福建省莆田市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期返?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年度高二下學(xué)期返校考試卷2024年2月25日考試范圍：選擇性必修一、二；考試時間：120分鐘；命題人：數(shù)學(xué)李注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2、請將答案正確填寫在答題卡上．第I卷（選擇題）一、單選題1.若圓上至少有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值不可能是（）A.2 B.0C.1 D.3【答案】D【解析】【分析】如圖所示：當(dāng)直線即為直線時，圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離均為，若圓上至少有三個不同的點(diǎn)到直線（即直線）的距離為，則只需圓心到直線的距離，進(jìn)一步通過運(yùn)算即可得解.【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑為，要使條件成立，設(shè)圓心到直線的距離為，則只需要，即，所以的取值不可能是3.故選：D.2.如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)周長最小時，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，有，即此時周長最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時周長最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.3.已知向量，，且．若點(diǎn)的軌跡過定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0，得出軌跡方程即可求出軌跡過定點(diǎn).【詳解】，，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，顯然不論取何值，總有滿足方程，即點(diǎn)的軌跡過定點(diǎn)，故選：A4.已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，轉(zhuǎn)化為，再由求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故選：D5.已知為雙曲線的焦點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，且，則的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合通徑長得，得出關(guān)系求得即得漸近線方程．【詳解】因軸，所以，所以，，，，所以，漸近線方程為．故選：A．6.已知圓為圓上兩個動點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，，，當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動時，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先確定點(diǎn)是在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動時，始終有為銳角，可知點(diǎn)應(yīng)在以的中點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求得答案.【詳解】連接,則,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且,因?yàn)楫?dāng)A，B在圓上運(yùn)動時，始終有為銳角，所以以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相離，故，解得或，即，故選:A.7.已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是的中點(diǎn)，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)定理有，再根據(jù)線段之間的關(guān)系建立不等式可求解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)椋?，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：A．8.若函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化為與和共有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】因?yàn)椋圆皇堑牧泓c(diǎn)，當(dāng)時，令，得，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且當(dāng)時，，如圖所示，所以當(dāng)時，與的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)，此時函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.二、多選題9.設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（）A.可能將的周長平分B.若圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為C.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積最大值為2D.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圓心在直線上判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)三角形面積公式判斷C，根據(jù)幾何法求出點(diǎn)M的軌跡方程即可判斷D.【詳解】對于，若直線將圓的周長平分，則直線過原點(diǎn)，此時直線的斜率不存在，錯誤；對于B，若圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對于C，，當(dāng)時，的面積有最大值2，C正確；對于，易知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由，解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，D錯誤.故選：BC.10.雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.雙曲線C的離心率為B.雙曲線與雙曲線C的漸近線相同C.若，則的面積為D.的最小值為【答案】ABCD【解析】【分析】求出雙曲線的離心率即可判斷；求出雙曲線的漸近線方程即可判斷；結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.【詳解】：雙曲線中，，得，故正確；：雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，故正確；：若，因?yàn)榈綕u近線的距離，即，所以，所以的面積為，故正確；：的最小值為F到漸近線的距離，即，故正確.故選：ABCD11.若為拋物線上的動點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，直線：，則下列說法正確的有（）A.的最小值為4B.點(diǎn)到直線和軸的距離之和的最小值為C.點(diǎn)到直線的距離的最小值為1D.過，兩點(diǎn)的直線與拋物線相交的弦長為8【答案】BD【解析】【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合思想，可判斷AB選項；利用點(diǎn)到直線的距離公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦的弦長公式，可判斷D．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程.A．如圖，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，則.則有，即的最小值為5，故A錯.B．點(diǎn)到軸的距離，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以.易知的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故的最小值為，所以的最小值為，故B正確.C．設(shè)，則點(diǎn)到直線距離.因此當(dāng)時，有最小值，故C錯.D．由題得直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，，由得，所以，∴，故D正確故選：BD.12.在棱長為2的正方體中，在線段上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），下列說法正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為C.的最小值為D.以為球心，為半徑的球體積最小時，被正方形截得的弧長是【答案】BCD【解析】【分析】方法一：AB選項，利用空間向量的方法判斷；C選項，將的長度轉(zhuǎn)化為與，距離之和，然后根據(jù)幾何性質(zhì)判斷；D選項，利用函數(shù)的性質(zhì)得到時最小，然后根據(jù)球的性質(zhì)求弧長即可；方法二：A選項，根據(jù)三垂線定理判斷；B選項，利用空間向量的方法判斷；C選項，將轉(zhuǎn)化為平面上的長度，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可；D選項，根據(jù)題意得到球半徑最小值為到的距離，然后根據(jù)球的性質(zhì)求弧長.