數(shù)學(xué)（選修1-2）課件5.2.2間接證明反證法

第5章推理與證明5．2

直接證明與間接證明5．2.2間接證明：反證法1．了解反證法是間接證明的一種基本方法．2．理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題．閱讀本節(jié)教材，完成下列問(wèn)題1．間接證明的含義間接證明不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的___________為假，或改證它的___________為真，以間接地達(dá)到目的，___________是間接證明的一種基本方法．反論題等價(jià)命題反證法2．反證法的概念一般地，先假設(shè)原命題的__________，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理，得出與已知事實(shí)相矛盾的結(jié)果，這個(gè)矛盾的結(jié)果說(shuō)明原命題結(jié)論的否定不成立，從而間接肯定了原命題結(jié)論成立，像這樣一種間接證法，稱為_(kāi)_________.3．反證法證題的一般步驟(1)__________；(2)__________；(3)__________.否定成立反證法反設(shè)歸謬結(jié)論用反證法證明命題“若p，則q”時(shí)，如果q的反論題為假，那么q即為真嗎？為什么？提示：q一定為真．因?yàn)槊}“若p，則q”與其否定命題一真一假．用反證法證明“方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是(

)A．至多有一個(gè)解 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至少有兩個(gè)解答案：C用反證法證明“否(肯)定式”命題

[互動(dòng)探究]

對(duì)本例(2)，請(qǐng)你利用反證法給出另一種證明．【點(diǎn)評(píng)】

(1)反設(shè)所得結(jié)論是推理的依據(jù)(即作為條件使用)．(2)用反證法證題時(shí)，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．(3)反證法證明“肯定”型命題適宜于結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究和掌握的命題；當(dāng)題目中含有“不可能”“都不”“沒(méi)有”等否定性詞語(yǔ)時(shí)，宜采用反證法證明．用反證法證明“唯一性”命題

求證：方程2x＝3有且只有一個(gè)根．證明：由2x＝3，得x＝log23，這說(shuō)明方程有一個(gè)根．下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的．假設(shè)方程2x＝3有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)．則2b1＝3,2b2＝3，兩式相除，得2b1－b2＝1.若b1－b2＞0，則2b1－b2＞1，這與2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2＜0，則2b1－b2＜1，這與2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2相矛盾．若方程的根多于兩個(gè)，同樣可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一個(gè)根．【點(diǎn)評(píng)】

(1)結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的“唯一”型命題，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，因此用反證法證明簡(jiǎn)單而又明了．(2)“有且只有”的含義有兩層．①存在性：本題中只需找到方程2x＝3的一個(gè)根即可．②唯一性：正面直接證明較為困難，故可采用反證法尋求矛盾，從而證明原命題的正確性．2．用反證法證明：過(guò)已知直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與已知直線a平行．證明：由兩條直線平行的定義和幾何圖形可知，過(guò)點(diǎn)A至少有一條直線與直線a平行．假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線b′與已知直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.由b∥a和平行公理，得b′∥b.這與假設(shè)b∩b′＝A矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立．用反證法證明“至多”或“至少”類命題【點(diǎn)評(píng)】

(1)用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標(biāo)明確．否定結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)常用的“原結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n－1個(gè)至少有n＋1個(gè)用反證法證題要把握三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的．(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，