廣東省高州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試12月試題

PAGEPAGE10廣東省高州市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試（12月）試題本卷命題范圍：高考范圍。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合M＝{x|2x2-5x-3＜0}，N＝{-2，1，2，4}，則M∩N＝A．{-2，1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{1，2，4}2．設(shè)復(fù)數(shù)z＝1-（1-i）3，則|z|＝A．1B．2C．D．3．如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則A．B．C．D．4．設(shè)集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)的部分圖象大致為A．B．C．D．6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y＝k（x＋2）與拋物線C交于點(diǎn)A（1，2），B，則|FB|＝A．3B．4C．5D．67．已知正六邊形A1A2A3A4A5A6的邊長(zhǎng)為1，在這6個(gè)頂點(diǎn)中隨意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)Ai，Aj（1≤i＜j≤6）得到線段AiAj，則|AiAj|{1，2}的概率為A．B．C．D．8．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面綻開(kāi)圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則AA1＝A．B．2C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。9．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問(wèn)五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，下列說(shuō)法正確的是A．甲得錢是戊得錢的2倍B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢10．如圖是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是A．ω＝2B．是函數(shù)，f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心C．D．函數(shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)11．若0＜x＜y＜1，則下列結(jié)論正確的是A．B．ex＞ex-yC．xn＜yn，n∈N*D．logxy＞logyx12．已知函數(shù)f（x）＝x2＋sinx，則下列說(shuō)法正確的是A．f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B．設(shè)g（x）＝f（x）·f（-x），則g（x）與f（x）的單調(diào)性相同C．f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)D．f（x）在上單調(diào)遞增第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題13．當(dāng)a為常數(shù)時(shí)，綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為15，則a＝________．14．在△ABC中，若，則△ABC是________三角形．15．已知圓M：x2＋y2-12x-14y＋60＝0，圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，則圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．16．若xex＝5，，則xy＝________．四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．從條件①2b-a＝2ccosA，②ctanC-acosB＝bcosA，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并給出解答．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝1，，________，求△ABC的面積．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．18．2024年10月1日既是中華人民共和國(guó)第71個(gè)國(guó)慶日，又是農(nóng)歷中秋節(jié)，雙節(jié)同慶，許多人通過(guò)短視頻APP或微信、微博表達(dá)了對(duì)祖國(guó)的祝愿．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解通過(guò)短視頻APP或微信、微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝愿的人們是否存在年齡差異，通過(guò)不同途徑調(diào)查了數(shù)千個(gè)通過(guò)短視頻APP或微信、微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝愿的人，并從參加者中隨機(jī)選出200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝愿的有160人．將這160人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求a的值并估計(jì)這160人的平均年齡；（2）把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，選出的200人中通過(guò)短視頻APP表達(dá)對(duì)祖國(guó)祝愿的中老年人有26人，問(wèn)是否有99％的把握認(rèn)為是否通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝愿與年齡有關(guān)？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）．（1）若{an}為等差數(shù)列，a1＝-1，，求Sn和an的表達(dá)式；（2）若數(shù)列{Sn}滿意，求an．20．如圖，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，且，．（1）求證：平面BDD1B1⊥平面CDD1C1；（2）求二面角C—BD1—C1所成角的余弦值．21．已知點(diǎn)P（-2，-1）為橢圓C：（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P作直線PA，PB，與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）若直線PA，PB的斜率之和為0，證明：直線AB的斜率為定值．22．設(shè)函數(shù)，a≠0，a∈R．（1）探討f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＝1且m∈（0，ln2）時(shí)，函數(shù)（x＞0），證明：F（x）存在微小值點(diǎn)x0，且m＋lnx0＜0．

