的大小.9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為 B.在上單調(diào)遞增C.在上的最大值為1 D.的一個(gè)零點(diǎn)為【答案】B【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，，即可推斷A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，求出的單調(diào)區(qū)間即可推斷B正確；對(duì)選項(xiàng)C，求出在的最大值即可推斷C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，依據(jù)，即可推斷D錯(cuò)誤.【詳解】，.對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)椋?解得，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以，，，故錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：B10.設(shè)，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn).若，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，設(shè)，，由雙曲線定義知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面積法即可求得【詳解】由題意，雙曲線中，如圖，設(shè)，，由雙曲線定義知兩邊平方得：在中，由余弦定理可得：，即兩式相減得：，即利用等面積法可知：，即解得故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的定義及焦點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟識(shí)焦點(diǎn)三角形的面積公式推導(dǎo)，也可以干脆記住結(jié)論：（1）設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，且，則橢圓焦點(diǎn)三角形面積（2）設(shè)，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，且，則雙曲線焦點(diǎn)三角形面積11.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)隨意兩個(gè)正數(shù)，都有，記，，，則大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞減，且，，，通過(guò)自變量的大小和函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.詳解】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)單調(diào)遞減，，，，，.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，實(shí)數(shù)比較大小的方法等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.12.對(duì)于正數(shù)，定義函數(shù)：.若對(duì)函數(shù)，有恒成立，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值，由函數(shù)的定義結(jié)合恒成立可知，由此可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于正數(shù)，定義函數(shù)：，且恒成立，則.函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，.因此，的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】解決導(dǎo)數(shù)中的新定義的問(wèn)題，要緊扣新定義的本質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，本題將問(wèn)題轉(zhuǎn)為不等式恒成立，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)考生都必需做答.第22題~第23題為選考題，考生依據(jù)要求做答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則_______________.【答案】5【解析】【分析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算先寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，再求模即可.【詳解】,,故答案為：5.14.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，且，，則拋物線的方程為：______________.【答案】【解析】【分析】如圖作，，由拋物線定義知是等邊三角形，再過(guò)焦點(diǎn)作，知為的中點(diǎn)，所以，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，即可求得拋物線方程.【詳解】拋物線：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線如圖，，，，由拋物線定義知，故是等邊三角形，過(guò)焦點(diǎn)作，交于，則為的中點(diǎn)，所以，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球拋物線的方程，解題的關(guān)鍵是要熟識(shí)拋物線的定義，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，即可知，再利用知是等邊三角形，再利用等邊三角形性質(zhì)求解，考查學(xué)生的邏輯推導(dǎo)實(shí)力，屬于中檔題.15.設(shè)點(diǎn)在曲線上，在直線上，則的最小值________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點(diǎn)到直線的距離，先依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點(diǎn)到直線的距離.設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，解得（舍去），故切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探討曲線上某點(diǎn)的切線方程，須要留意：（1）已知切點(diǎn)求斜率，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：；（2）已知斜率，求切點(diǎn)，即解方程；（3）已知過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn))的切線斜率為時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)，利用＝求解.16.如下圖所示，三棱錐外接球的半徑為1，且過(guò)球心，圍繞棱旋轉(zhuǎn)后恰好與重合.若，則三棱錐的體積為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】作于，可證得平面，得，得等邊三角形，利用是球的直徑，得，然后計(jì)算出，再應(yīng)用棱錐體積公式計(jì)算體積．【詳解】∵圍繞棱旋轉(zhuǎn)后恰好與重合，∴，作于，連接，則，，∴．又過(guò)球心，∴，而，∴，同理，，，由，，，得平面，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查求棱錐的體積，解題關(guān)鍵是作于，利用旋轉(zhuǎn)重合，得平面，這樣只要計(jì)算出的面積，即可得體積，這樣作圖可以得出，為旋轉(zhuǎn)所形成的二面角的平面角，這里簡(jiǎn)單出錯(cuò)在誤認(rèn)為旋轉(zhuǎn)，即為．旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn)形成的二面角為．應(yīng)用作出二面角的平面角．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.2024年年初，中共中心、國(guó)務(wù)院發(fā)布《關(guān)于開(kāi)展掃黑除惡專(zhuān)項(xiàng)斗爭(zhēng)的通知》，在全國(guó)范圍部署開(kāi)展掃黑除惡專(zhuān)項(xiàng)斗爭(zhēng).