高中數(shù)學《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》導學案

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

I課前自主預習飛

1.向量的數(shù)乘

結果m向量

定義實數(shù)義與向量。的積

記作[2]Xa

長度|Aa|=⑶

當義〉0時.小的方向與。的方向團相同

方向當義〈0時.入。的方向與a的方向⑸相反

當a=0時，/a=—0

總結向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的⑦線性運算

2.實數(shù)與向量的積的運算律

設入，"為實數(shù).那么

(1)=⑻(義浦。

運算律

(2)(入+R)ct=⑼/。—[乂。

(3)入(。十0)=①]3—油

(―A)a=—(A?)=A(——t)=Aa—

特別情況

Xb

對于任意向量a,。.任意實數(shù)人的，〃2恒有

推廣形式

/(兇。土〃2>)=?！?幺2b

J

3.共線向量定理

叵I向量a(aWO)與方共線，當且僅當有唯---個實數(shù)2,使)=

Xa,

R自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)2。的方向與G的方向一致.()

(2)共線向量定理中，條件GWO可以去掉.()

(3)對于任意實數(shù)相和向量a,b,若ma=mb,貝1Ja=〃.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)下列各式中不表示向量的是()

A.0a

B.a+3b

C.13al

D.y￡R,且％Wy)

答案C

解析13al是一個實數(shù)，不表示向量.

(2)下列各式計算正確的有()

①(一7)6。=-42田②7(a+8)一88=7a+15b；

(3)a~2b-\-a+2b=2a；@4(2a+ft)=8?+4Z>.

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案C

解析①③④正確.

(3)已知向量。，方不共線，c=^+〃(％￡R),d=a-b,如果c〃

d,那么()

A.%=1且c與d同向B.Z=1且c與d反向

C.4=一1且c與d同向D.2=—1且c與d反向

答案D

解析c//d則c—).d,即ka-\-b—Xa—Xb,

（4）（教材改編P90T4）已知向量a=2e,5=-e,貝lja與b.（填

“共線”或“不共線”）

答案共線

解析因為“=一28，所以a與b共線.

卜課堂互動探究

探究1向量的數(shù)乘運算

例1化簡下列各式：

(l)3(6a+0)-9(a+"d；

(2曲34+25)-[?+，)-2俁+副；

(3)2(5。-4b+c)-3(。-3〃+c)-7a.

解(1)原式=18。+36—9a—3〃=9a.

(2)原式=52a+5“一〃-波=。+9_Q_"=0.

(3)原式=10。-85+2c—3。+9b—3c—7a=b—c.

拓展提升

向量數(shù)乘運算的方法

(1)向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算.例如實數(shù)運算

中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量

的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實

數(shù)看作是向量的系數(shù).

(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用代

數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算

律，簡化運算.

【跟蹤訓練1】(1)設向量a=3i+2j,b=2i-j,求國一，一

a)+(28-a)；

(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,向量a,b,x,y滿足關

系式3x—2y=a,-4%+3y=)，求向量x,y.

1?

解(1)原式=2a—b—〃+1。+2)一a

=卜1—1%+(—1+|+2)

=-|?+|z>=-j(3z+2/)+|(2z-j)

10_5\

=(-5+等+33/

5.一

=一下一5/

3x-2y=a,①

(2)

—4x+3y=〃,②

①X3+②X2,得

X=3Q+2Z>,再代入①，得

y—4a+3b.

探究2向量的線性運算的應用

—>—?-?-?

例2如圖，四邊形A8CO是一個梯形,A8〃C。且|A8|=2|CD|,

―?-A

M,N分別是。C,4B的中點，已知AB=ei,AD=ei,試用ei,ez表

示下列向量.

(1)AC=；

-A

(2)MN=.

—?-A

解析(1)因為AB〃CO,

\AB\=2\CD\,

所以AB=2DC,DC=^AB.

—?—?-?

AC=AD-\-DC=e2~\-^e\.

—?—?—?―?

Q)MN=MD+DA+AN

-A-A->

=-^DC-AD+^AB

1

-

-4e2

1

心

11

答案-

-2!\-e2

2/4el

［互動探究］在本例中，若條件改為3C=ei,AZ)=e2,試用ei,

—?

改表示向量MN.

-A—?—?—?—?-A—>-A

解因為〃N=MO+OA+AN,MN=MC+CB+BN,

—?—?—?―?—?―?―?

