考點02 二次根式、整式與因式分解-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(浙江專版)(解析版)

考點02二次根式、整式與因式分解

【命題趨勢】

浙江中考中，對二次根式的考察主要集中在對其化簡計算的應(yīng)用，多以筒答題17題形式

考察，分值在3~9分，常和銳角三角函數(shù)、實數(shù)概念結(jié)合出題，屬于中考必考題；偶爾也會

以選擇題或者填空題出現(xiàn)，考察二次根式有意義的條件，但幾率較小。整式這個考點一般會

考學(xué)生對整式化簡計算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對整式的復(fù)習(xí)，重點是要理解并

掌握整式的加減法則、乘除法則及基的運算，難度一般不大。因式分解作為整式乘法的逆運

算，在浙江中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以填空題第一題的形式出現(xiàn)，偶爾會

出在選擇題前5題內(nèi)，而且一般只考察因式分解的前兩步，拓展延伸部分基本不考，中考

占分在3~4分

【中考考查重點】

一、二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)；

二、二次根式的運算；

三、整式的加減；

四、幕的運算

五、整式的乘除

六、因式分解

考向一：二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.平方根與立方根

a(a>0)a(a=0)a(a<0)等于其本身的數(shù)

平方根±y[a0/0

算術(shù)平方根4a0/0、1

立方根yfa=0y[a0、1、-1

【易錯警示】

正數(shù)和0有平方根、算數(shù)平方根、立方根；負(fù)數(shù)只有立方根

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?長清區(qū)期中）實數(shù)16的平方根是（）

A.8B.±8C.4D.±4

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，計算.

【解答】解：16的平方根是±4；

故選：D.

2.（2021秋?吳江區(qū)月考）已知一個數(shù)的平方根是±3,這個數(shù)是（）

A.-9B.9C.81D.±73

【分析】根據(jù)平方根的定義解決此題.

【解答】解：；（±3）2=%

這個數(shù)是9.

故選：B.

3.（2021秋?奉化區(qū)期中）病的算術(shù)平方根是（）

A.3B.-3C.-9D.9

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】解：：病=9，

.??病的算術(shù)平方根是3.

故選：A.

4.（2021秋?鄲州區(qū)期中）下列各式中正確的是（）

A.-|-2|=2B.亞=±2C.3^=3D.(-5)2=25

【分析】選項A根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷即可；

選項B根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷即可；

選項C根據(jù)立方根的定義判斷即可；

選項D根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義判斷即可.

【解答】解：A.-|-2|=-2,故本選項不合題意；

B.y=2,故本選項不合題意；

C.炯聲3,故本選項不合題意；

D.（-5）2=25,故本選項符合題意；

故選：D.

5.(2021?青神縣模擬)若＜a+b+5+l2a-匕+“=0,則2021=()

A.-1B.1C.52021D.-52021

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對值的非負(fù)性，由盛正，0,\2a-b+\\^0,得

4+8+5=0,2〃-0+1=0,那么。=-2,b=-3,從而解決此題.

【解答】解：??Wa+b+52|24-。+1|30,

：?當(dāng)Va+b+5+l2〃-。+1|=0,則，a+b+5=。，12〃-/?+11=0.

??.4+。+5=0,24-0+1=0.

.?.〃=-2,b--3.

???(h-a)2021=「3+2)2021=(_])2021=7.

故選：A.

2.二次根式與最簡二次根式

概念有意義的條

件

二次根式非負(fù)數(shù)a的算式平方根叫做二次根式，記作&（a》0）被開方數(shù)。2

0

滿足以下兩個條件的二次根式：

最簡①被開方數(shù)中不含分?jǐn)?shù)，所含因式是整式；/

二次根式②被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；叫做最簡二次根

式

【易錯警示】

二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果,

所以像〃、-、月都是二次根式。

【同步練習(xí)】

1.（2021春?上虞區(qū)期末）當(dāng)x=0時，二次根式A/4+2X的值等于（）

A.4B.2D.0

【分析】把x=0代入二次根式后萬，再求出即可.

【解答】解：當(dāng)x=o時，式a7元=日=2.

故選：B.

2.（2021秋?蓮湖區(qū)期中）要使）二有意義，x的取值范圍是)

A.xN3B.xW3C.x>3D.x<3

【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件即可得出答案.

