2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)53橢圓及其性質(zhì)理

PAGE課后限時集訓(xùn)53橢圓及其性質(zhì)建議用時：45分鐘一、選擇題1．(2019·北京高考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4bC．a(chǎn)＝2b D．3a＝4B[由題意，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，則eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b22．已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k＞0，,2k－1＞0，,2k－1＞2－k，))解得1＜k＜2.故選C.]3．橢圓C的一個焦點(diǎn)為F1(0,1)，并且經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(y2,3)＋eq\f(x2,2)＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1D[由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，且另一個焦點(diǎn)為F2(0，－1)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋1－12)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋1＋12)＝4.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.故選D.]4．以橢圓的兩個焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個不同的點(diǎn)，順次連接這四個點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率為()A．eq\r(3)－eq\r(2) B．eq\r(3)－1C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)B[設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，圓與橢圓交于A，B，C，D四個不同的點(diǎn)，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DF1))＝c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DF2))＝eq\r(3)c.由橢圓定義，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝eq\r(3)c＋c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1，故選B.]5．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12C[由橢圓的方程得a＝eq\r(3).設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).]二、填空題6．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為________．(－5,0)[∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，∴圓心坐標(biāo)為(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝5.∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．]7．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為____________．(3，eq\r(15))[不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c＝eq\r(36－20)＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋42＋y2＝64，,x＞0，,y＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15)，))又因為點(diǎn)M在第一象限，所以M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15))．]8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足eq\o(MF,\s\up8(→))1·eq\o(MF,\s\up8(→))2＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[滿足eq\o(MF,\s\up8(→))1·eq\o(MF,\s\up8(→))2＝0的點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，若其總在橢圓內(nèi)部，則有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜eq\f(1,2)，又因為0＜e＜1，所以0＜e＜eq\f(\r(2),2).]三、解答題9．已知點(diǎn)P是圓F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一點(diǎn)(F1是圓心)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對稱．線段PF2的垂直平分線m分別與PF1，PF2交于M，N兩點(diǎn)．求點(diǎn)M的軌跡C的方程．[解]由題意得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，圓F1的半徑為4，且|MF2|＝|MP|，從而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸長為4，焦距為2，則短半軸長為eq\r(3)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.10．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．[解](1)連接PF1(圖略)，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16， ①x2＋y2＝c2， ②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(16,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).當(dāng)b＝4，a≥4eq\r(2)時，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b＝4，a的取值范圍為[4eq\r(2)，＋∞)．1．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝()A．4 B．8C．12 D．16B[設(shè)MN的中點(diǎn)為D，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如圖，連接DF1，DF2，因為F1是MA的中點(diǎn)，D是MN的中點(diǎn)，所以F1D是△MAN的中位線，則|DF1|＝eq\f(1,2)|AN|，同理|DF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因為D在橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.]2.2016年1月14日，國防科工局宣布，“嫦娥四號”任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2)；④c1a2>a1c2.其中正確式子的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④D[觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，eq\f(a1－c1,c1)<eq\f(a2－c2,c2)，即eq\f(a1,c1)<eq\f(a2,c2)，從而c1a2>a1c2，eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)，即④式正確，③式不正確．故選D.]3．(2019·三明模擬)已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3,0)和頂點(diǎn)B(3,0)，頂點(diǎn)C在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，則eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝________.3[由橢圓方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，得長軸長2a＝10，短軸長2b＝8，焦距2c＝6，則頂點(diǎn)A，B為橢圓的兩個焦點(diǎn)．在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，由正弦正理可得，eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝eq\f(5|AB|,|BC|＋|AC|)＝eq\f(5×6,10)＝3.]4．(2109·山西太原一模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，A，B分別是其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，且△PF1F2的周長為6，若△PF1F2面積的最大值為eq\r(3).(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個不同的點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上．[解](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2c＝6，,\f(1,2)×2bc＝\r(3)，,a2＝b2＋c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,b＝\r(3)，,a＝2，))∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線MN的方程為x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(6m,4＋3m2)，y1y2＝－eq\f(9,4＋3m2)，∴my1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，∵直線AM的方程為y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直線BN的方程為y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，∴eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，∴eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(my1y2＋3y2,my1y2－y1)＝3，∴x＝4，∴直線AM與BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．1．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1

B[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a又∵|AF1|＋|AF2|＝2a∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖．不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up8(→))＝2eq\o(F2B,\s\up8(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由點(diǎn)B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.]2．如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面