所以2MN=(MD+MC)+ZM+CB+(AN+3M.

又因為M,N分別是。C,A3的中點，

—>—?—>—?

所以MO+MC=0,AN+BN=6

―?—?-?

所以2MN=DA+CB,

—?—?-?

所以MN=g(_AD—'BC)=_/—/.

拓展提升

用已知向量表ZF其他向量的兩種方法

(1)直接法

結合圖形的特征，把待求向量放在

(畫囹)

三角形或平行四邊形中

JL結合向量的三角形法則或平行四邊

G一形法則及向量共線定理用已知向量

［表示未知向量.

(2)方程法

當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形

法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量

的方程.

【跟蹤訓練2】如圖所示，已知QABCO的邊8C,CD上的中

-A―?—?—?

點分別為K,L,且AK=ei,AL=e2,試用ei,及表示3C,CD.

解解法一：設BC=x,則3K=5,

—?—?—?―?

AB=AK+KB=ei—^x,DL=^e\—^c.

—?—?>?-]

又AD=x,由A￡>+QL=4"得x+]ei—肝=02.

42f42

解方程得1=于2—gei,即3。=下2一鏟1.

—?―?-?

由CZ)=—AB,AB=e\—^x9

f42

得CZ)=—gei+下2.

解法二：設3C=x,CD=y,

—?―?

11

則BK=]x,DL——^y.

-?—>—?—?—?-?

由A8+8K=AK,AD+DL=AL,

—y+^x=e\,①

得，1

x~^y=ei.②

—2X②+①，得/—2x=e\-2&,x=*2e2—ei).

2f42

同理得y=g(-2ei+e2),即3C=產(chǎn)一孑，

’42

CQ=-gei+Qe2.

解法三：如圖所示，延長BC與AL的延長線交于點石，則△ZUA

^△CLE.

從而AE=2AL,CE=AD,KE=3BC,

-A-A-A-A

3

由KE=A￡—AK,得]8C=2e2—ei,

f242

即3。=五2出一《。=產(chǎn)一/

242

同理可得C￡>=］(-2ei+e2)=—于1+于2.

探究3共線定理的應用

例3已知非零向量⑨，及不共線.

―?—?-?

(1)如果A8=ei+e2,BC=2e,+8e2,CD=3(ei~e2),求證：A,B,

。三點共線；

(2)欲使Ze】+e2和4+山2共線，試確定實數(shù)Z的值.

—"?

解(1)證明：?.?A3=ei+e2,

—?—?—?-?

3Z)=3C+C￡)=2ei+8e2+3ei—3e2=5(ei+ei)=5AB.

-?-?

：.AB,8D共線，且有公共點3.

AA,B,。三點共線.

(2),;Oi+e2和ei+履2共線,

.?.存在實數(shù)2,使她+e2="ei+既2),

即(k-X)e\=(Xk—1)C2.

7：—2=0,

Tei與e2不共線，,八解得2=±1.

AA：—1=0,

［變式探究］將例3條件不變，(2)改為：欲使於1+262和2g+

題2共線，試確定k的值.

解..,氏1+2。2和2幻+既2共線，

.?.存在實數(shù)2使履1+2e2=2(2e1+kei),

即(k—2%)ei=(2左一2)^2,

Z—240,

,.Zi,02不共線，.二’“_解得％=±2.

A,/c2,

拓展提升

用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路

(1)若5=〃370),且b與。所在的直線無公共點，則這兩條直

線平行.

(2)若方=2a(aW0),且b與。所在的直線有公共點，則這兩條直

—?—?―?―?—?-?

線重合.例如，若向量A3=2AC,則AB,AC共線，又A3與AC1有公共

點A,從而A,B,C三點共線，這是證明三點共線的重要方法.

―?

【跟蹤訓練3](1)已知劭，C2是兩個不共線的向量，若A3=2e]

~?-?

—8e2，CB=e\+3e2,CD=2e\—ei，求證：A,B,。三點共線；

—?-?

(2)已知A,B,P三點共線，0為直線外任意一點，若OP=xOA

―?

+yOB,求x+y的值.

―?-?

解(1)證明：?.?CB=ei+3e2,CD=2e}~ei,

—?―?—?

BD=CD—CB—e\—4%.

―?

又AB=2ei—8。2=2?-4e2),

-?—?―?―?

:.AB=2BD,J.AB//BD.

?「AB與8D有公共點B,

：.A,B,。三點共線.