【解答】解：-Q0,3-/0,

；.xV3,

故選：D.

3.（2021春?長沙月考）要使式子岳行有意義，字母x的取值范圍必須滿足（）

A.X）-3B.x~>-3C.x#-3D.-3

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,可求x的范圍.

【解答】解：依題意，得2%+6》0,

解得：x--3,

故選：A.

4.（2021秋?虹口區(qū)校級期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.V9B.V?C.丘D.yll

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A、,:炳=3,被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故

本選項不符合題意；

B、書是最簡二次根式，故本選項符合題意；

C.J踵被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

。、涓的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：B.

5.（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）當(dāng)相=時，二次根式行工取到最小值.

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可解答.

【解答】解：工力0，

...當(dāng)m-2=0,即6=2時，在工有最小值0.

故答案為：2.

3.二次根式的性質(zhì)

>在根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，G前無&化簡出來就不可能是一個負(fù)數(shù)。

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?長春期中）!（一9）2等于（）

A.9B.-9C.±9D.81

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算即可得答案.

【解答】解：Q（_g）2=^/^y=9.

故選：A.

2.（2021秋?拱墅區(qū)期中）下列計算正確的是（）

A.VO7O9=±O.3B.舊=哈C.3y^7=_3D.-4|-25|=5

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：4、原式=0.3,故A不符合題意.

故8不符合題意.

C、原式=-3,故C符合題意.

D、原式=-5,故。不符合題意.

故選：C.

3.（2021?休寧縣模擬）觀察下列各式：

①房=2卷②扇=3信知舍德;④宿=5標(biāo)

根據(jù)上面式子所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下列各題：

（1）寫出第⑤個式子：；

（2）寫出第"個式子（〃21,且“為整數(shù)），并給出證明.

【分析】（I）從兩個角度去思考：一是序號與右邊根式前面的整數(shù)的關(guān)系；二是這個整

數(shù)與分?jǐn)?shù)分母之間的關(guān)系，從這兩個角度可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

（2）利用特殊與一般的關(guān)系推廣即可.

【解答】解：（D???右邊根是前面的整數(shù)等于序號加1,分?jǐn)?shù)的分母等于這個整數(shù)的平方

減1,

證明如下：

1

11+J(n+l)2=(〃+])1_(〃,1,且“

V(n+l)2-lV(n+l)2-lV(n+1)2-1V(n+1)2-1

為整數(shù)).

考向二：二次根式的運算

二次根式（1）把各二次根式化成最簡二次根式；

加減法（2）根據(jù)合并同類項法則合并；

(cz>0,Z?>0)

二次根式

乘除法⑵日學(xué)叱?！?

艮療法技巧.

初中數(shù)學(xué)三個非負(fù)性概念：同、/、指

常見應(yīng)用：以上三個概念，任意兩個相加、或者三個相加=0,則各部分分

別=0

字母表達(dá)式為：若同+〃+<?2=0,貝!ja=0,Z?=0,c=0

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）計算J女-我的結(jié)果是（）

A.B.372C.2近D.-272

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的減法運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=3遂-加

=2近.

故選：C.

2.（2021春?官渡區(qū)期末）下列計算正確的是（）

A.3）2=-3B.72X75=77C.M+D.（&）2=2

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

【解答】解：示=3,故此選項不合題意；

?V2xV5=V10>故此選項不合題意；

C，V9-V3=V3.故此選項不合題意；

O.（如）2=2,故此選項符合題意.

故選：D.

3.（2021秋?南崗區(qū)校級期中）計算：

【分析】先化簡二次根式，然后合并同類二次根式.

【解答】解：原式=2加-返

4

=773

4

故答案為：LH.

4

4.（2021?路南區(qū)二模）已知FX?=4,則〃=

【分析】根據(jù)二次根式的乘法運算法則即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：V8Xn=>/T6-

?*-8M=16,

??〃=2,

故答案為；2.

5.（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖是單位長度為1的正方形網(wǎng)格，點A,B,C都在格點上,

則點C到AB所在直線的距離為（)

A.2/S.B.C.D.

8V10V1O4

【分析】根據(jù)△ABC的面積=邊長為3的正方形面積一直角邊為2的等腰三角形的面積

-2個直角邊分別為1和3的三角形面積，△A8C的面枳=工8c?〃，列等式求出h.