高州市2024～2025屆高三第一次模擬考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B，所以M∩N＝{1，2}，故選B．2．Dz＝1-（1-i）2（1-i）＝1＋2i（1-i）＝1＋2＋2i＝3＋2i，所以，故選D．3．B依題意，，故選B．4．C5．B由題知，在（-∞，0）∪（0，＋∞）上恒成立，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，解除C；因?yàn)椋琭（π）＝0，解除A，D，故選B．6．C由點(diǎn)A（1，2）在拋物線C上得p＝2，設(shè)，由直線過(guò)定點(diǎn)（-2，0）得，解得t＝4（舍去2），B（4，4），所以．故選C．7．C由已知得，（1≤i＜j≤6），（1≤i＜j≤6），在這6個(gè)頂點(diǎn)中隨意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)Ai，Aj（1≤i＜j≤6），得到以下15條線段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6，其中滿意（1≤i＜j≤6）的有以下6條線段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5，A4A6，依據(jù)古典概型的計(jì)算公式得，|AiAj|{1，2}的概率為，故選C．8．D由綻開(kāi)圖可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其外接圓的半徑滿意，所以r＝1．由4πR2＝12π得．由球的性質(zhì)可知，球心O究竟面ABC的距離為，結(jié)合球和直三棱柱的對(duì)稱性可知，，故選D．9．AC依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a-2d，a-d，a，a＋d，a＋2d，則由題意可知，a-2d＋a-d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝-6d，又a-2d＋a-d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，所以，，，，所以甲得錢，乙得錢，丙得1錢，丁得錢，戊得錢，所以甲得錢是戊得錢的2倍，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯(cuò)誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯(cuò)誤．綜上，故選AC．10．ACD由題知，A＝2，函數(shù)f（x）的最小正周期，所以，故A正確；因?yàn)椋?，k∈Z，解得，k∈Z，又|φ|＜π，所以，故C正確；函數(shù)，因?yàn)?，所以不是函?shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；令，m∈Z，得，m∈Z，當(dāng)m＝-1時(shí)，，因?yàn)椋院瘮?shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確．故選ACD．11．ABC因?yàn)?＜x＜y＜1，所以0＜xy＜1，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?＜x＜y＜1，所以x＞0＞x-y，所以ex＞ex-y，故B正確；因?yàn)?＜x＜y＜1，所以0＜xn＜yn＜1，n∈N*，故C正確；因?yàn)?＜x＜y＜1，所以0＜logxy＜logxx＝1，logyx＞logyy＝1，所以logxy＜1＜logyx，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．ACD由題知，f'（x）＝2x＋cosx，f"（x）＝2-sinx＞0，所以f'（x）＝2x＋cosx在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝0時(shí)，f'（x）＝1＞0；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得f'（x0）＝0，所以函數(shù)f（x）＝x2＋sinx在（-∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)閒（-x）＝x2-sinx，所以g（x）＝f（x）·f（-x）＝x4-sin2x，所以g'（x）＝4x3-2sinxcosx＝4x3-sin2x所以g'（0）＝0，故g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為0，所以g（x）與f（x）的單調(diào)性不相同，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，，且f（0）＝0，所以f（x）在（-∞，x0）和（x0，＋∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；因?yàn)閥＝x2與y＝sinx在上都是單調(diào)遞增，所以f（x）＝x2＋sinx在上單調(diào)遞增，D正確．故選ACD．13．±1的第r＋1項(xiàng)為，令-12＋3r＝0，得r＝4，所以，解得a＝±1．14．等腰直角若，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)sinA＝sinB時(shí)取等號(hào)，即A＝B．又2sinC≤2，則2≤2sinC≤2，即sinC＝1，，△ABC為等腰直角三角形．15．（x-6）2＋（y-1）2＝1圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）2＋（y-7）2＝25，所以圓心M（6，7），半徑為5．由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N（6，y0）．因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切，所以0＜y0＜7，于是圓N的半徑為y0，從而7-y0＝5＋y0，解得y0＝1．因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）2＋（y-1）2＝1．16．5e由得由xex＝5得x＞0，故函數(shù)f（x）＝xex（x＞0）為單調(diào)遞增函數(shù)，，又∵．17．解：選擇①，因?yàn)?b-a＝2ccosA，所以由余弦定理得，所以a2＋b2-c2＝ab，所以由余弦定理得，所以，所以△ABC的面積為．選擇②，因?yàn)閏tanC-acosB＝bcosA，所以由正弦定理得sinCtanC-sinAcosB＝sinBcosA，所以sinCtanC＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC．又0＜C＜π，所以sinC≠0，所以tanC＝1，所以，所以，所以△ABC的面積為．選擇③，因?yàn)?，所以由正弦定理得，?sinCcosB-5sin（B＋C）＝5sinCcosB-（5sinBcosC＋5cosBsinC）＝4sinB，所以sinB（4＋5cosC）＝0．又0＜B＜π，所以sinB≠0，所以，所以，所以△ABC的面積為．18．解：（1）由10×（0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01）＝1得a＝0.035．這160人的平均年齡為20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5．（2）前3組人數(shù)為10×（0.010＋0.015＋0.035）×160＝96，由題意得2×2列聯(lián)表：通過(guò)短視頻APP表達(dá)祝愿通過(guò)微信或微博表達(dá)祝愿合計(jì)青少年1496110中老年266490合計(jì)40160200，所以有99％的把握認(rèn)為是否通過(guò)微信或微博表達(dá)對(duì)祖國(guó)的祝愿與年齡有關(guān)．19．解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝-1＋（n-1）d（d為等差數(shù)列的公差），則，解得，所以an＝1-2n，．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，，①，②由①-②得，，Sn＝3×2n，當(dāng)n＝1時(shí)，，S1＝16，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝16；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝S2-S1＝12-16＝-4；當(dāng)n≥3時(shí)，an＝Sn-Sn-1＝3×2n-1，所以20．（1）證明：因?yàn)锳D⊥AB，，所以BC＝2，，因?yàn)椋訠D2＋DC2＝BC2，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，所以DD1⊥底面ABCD，所以BD⊥DD1．因?yàn)镈D1∩CD＝D，所以BD⊥平面CDD1C1，又BD平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面CDD1C1．（2）解：如圖，分別以DB，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），，，，．所以，，，設(shè)平面CBD1的法向量為，則令x＝1，得．設(shè)平面C1BD1的法向量為，則令a＝1，得，所以，由圖知二面角C-BD1-C1為銳角，所以二面角C-BD1-C1所成角的余弦值為．21．（1）解：由題設(shè)，得，①且，②由①②解得a2＝6，b2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓C的離心率為．（2）證明：設(shè)直線PA的斜率