―?—>

(2)由于A,B,P三點共線，所以向量49,A尸在同一直線上，由

—?-?

向量共線定理可知，必定存在實數(shù)丸使AP=2A&

—>—>—?-?

即0尸一OA=X(OB-OA),

所以。尸=(1—2)OA+2OB,

故％=1—九y=X,即％+y=l.

1

f-------------------------------------1那跳升-------------------

1.對2a的理解

(1)可以將。的長度擴大(|以>1時)，也可以縮小(|川<1時)；同時

可以不改變a的方向(2>0時)，也可以改變a的方向(2<0時)，與a

的方向相反.

(2)當2=0時，2a=0,而當仁W0時,若a=0,也有②=0.

(3)實數(shù)與向量可以求積，結果仍是一個向量，它可以看成實數(shù)

與實數(shù)的積的定義的推廣，但不能進行加減運算，如：4+a,2—a

無意義.

2.對兩向量共線的條件的理解

(1)判斷兩向量共線，其實就是找一個實數(shù)，使得它與一個向量

的積等于另一個向量.可以用來證明幾何中的三點共線及兩直線平

行的問題.

(2)為何規(guī)定“非零向量a”這一條件？若a=0,b/O時，不存

在實數(shù)％使得分=癡；若a=0,b=0,則存在不唯一的實數(shù)滿足等

式.

(3)若a,〃不共線，且存在實數(shù)九〃，使〃a=2仇或〃a+勸=

0),則必有〃=4=0.因為a,?不共線，則a,b必為非零向量，若

AWO,則方=%若〃W0,貝!J無論哪種情況都有a,b共線

與已知矛盾，故必有2=//=0.

(4)兩向量共線的一般形式：若存在不全為0的一對實數(shù)A,〃使

pa+入6=0,則a與6共線.

卜課堂達標自測

1.已知m,n是實數(shù)，a,b是向量，則下列命題中正確的為()

?m(a-b)=ma—mb；(2)(m—/?)a=ma—na；(3)^ma=mb,貝lja

=b\④若貝lj

A.①④B.①②C.①③D.③④

答案B

解析①②顯然正確.③中當m=0時，對于任意兩向量a,b,

分都成立，但不一定有。=方，故③錯誤.④中當a=0時，不

成立.故選B.

2.對于向量a,b有下列表示：

①a=2e,b=~2e；

②a=ei-02，b——2ei+2e2；

“2,1

(3)a=4ei—7e2,b=e\—~^e2；

?a=e\+ei,b=2e\—2ei.

其中，向量a,方一定共線的有()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

答案A

解析①中方=一”，貝la,方共線；

②中力=-2a,則a,力共線；

③中a=4b,則a,b共線.故選A.

3.已知％,y是實數(shù)，向量a,b不共線，若(%+y—

=0,貝I%=,y=.

答案22

%+y-1=0,1

解析由已知得八解得尸產(chǎn)今

[x-y=0,2

4.如圖所示，在口A3CQ中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為

3c的中點，則MN=.（用a,b表示）

答案a)

―?-?

解析?:AN=3NC,M為3c的中點，貝!|

―?—?—?—?-?

MN=MC+CN=；BC—；AC

―?—?-?

=；A￡)—1(A8+AO)

―?-?

=^AD-^AB=^b-a).

5.如圖，在四邊形A3CD中，E,F,G,H分別為BD,AB,AC

和CD的中點，求證：四邊形石9G”為平行四邊形.

證明VF,G分別是AB,4C的中點.

—>—>

:.FG=；BC.

—?—?

同理，EH=；BC.

/G=EH..?.四邊形EFGH為平行四邊形.

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.下列各式計算正確的個數(shù)是()

①(一7>5。=—35a；②a—2A+2(a+b)=3a；③a+辦一(a+〃)=0.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析根據(jù)向量數(shù)乘的運算律可驗證①②正確；③錯誤，因為向

量的和、差及數(shù)乘運算的結果仍為一個向量，而不是實數(shù).

—?

2.如圖所示，。是△A8C的邊A8上的中點，則向量8=()

A.BC—^BA

-A-?

B.-BC+^BA

—?—?

C.—BC—^BA

―?-?

D.BC+^JBA

答案B

-A-A

解析解法一：?.?。是的中點，...3。=；區(qū)4,

—?―?—?—?-?

:.CD=CB+BD=-BC+：BA.