2

【解答】解：,.,5AABC=32-/X2X2-/X]X3X2

=4,

設(shè)點C到AB所在直線的距離為h.

：48=J1+32=VTo1

ScABC=/XABXh'

*X傷?仁%

解得〃=T=.

V10

故選：B.

6.（2021秋?朝陽區(qū)期中）一個長方體紙盒的體積為4小豆加3,若這個紙盒的長為2料而I,

寬為瓜1m,則它的高為（）

A.\dmB.1-^dmC.D.48dm

【分析】設(shè)它的高為xd，〃，根據(jù)長方體的體積公式列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)它的高為xd"?,

根據(jù)題意得：2aX近Xx=4?,

解得：x=l.

故選：A.

7.（2021秋?龍華區(qū)校級期中）設(shè)x,y為實數(shù)，且產(chǎn)6+也主^^,則|-x+y|的值是（）

A.1B.2C.4D.5

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式，求出x,代入求出A

把x、y的值代入|-x+y|計算.

【解答】解：“4-x?0,

1x-4》0

.（x《4

Ix>4

，x=4.

.?y=6,

，Ir+yl=|-4+6|=2；

故選：B.

8.（2021秋?大邑縣期中）計算：

⑴V8W12-V27.

⑵V182,

【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可;

（2）根據(jù)二次根式的乘法法則和完全平分公式計算.

【解答】解：（1）原式=2圾+2?-3T

=2&-?：

（2）原式=J18X"1+1-2“+3

=2標(biāo)4-273

=4.

考向三：整式的加減

1.整式的概念及注意事項:

名稱識別次數(shù)系數(shù)與項

單項式①數(shù)與字母或字母與字母相乘所有字母系數(shù)：單項式中的數(shù)字因

整組成的代數(shù)式；②單獨的一個的指數(shù)的數(shù)

式數(shù)或一個字母和

多項式幾個單項式的和次數(shù)最高項：多項式中的每個單項

項的次數(shù)式

【易錯警示】

>由定義可知，單項式中只含有乘法運算；分?jǐn)?shù)是一個完整的數(shù)，不拆開來算;

>單獨的一個數(shù)或字母也叫單項式；單獨的字母的系數(shù)為1,次數(shù)也

是1

>由定義可知，多項式中可以含有乘法——加法——減法運算；

>多項式有統(tǒng)一的次數(shù)，但是沒有統(tǒng)一的系數(shù)，多項式中的每一項有自己的系數(shù)；

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?荔灣區(qū)校級期中）下列各式-LOT,8,1,/+2x+6,空工，1,-“中，整

2a5y

式有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【分析】根據(jù)整式的定義，結(jié)合題意即可得出答案.

【解答】解：工和工的分母含有字母，是分式，不是整式；

ay

整式有8,?+2x+6,空工，-a,共有5個，

25

故選:B.

2.（2021秋?福清市期中）單項式-4s2的系數(shù)是（）

A.-4B.-4nC.4nD.4

【分析】根據(jù)單項式系數(shù)的定義來求解.單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).

【解答】解：根據(jù)單項式系數(shù)的定義，單項式-4心y的系數(shù)是-4TT.

故選：B.

3.（2021秋?鐵西區(qū)期中）對于多項式-4x+5/y-7,下列說法正確的是（）

A.一次項系數(shù)是4B.最高次項是57y

C.常數(shù)項是7D,是四次三項式

【分析】根據(jù)多項式的項和次數(shù)的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：多項式-4x+5,y-7,

4、一次項系數(shù)是-4,原說法錯誤，故此選項不符合題意；

B、最高次項是5fy,原說法正確，故此選項符合題意；

C、常數(shù)項是-7,原說法錯誤，故此選項不符合題意；

。、是三次三項式，原說法錯誤，故此選項不符合題意.

故選：B.

4.（2021秋?蕭山區(qū)期中）已知x-3y=5,那么代數(shù)式8-3x+9y的值是（）

A.3B.7C.23D.-7

［分析］先由x-3y=5得出-3x+9y的值，即可確定8-3x+9y的值.

【解答】解：：x-3y=5,

-3x+9y=-3X5=-15,

二8-3x+9y=-15+8=-7,

故選：D.