為了解這次的“掃黑除惡”專(zhuān)項(xiàng)斗爭(zhēng)與2000年、2006年兩次在全國(guó)范圍內(nèi)持續(xù)開(kāi)展了十多年的“打黑除惡”專(zhuān)項(xiàng)斗爭(zhēng)是否相同，某高校一個(gè)社團(tuán)在2024年末隨機(jī)調(diào)查了100位該校在讀高校生，就“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同進(jìn)行了一次調(diào)查，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：不相同相同合計(jì)男50女15合計(jì)100已知在100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人認(rèn)為“掃黑除惡”與“打黑除惡”不相同的概率為0.75.（1）完成上表；（2）依據(jù)如上的列聯(lián)表，有沒(méi)有的把握認(rèn)為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關(guān)？附：（）.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）表格見(jiàn)解析；（2）有把握認(rèn)為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）由的概率計(jì)算出認(rèn)為不相同的總?cè)藬?shù)，則可完成列聯(lián)表；（2）計(jì)算后比較可得結(jié)論．【詳解】解：（1）不相同相同合計(jì)男501060女251540合計(jì)7525100（2）.所以有的把握認(rèn)為“掃黑除惡”與“打黑除惡”是否相同與性別有關(guān).18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可化為，結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可得到結(jié)論；（2）由題知數(shù)列是等差數(shù)列，則，再利用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，①②由①－②得：，，即，故數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，，得.（2）由題得：，故是以2為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.19.如圖①，是由正三角形和正方形組成的平面圖形，其中；將其沿折起，使得，如圖②所示.（1）證明：圖②中平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)滿(mǎn)意題意要求，.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，利用等腰三角形三線合一可得出，利用勾股定理可得出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，為正三角形且，，且，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，且，，，，則，又，平面.平面，平面平面；（2）平面，且四邊形是正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，

平面，所以，面的一個(gè)法向量為，在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，，設(shè)二面角的平面角為，二面角的余弦值為，，整理得，，解得，，綜上，存在點(diǎn)滿(mǎn)意題意要求，此時(shí).【點(diǎn)睛】體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種：（1）依據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和視察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；（2）假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，依據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在．20.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）最大值點(diǎn)為..【解析】【分析】（1）依據(jù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，由在上有解求解.（2）由得，，依據(jù)，易得，，則在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，然后由，分，確定最小值進(jìn)而求得a即可【詳解】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，即在上成立，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，，∴在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，而，當(dāng)，即時(shí)，，得，此時(shí)，最大值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，得（舍）.綜上在上的最大值點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)全部使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)全部使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最終比較即得；(2)已知函數(shù)的最值求參數(shù)，一般先用參數(shù)表示最值，列方程求解參數(shù)．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線：，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)，過(guò)且與軸不重合的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，.則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）直線的方程為，的內(nèi)切圓的面積最大值為.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，依據(jù)得到模長(zhǎng)關(guān)系，由此得到關(guān)于的等式即為軌跡方程；（2）利用內(nèi)切圓的半徑分析出的面積最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑最大從而內(nèi)切圓面積最大，再根弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離表示出，并利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算出的最大值，從而內(nèi)切圓半徑最大值可求，則的內(nèi)切圓的面積最大值可求.【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，由，則，，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得：.∴所求曲線的方程為.（2）設(shè)，，不妨令，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則的周長(zhǎng)為，，由此可知，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的內(nèi)切圓面積最大，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得：，∴，則，令，則，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為4.∴，即當(dāng)時(shí)，的面積最大為3，此時(shí)，的內(nèi)切圓的最大半徑為，所以，的內(nèi)切圓的面積取得最大值為.故直線的方程為，的內(nèi)切圓的面積最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中求解三角形面積的思路：（1）利用弦長(zhǎng)以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合底高，表示出三角形的面積；（2）依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，利用公共底或者公共高的狀況，將三角形的面積表示為或；（3）借助三角形內(nèi)切圓的半徑，將三角形面積表示為（為內(nèi)切圓半徑）.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.做