解法二：由CQ=；(C8+CA)=g[CB+(C3+8A)]=C8+；8A=—

-?—>

BC+^BA.

―?-?-A

3.已知向量a,方，且AB=a+2"BC=-5a-\-6b,CD=7a—2b,

則一定共線的三點是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

答案A

—?—?—?—?—■?—?

解析AD=AC-\-CD=AB+BC+CD

=(a+2ft)+(-5?+6ft)+(7a-2Z>)

-A

=3a-\-6b—3AB,

：.A,B,。三點共線.故選A.

—?—?—?―?

4.若4B=3ei,CD=~5e\,且|AQ|=|3C|,則四邊形ABCD是

()

A.平行四邊形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

答案C

—?—?—?—?-?

3

解析因為所以AB〃C。，且|AB|W|CZ)|.而|AZ)|=

-?

\BC\,所以四邊形ABC。為等腰梯形.

5.在平行四邊形A8CQ中，AC與8D交于點O,E是線段0。

—?—?-?

的中點，AE的延長線與CQ交于點E若AC=a,BD=b,則A尸等于

112

-1-

A-力

4a+-23

D.|a

答案B

解析如圖所示,

丁E是OO的中點，/.OE=：BD=，.

又△ABE<^r>△FDE,；.FE=DE=T

—?―?—?-?

3

：.AE=3EF,：.AE=^AF,

―?-?-A

在△AOE中，AE=AO+OE=^a-\-^b,

421

.,.A/uwAfMwa+w。.故選B.

二、填空題

6.設g,02是兩個不共線的向量，若向量履1+2及與8ei+Ae2方

向相反，貝Ik=.

答案一4

解析..?2ei+2e2與8ei+Ze2共線，

二.ke\+2ei=4(8ei+kei)—82ei+Xkei.

k=8I,1=4，U=-I，

「?2="解得"或”

口=4〔2=一4.

,.Zei+2e2與8ei+&2反向,/.A=—k=—4.

7.若4=—ei+3e2,方=4ei+2e2,c=-3ei+12e2,則向量a寫

為2i8+22c的形式是.

I7

答案―Ti0十力c

解析若a=A仍+%2。，則一ei+3。2=九(4的+2。2)+22(—3ei+

12。2),**?-e1+3e2=(42i—322)?1+(2九+1222)62.

421—322=-1,~18'

解之，得j7

221+1222=3

22=藥

8.如圖，在△ABC中，點0是8C的中點，過點0的直線分別

—?—?—?-?

交直線AB,AC于不同的兩點M,N,^AB=mAM,AC=nAN,則加

+〃的值為.

答案2

—?―?—?—?—?―?―?

解析解法一：因為AB=7%AM,AC=nAN,所以AM=」」Ai5,AN

m

-?—A—?—?—?-?

AC則MNANAAACAA

=~n9=—/=n—m-

―?―?―?—?

因為點。為BC的中點，連接4。，所以則M0

---?—?—?ZV-?-?

=AO—AM=^AB+^AC—^-AB=[j—~\ABJt-^AC,因為M,O,N三

乙乙ffI-!!VJ乙

點共線，所以可設MO=2MN,

消去義得已1一15+/7言;=0,變形整理可得機+〃=2.

，，I乙III

解法二：在△ABC中，連接AO.由于。是3c的中點，因此AO

—?—?—?-?

=^(AB+AC)=)3+/C.

-A-A-A-A

由于A3=/xAM,AC=nAN,

―?―?-?

則AO=-jmAM+^nAN.

由于Af,O,N三點共線，貝電+；"=1,

從而m-\-n=2.

三'解答題

9.如圖，在△ABC中，D,廠分別是BC,AC的中點，AE=^AD,

AB=a,AC=b.

(1)用a,b分別表示向量AE,BF；

(2)求證：B,E,尸三點共線.

—?—?-?

解(1)VAD=1(A5+AQ=^(?+Z,),

-A-?

21

'.AE=^AD=^a-\~bY

~~?~~?

AF=^AC=^b,

—?—?-?

/.BF=AF—AB=-a-\-^b.

—>

(2)證明：由(1)知8尸=—

"''1212(11f2f

BE=AE—AB—^(a-\-b)—a——^a-\-^b=^\—a+^b\,.,.BE=^BF,

―?—>

與8尸共線.

又BE,3尸有公共點3,所以B,E,/三點共線.