2.整式的加減

同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同

整式合并同類項把同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為結(jié)果的系數(shù)，

的加減字母及字母的指數(shù)不變

添（去）括號法則括號外是添（去）括號不變號；括號外是“一”，

添（去）括號都變號

【易錯警示】

>所有的常數(shù)項都是同類項;

>“同類項口訣”一一兩同兩無關(guān)，識別同類項；一相加二不變，合并同類項

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?福清市期中）長方形的長為3x-2y,寬為y,則這個長方形的周長為（）

A.6x-yB.3x-yC.6x-2yD.3x-2y

【分析】由長方形周長=2（長+寬），表示出周長即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：2[（3x-2y）+y]

=2（3x-2y+y）

—2（3x-y）

=6x-2y.

故選：C.

2.（2021秋?雁塔區(qū)校級期中）下列計算正確的是（）

A.3a+a=3cPB.5x-3y=2xy

C.4x2y+xy2=5x2yD.-Cab3-1）=-a/>3+1

【分析】根據(jù)同類項的定義、合并同類項的法則、去括號法則逐項判斷即可.

【解答】解：A、3a+a—4a,故A不正確，不符合題意；

B、5x-3y沒有同類項，不能合并，故8不正確，不符合題意；

C、4fy+xy2沒有同類項，不能合并，故。不正確，不符合題意；

D、~=-ah3+1,故。正確，符合題意；

故選：D.

3.（2021秋?東西湖區(qū)期中）如圖，兩個三角形的面積分別是9和7,對應(yīng)陰影部分的面積

分別是，”和〃，則相-”等于（）

A.1B.2C.3D.不能確定

【分析】根據(jù)圖形，可以寫出兩個三角形的面積，然后作差即可得到，〃-〃的值.

【解答】解：設(shè)兩個三角形重疊部分的面積為S,

則9=m+S,7=n+S,

.".9-7=m-

?-〃=2,

故選：B.

4.（2021秋?深陽市期中）當(dāng)x=2,y=-l時，代數(shù)式x+2y-（3x-4y）的值是（）

A.-9B.9C.-10D.10

【分析】根據(jù)整式的加減運算法則進(jìn)行化簡，然后將x與y的值代入即可求出答案.

【解答】解：原式=x+2y-3x+4y

=-2x+6y,

當(dāng)x=2,y=-1時，

工原式=-4-6=-10,

故選：C.

5.（2021秋?玉屏縣期中）已知：M=3f+2x-l,N=-x2-2+3x,求M+2N.

【分析】直接去括號，進(jìn)而合并同類項進(jìn)而得出答案.

【解答】解：M+2N=（3x-+2x-1）+2（-x2-2+3x）

=37+2x-1-27-4+6x

=7+8X-5.

考向四：寨的運算

幕（見〃都是正整數(shù)）

的a'n『=產(chǎn)都是正整數(shù)）

運（"）"=//（〃為正整數(shù)）

算a'"-ra"=a""~"（a工0,"?,〃都是正整數(shù)且機(jī)＞〃）

-----【同步練習(xí)】]

1.（2021秋?荔灣區(qū)贏非富Sx3的基果嬴^塢"且"次正整數(shù)）

A.x6B.?C.x4D.x3

【分析】直接利用同底數(shù)基的乘法運算法則計算得出答案.

【解答】解：x2,x3=x2+3=^5.

故選：B.

2.（2021秋?越秀區(qū)校級期中）若2m=5,2"=3,則2"計"的值是（）

A.8B.9C.12D.15

【分析】根據(jù)同底數(shù)球的乘法法則計算即可.

【解答】解：?.?2"=5,2"=3,

.?.2"，+"=2'"?2"=5X3=15.

故選：D.

3.(2021春?新化縣期末)下列運算結(jié)果正確的是()

A.105+103-108B.

C.-“?/=“4D.-”?(-“)2=/

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的運算法則即可求出答案.

【解答】解：A、原式=100XK)3+I03=IOIXIO3=IQix1()5,故-不符合題意.

B、原式=/,故B符合題意.

C、原式=-/,故c不符合題意.

D、原式=-7,故。不符合題意.

故選：B.