【詳解】方法一：如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，則，對于A，因?yàn)闉檎襟w，所以，由三垂線定理得，，因?yàn)?，平面，所以平面，是平面一個法向量，假設(shè)面，則與共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯．對于B，若存在，與所成角為，則或，或，，不滿足條件，假設(shè)不成立，B對．對于C，．表示與，距離之和，，，C對．對于D，，時最小，，，設(shè)截面小圓的圓心為，半徑為，則平面，所以，，因?yàn)?，所以球與面為圓心，為半徑的圓弧，因?yàn)?，所以在正方形?nèi)軌跡為半圓，弧長，選項D正確；方法二：對于A，若平面，則，由三垂線定理知為中點(diǎn)，但此時不與垂直，故不存在這樣的，A不正確；對于B，同法一，B正確；對于C，可將面與面攤平，，C正確．對于D，球半徑最小值為到的距離，，，在面上的射影為，截面圓半徑，過作分別交，于，，，球被正方體截得的弧長是半圓弧，長為，D正確，故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題13.設(shè)不同直線，，則“”是“”的________條件.【答案】充要【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的判定推理作答.【詳解】當(dāng)時，兩直線方程為，，有，因此，當(dāng)直線時，顯然，于是，解得，所以“”是“”的充要條件.故答案為：充要14.已知數(shù)列的前項和為，滿足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合與之間關(guān)系整理可得，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，則，整理得，且，可知數(shù)列是以首項為3，公比為2的等比數(shù)列，可得，所以.故答案為：.15.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為．①軌跡的方程為.②在軸上存在異于的兩點(diǎn)，使得.③當(dāng)三點(diǎn)不共線時，射線是的角平分線.④在上存在點(diǎn)，使得.以上說法正確的序號是______．【答案】②③【解析】【分析】利用求軌跡方程的方法確定軌跡的方程可判斷①；設(shè)，，由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合軌跡的方程可判斷②；由角平分線的定義可判斷③；設(shè)，由求出點(diǎn)的軌跡方程與聯(lián)立，可判斷④.【詳解】對于①，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，設(shè)，則，化簡得，即，所以①錯誤；對于②，假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得，設(shè)，，則，化簡得，由軌跡的方程為，代入上式有，可得，，聯(lián)立解得，或，（舍去），所以②正確；對于③，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時，，可得射線是角平分線，所以③正確；對于④，若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，則，化簡得，與聯(lián)立，得，解得，代入有，無實(shí)數(shù)解，則方程組無實(shí)數(shù)解，故不存在點(diǎn)，所以④錯誤．故答案為：②③．16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式（e是自然對數(shù)的底數(shù)）在R上恒成立，則a的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，通過直線與的圖象相切時的臨界值，即可求解的取值范圍.【詳解】在上恒成立，等價于的圖象恒在直線的上方，，兩邊平方后得，所以的圖象是以為圓心，半徑為1，并且在軸的下半部分的半圓，，，得，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，如圖，畫出函數(shù)的圖象：直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時，設(shè)切點(diǎn)，，可得，由，解得：，則切線的斜率為2，當(dāng)直線與，相切時，直線與半圓相切，由，解得：，由圖可知，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象，并會根據(jù)直線與曲線相切，求直線的斜率.四、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式，（2）設(shè)數(shù)列滿足（），求數(shù)列的前項和為【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用與的關(guān)系，分和討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和為.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，解得：，當(dāng)時，則有，兩式相減可得：，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由可得：，所以兩式相減可得：所以.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．18.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】【詳解】（解法1）（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所以，由底面為長方形，有，而，所以．而，所以．又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．而，所以平面．而，所以．又，，所以平面．由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為．（Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長與交于點(diǎn)，則是平面與平面的交線．由（Ⅰ）知，，所以．又因?yàn)榈酌?，所以．而，所以．故是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，，有，在Rt△PDB中,由,得,則,解得．所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，．（解法2）（Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，于是，即．又已知，而，所以．因,,則,所以．由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為．（Ⅱ）由，所以是平面的一個法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個法向量．若面與面所成二面角的大小為，則，解得．所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，．考點(diǎn)：四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角．19.已知函數(shù)在處取極大值，．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)在處取極大值,得到,計算即可.（2）移項構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求出最小值,即證明即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，又函?shù)在處取極大值，所以，所以．經(jīng)檢驗(yàn)時，,函數(shù)在上是單調(diào)遞增的,,函數(shù)在上是單調(diào)遞減的,故函數(shù)在處取極大值，所以．【小問2詳解】由（1）知，，故要證，即證．令，則，．令，,得到在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，使得，即所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以，即，即得證．20.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”，“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》，用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.“大衍數(shù)列”的前幾項分別是：0，2，4，8，12，18，24，…，且滿足其中.（1）求（用表示）；（2）設(shè)數(shù)列滿足：其中，是的前項的積，求證：，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，應(yīng)用累加法、等差數(shù)列前n項和公式求；（2）由（1）及遞推關(guān)系得，進(jìn)而得到通項公式，即得，則，利用導(dǎo)數(shù)證，放縮法即可證結(jié)論.【小問1詳解】，∴.【小問2詳解】由（1）知，，，而也滿足上式，故，∴且，故且，即，∴，則，令且，則，即在上遞減，所以，即在上恒成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，，即，，證畢.21.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．設(shè)