高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 9.2 空間平面和直線方程

如果一非零向量垂直已知的法向量為9.2空間平面和直線方程9.2.1空間平面方程1.平面的點(diǎn)法式方程求該平面的方程.

且平面通過點(diǎn)設(shè)為平面上的任一點(diǎn),于一平面,

這向量就叫做該平面的法向量．必有平面的點(diǎn)法式方程其中法向量過已知點(diǎn)因所以解例1求過三點(diǎn)

的平面方程.設(shè)平面的法向量為

n=(A,B,C),則有因此解得所求平面方程為解取所求平面方程為即例1求過三點(diǎn)

的平面方程.平面的點(diǎn)法式方程是關(guān)于x,y,z

的一次方程,平面的一般方程因此,稱2.平面的一般方程任取該方程的一組解兩式相減,得反過來,所有三元一次方程都是一個平面.平面一般方程的幾種特殊情況:平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過

軸;平面平行于軸;平面平行于

坐標(biāo)面;類似地可討論

情形.類似地可討論

情形.代入后得到所求的平面方程為因?yàn)槠矫嫱ㄟ^點(diǎn)(4,-3,-1),解

因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^x軸,所以它的法向量垂直例2設(shè)平面過點(diǎn)

及

x軸,求其方程.因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn),所以D=0.于

x

軸.方程為By+Cz=0.可設(shè)法向量n=(0,B,C).

因此,所求的平面有-3B-C=0.設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得設(shè)平面與

x,y,z

三軸分別交于3.平面的截距式方程代入可得,注:當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,平面的截距式方程x軸上截距y軸上截距z軸上截距

且不過原點(diǎn)時,才有截距式方程.將此平面寫成截距式則該平面在x

軸、y

軸和z

軸解例3

求平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積.故所求的四面體的體積為上的截距分別為2、-3、6.定義兩平面法向量的夾角稱為兩平面的夾角.(通常取銳角或直角)4.兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式//兩平面垂直、平行的充要條件:取銳角定理9.4設(shè)平面的夾角為如果平面的圖形的面積為S,則這個圖形在平面內(nèi)的投影面積為外一點(diǎn),5.

點(diǎn)到平面的距離并作向量的距離公式為例4

兩平行平面

與

間距離為(),其中

的方程分別為:(A)1(B)(C)2(D)21A解∥定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般方程L(2)直線L的一般方程形式不是唯一的.8.2.2空間直線方程注:如果一非零向量平行于一條已知直線,//這個向量稱為這條直線的方向向量.直線L的方向數(shù).已知直線過點(diǎn)求此直線的方程.其方向向量為因?yàn)橹本€的對稱式方程令直線的參數(shù)方程故//故(點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式)對稱式方程的分母可以有一個或兩個為零.如對稱式方程為可寫成一般方程又如可寫成一般方程令直線的參數(shù)方程故先求直線上一定點(diǎn):于是得直線上的一定點(diǎn)取對稱式方程例5將化為對稱式方程和參數(shù)方程.因所求直線與兩平面的法向量都垂直.解則參數(shù)方程為解所求直線方程為·

M1·

M2例6求過兩點(diǎn)M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直線方程.向量與直線平行取定義兩直線的方向向量的夾角

(通常指銳角)叫做兩直線的夾角.直線直線^兩直線的夾角公式兩直線的位置關(guān)系://