4.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)下列運算結(jié)果錯誤的是()

A.a2,a3=a5B.(a2)3=a6C.a4-i-a4=aD.(ab)3=a3/>3

【分析】利用同底數(shù)基的乘法法則對A進(jìn)行判斷；利用黑的乘方對8進(jìn)行判斷；利用同

底數(shù)'幕的除法法則對C進(jìn)行判斷；利用積的乘方對D進(jìn)行判斷.

【解答】解：人原式="2+3=“5,所以入選項不符合題意；

B.原式=。2乂3="6,所以8選項不符合題意；

C.原式="4-4=],所以C選項符合題意；

D.原式=//,所以D選項不符合題意.

故選：C.

5.(2021秋?奉賢區(qū)期中)如果2"+2"+2"+2"=28,那么〃的值是.

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法法則解答即可.

【解答】解：；2"+2"+2"+2”=28,

.,.4X2n=28,

：.22X2"=2S,

,-.22+?=28,

**?2+)=8,

解得n—6.

故答案為：6.

6.(2021秋?普陀區(qū)期中)用幕的形式表示結(jié)果：(-3)2X(-3)3X(-3)4=.

【分析】根據(jù)同底數(shù)暴的乘法的法則進(jìn)行運算即可.

【解答】解：(-3)2義(-3)3X(-3)4

=(-3)2+3+4

=（-3）9

=-39.

故答案為：-3*

考向五：整式的乘除

1.平方根與立方根

單項式乘（除以）單項式，把它們的系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘（除）；

單項式乘（除以）對于只在一個單項式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），

單項式則連同它的指數(shù)不變，作為積（商）的因式

單項式乘多項式m(a+b+c)=ma+mb+mc

多項式乘多項式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

多項式除以單項式(am+b)4-m=a+b/m

乘法公式平方差公式（“+6）（“一/，）=/-〃

完全平方公式（a±b）2=/±2"+〃

【方法提示】

>乘法公式里的字母可以是一個單項式，也可以是一個多項式；

>兩個乘法公式可以從左到右應(yīng)用，也可以從右到左應(yīng)用；

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?黃埔區(qū)校級期中）下列運算正確的是（）

A.a3+a3=iz6B.（a3）2=a6

C.（ab）2=ab2D.2a5*3a5=5a5

【分析】利用合并同類項的法則，塞的乘方與積的乘方的法則，單項式乘單項式的法則

對各項進(jìn)行運算即可.

【解答】解：A、a3+a3^2a\故4不符合題意；

B、（a3）2—a（',故8符合題意；

C、（ab）2—a2b2,故C不符合題意;

。、2a5,3a5=6al0>故。不符合題意；

故選:B.

12

2.（2021?榆陽區(qū)模擬）計算（總血/）./的結(jié)果是（）

A.4nJ2,，B.--m2n4C.—m2n4D.--m5n4

444

【分析】直接利用整式的除法運算法則以及積的乘方運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：原式

4

=L"2〃4.

4

故選：c.

3.(2021秋?青浦區(qū)月考)若(x-a)(x-Z?)=x1+kx+ab,則攵的值為()

A.a+bB.-a-bC.a-bD.b-a

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則進(jìn)行計算，從而判斷含x的項的系數(shù).

【解答】解：原式=/-法-奴+出？

=:+(-a-h)+ab,

又,:(x-iz)(x-h)=)?-1t-kx+ab,

:.k=-a-b,

故選：B.

4.(2021秋?海淀區(qū)校級期中)如圖，在長為3〃+2,寬為2人-1的長方形鐵片上，挖去長

為2a+4,寬為〃的小長方形鐵片，則剩余部分面積是()

3K2

A.-3〃+4bB.4ab-3a-2

C.6ab-3a+8A-2D.4ab-3a+8Z?-2

【分析】根據(jù)長方形的面積分別表示大長方形和小長方形的面積，再進(jìn)行相減即可.

【解答】解：剩余部分面積：

(3。+2)(2b-1)-h(2?+4)

—6ab-3。+46-2-2ab-4b

=4ab-3a-2；

故選：B.

5.(2021秋?襄汾縣月考)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的

三角形揭示了(〃+〃)〃(〃為非負(fù)整數(shù))展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，根據(jù)“楊

輝三角”請計算(〃+h)6的展開式中從左起第四項的系數(shù)為()

Ca+h)°=1

Ca+h)x=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2h+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+t>4

【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出(。+m6的展開式中從左起第四項的系數(shù).

【解答】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)4的第四項系數(shù)為4=3+1；

(。+。)5的第四項系數(shù)為10=6+4；

(a+b)6的第四項系數(shù)為20=10+10.

故選：C.

6.(2021秋?鐵西區(qū)期中)己知(a-b)2=6,(a+b)2=4,則/+序的值為.

【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可.

【解答】解：：Ca-h)2=6,(a+b)2=4,

.,.a2-2ah+b2=6?,a2+2ab+b1=4@,

①+②，得2“2+2/=10,

.'.<Z2+Z?2=5.

故答案為：5.

7.(2021秋?越秀區(qū)校級期中)計算：

(1)a<-3a2)+27a%5.3/；

(2)(-2?)2-37(x4-/).

【分析】(1)利用單項式乘(除)單項式法則，先算乘除，再加減；

(2)先算乘方，再利用單項式乘多項式法則算乘法，最后加減.

【解答】解：([)原式=-31+9/

=643；

(2)原式=4乎-3乎+3/)2

=*6+3打2.

8.(2021秋?龍鳳區(qū)期中)計算：

(1)a*a2*ai+(-2?3)2-心+/；

(2)20212-2020X2022；

(3)先化簡，再求值：[(x+3y)(x-3y)-(x-y)2]-r(-2y),其中|x+l|+y2-4y=

-4.

(4)已知--5x-4=0,求代數(shù)式(x+2)(x-2)-(2x-1)(x-2)的值.

【分析】(1)先根據(jù)積的乘方進(jìn)行計算，再根據(jù)整式的乘除法則進(jìn)行計算，最后合并同

類項即可；

(2)先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算，再求出答案即可：

（3）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計算，再合并同類項，根據(jù)整式的除法進(jìn)行

計算，求出x、y的值，再代入求出答案即可；

（4）先根據(jù)平方差公式和多項式乘以單項式進(jìn)行計算，再合并同類項，求出f-5x=4,

最后代入求出即可.

【解答】解：（1）原式=/+4心-46

=4a6；

(2)原式=20212-(2021-1)X(2021+1)

=20212-(202K-1)

=20212.20212+1

=1;

(3)原式=(x2-9>,2-^+2xy->,2)4-(-2y)

=(-10>,2+2jcy)4-(-2y)

=5y-x,

由|x+l|+y2-4y=-4,

|x+1|+/-4y+4=0,

|x+l|+(y-2)2=0,

所以A+1=0,y-2=0,

解得：x=-1,y—2,

所以原式=5X2-(-1)=11；

(4)(x+2)(x-2)-(2x-1)(x-2)

=7-4-2/+4x+x-2

=-X2+5X-6,

V?-5x-4=0,

-5x=4,

當(dāng)x2-5x=4時,原式=-4-6=-10.

考向六：因式分解

1.平方根與立方根

公因式多項式各項都含有的相同因式

基因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做把這

本

個多項式因式分解

概

念

“?提”

am+brn+cm=m(a+b+c)

【即：提取公因

般

式】

步“二套”平方差公式<。+力(。-加=。2-加

【即：套用乘法

驟完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2

公式】

“三分組”基本不考，如果考，多項式項數(shù)一般在四個及以上

【即：分組分解

因式】

“二次三項想十x2+(〃+g)x+p.q=(x+p)(x+g)

字”【即：十字相

乘法】

【方法提示】

>由定義可知，因式分解與整式乘法互為逆運算；

>公因式是各項系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次基的積；單獨的公因數(shù)也是公因

式；

>將多項式除以它的公因式從而得到多項式的另一個因式；

>乘法公式里的字母，可以是單獨的數(shù)字，也可以是一個單項式或者多項式；

>分解因式必須分解徹底，即分解到每一個多項式都不能再分解為止；

【同步練習(xí)】

1.(2021秋?朝陽區(qū)校級期中)下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.2a2-2a+\—2a(a-1)+1B.(x+y)(x-y)—x2-y2

2

C.7-4x.y+4y2=(x-2y)D./+l=x(x+A)

x

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可.

【解答】解：人從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

B.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；

C.從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；

D.等式的右邊是分式與整式的積，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合

題意；

故選：C

2.(2021春?靖邊縣期末)用提公因式法分解因式6◎+3/)，-4/^3時，提取的公因式是

()

A.xyB.2xzC.I2xyD.3yz

【分析】直接根據(jù)當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式

的次數(shù)取最低的，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：用提公因式法分解因式6xy+3，y-4，yz3時，提取的公因式是盯.

故選：A.

3.(2021春?白云區(qū)校級月考)計算結(jié)果為f-5x+6的是()

A.(%-1)(x+6)B.(x+1)(x-6)C.(x-2)(%-3)D.(x+2)(x+3)

【分析】因為(-2)X(-3)=6,(-2)+(-3)=-5,所以利用十字相乘法分解

因式即可.

【解答】解：x2-5x+6=(x-2)(x-3).

故選：C.

4.(2021秋?和平區(qū)校級期中)已知△ABC的三邊長a,b,c滿足(a-b)(3-a2-貸)=

0,則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形或直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.直角三角形

【分析】根據(jù)(a-b)(c2-a1-b2)=0得a-b=0,或c?-/-序=o,求出。、b、c

之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解答】解:?:Ca-b)(c2-a2-b2)=0,

.,.a-b—0或c2-cr-廬=0,

或aL+b1—c1,

...△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形，

故選：A.

5.(2021秋?朝陽區(qū)校級月考)分解因式：12=.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：1-川=(1—m)(1+m),

故答案為:(1—m)(1+m).

6.(2021?泰興市二模)分解因式：3a2-12的結(jié)果為.

【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：原式=3(a2-4)—3(a+2)(a-2),

故答案為：3(a+2)(a-2).

7.(2021春?碑林區(qū)校級月考)分解因式：序-序+a序-?b=.

【分析】先分組，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；

【解答】解：“2-b~+ab~-crb

—(a2-b2)+(ab1-a2b)

—(a+6)(a-b)-ab(a-/?)

=(a-b)(a+h-ah).

故答案為(a-b)Ca+b-ab).

8.（2021春?渠縣校級期末）分解因式（2x+l）2一/=.

【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解.

【解答】解：（2X+1）2-/=（2X+1-*）（2x+l+?）=（2x+l-/）（x+l）2=_（A-_1

-,\/2）（x-1+V^）（x+l）2,

故答案為：-（x-1-圾）（x-1+圾）（x+D2.

限蹤訓(xùn)練,

1.（2012?寧波一模）當(dāng)x=-2時，二次根式“5-2x的值為（）

A.1B.±1C.3D.±3

【分析】把x=-2代入5-2x,求得5-2x的算術(shù)平方根即可.

【解答】解：當(dāng)x=-2時，Y5-2X=A/^=3.

故選：C.

2.（2021?金華模擬）代數(shù)式運1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時，x的取值范圍為（）

x

A.x>-\B.X2-1C.x》-1且x/0D.xr0

【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)并且分母不能為0可得問題的答案.

【解答】解：根據(jù)題意得x+l20,且x#0.

-I且x￥0.

故選：C.

3.（2021秋?蕭山區(qū)期中）下列各式中，錯誤的是（）

A.-稔1卬Ga）3B-（。-匕）2=（b-a）2

C-Lal—D-（Va）2=a

【分析】A；化簡立方根分別求出結(jié)果；

B：互為相反的兩個數(shù)的平方結(jié)果是相等的；

C：的取值范圍無法確定，因此有兩種結(jié)果；

Q：根據(jù)二次根式的性質(zhì).

【解答】解：A：V-印聲=-a，，（_理3=-a,

-田聲=水荷1,??.不符合題意；

B：（a-b）2=（方-a）2,.?.不符合題意；

C：的取值范圍無法確定,

.*-1-a\--n或小工符合題意;

O：）2=a,不符合題意；

故選：C.

4.（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）下列多項式不能用公式法因式分解的是（）

A.?-8a+16B.a^+a+—C.-?-9D.J-4

4

【分析】A、B選項考慮利用完全平方公式分解，C、。選項考慮利用平方差公式分解.

【解答】解：:J-8a+16=（a-4）2,

ai+a+—=（a+A）2,*67

42

a2-4=（a+2）（a-2）,

選項A、B、。能用公式法因式分解.

-42-9是平方和的形式，不能運用公式法因式分解.

故選：C.

5.（2021秋?上城區(qū)校級期中）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式

I（a-b產(chǎn)+lb-病1-（a+?。Y(jié)果為，）

I_1l.lI?

-1a01b23

A.2aB.2bC.-2aD.2\[^）

【分析】先把二次根式的化簡寫成絕對值的形式，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，去括

號計算.

2

【解答】解：,?V（a-b）+|b-V5|-（a+V5）

—\a-b\+\b-V5I__V5

=h-a+事f-b-a-旗

--2a；

故選：C.

6.（2021秋?西湖區(qū)校級期中）規(guī)定運算△:若a2b,則。Agq-b+1；若a（b,則“A6

=『+/；,則（-2）A1的值為（）

A.-2B.3C.4D.5

【分析】直接利用運算公式將原式變形，進(jìn)而計算得出答案.

【解答】解：：若。三江則aAZ?=a-b+l；若a<b,則aAb=/+6,

A-2A1=4+15.

故選：D.

7.（2021秋?普陀區(qū)校級月考）設(shè)P是關(guān)于x的四次多項式，。是關(guān)于x的三次多項式，下

列判斷正確的是（）

A.尸+Q是關(guān)于x的七次多項式

B.P-Q是關(guān)于x的一次多項式

C.尸?。是關(guān)于x的四次多項式

D.是關(guān)于x的七次多項式

【分析】根據(jù)整式的加減運算法則以及乘法運算法則即可求出答案.

【解答】解：4、若P是關(guān)于x的四次多項式，。是關(guān)于x的三次多項式，則P+。的次

數(shù)為四次，故A不符合題意.

8、若p是關(guān)于x的四次多項式，。是關(guān)于x的三次多項式，則P-。的次數(shù)為四次，故

8不符合題意.

C、若P是關(guān)于x的四次多項式，。是關(guān)于x的三次多項式，則P?。的次數(shù)為七次，故

C不符合題意.

D、若P是關(guān)于x的四次多項式，Q是關(guān)于X的三次多項式，則P?。的次數(shù)為七次，故

。不符合題意.

故選：D.

8.（2021秋?拜泉縣期中）若2"+2"=2,則"=（）

A.-1B.-2C.0D.A

4

【分析】對所給的式子進(jìn)行運算，即可得出結(jié)果.

【解答】解：???2"+2"=2,

2X2”=2,

整理得：2"1=2,

...“+1=1,

解得：n—0.

故選：C.

9.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）計算（-0.125）2021x26063=（）

A.1B.-1C.8D.-8

【分析】根據(jù)枳的乘方與'幕的乘方解決此題.

【解答】解:(-0,125)2021X26063

(」產(chǎn)21%(23)2021

/1\2。212021

(方)義O8

(^X8嚴(yán)1

O

(-1)2021

=-1.

故選：B.

10.(2021?于洪區(qū)二模)因式分解：6ab-a2-9h2=.

【分析】直接提取“-再利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解：原式=-(〃2-6加計9店)

=-(a-3b)2.

故答案為：-(a-2.

11.(2021春?溫州期末)若7-?x-6=(%-2)(x+3),則常數(shù)〃的值是.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則進(jìn)行計算求解.

【解答】解：a-2)a+3)

=X2+3X-2x-6

=/+工-6,

Vx2-nx-6=(x-2)(x+3),

.*./?=-1,

故答案為：-1.

12.(2021秋?下城區(qū)校級期中)單項式-2辿的系數(shù)是，多項式37T岫2+2”-次

5

數(shù)是.

【分析】根據(jù)單項式的次數(shù)和多項式的次數(shù)的定義得出即可.

【解答】解：單項式-2也的系數(shù)是-2,多項式3na/+2a-35次數(shù)是3,

55

故答案為：-2,3.

5

13.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)若代數(shù)式加(5鼠/-36)-(ka-b)(3a&-4a2)的值與匕

的取值無關(guān)，則常數(shù)k的值.

【分析】先根據(jù)單項式乘單項式、單項式乘多項式法則展開，再合并同類項，繼而根據(jù)

代數(shù)式的值與h的取值無關(guān)知對應(yīng)項的系數(shù)為0,據(jù)此求解即可.

［解答］解：原式=5履2%-3/-(3ka2h-4版3-3ab2+4a2b)

=5ka2h-3ab1-3