高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 10.7 多元函數(shù)的極值

10.7.1無(wú)條件極值10.7多元函數(shù)的極值定義則稱點(diǎn)X0為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)),稱為函數(shù)的極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn),如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于X0的任意一點(diǎn)X,都有設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)有定義,

簡(jiǎn)單函數(shù)的極值是容易判斷的.在(0,0)點(diǎn)取極小值

(也是最小值).在(0,0)點(diǎn)取極大值

(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.旋轉(zhuǎn)拋物面下半錐面馬鞍面例函數(shù)例函數(shù)例函數(shù)證定理1(極值存在的必要條件)同理，因?yàn)楹瘮?shù)處取得極值,設(shè)函數(shù)處取得極值,且在該點(diǎn)處函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,則所以一元函數(shù)故由一元函數(shù)極值的必要條件知,必有推廣如果三元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為點(diǎn),均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)?如,點(diǎn)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).注:駐點(diǎn)具有定理2(極值存在的充分條件)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,時(shí),有極大值,時(shí),有極小值;(2)不是極值;(3)可能有極值,也可能無(wú)極值.設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi),且令說(shuō)明:但z(0,0)=0為極小值,在(0,0)點(diǎn)處均有對(duì)于函數(shù)與而u(0,0)=0不是極值.求函數(shù)極值的一般步驟:第一步:解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步:對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.再判定是否是極值.第三步:定出的符號(hào),例1求函數(shù)的極值.解令又在(0,0)處,

在(1,1)處,

故在(1,1)有極小值,得駐點(diǎn)故點(diǎn)(0,0)不是

的極值點(diǎn);解方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得得駐點(diǎn)方程組兩邊再分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),例2求由方程令確定的函數(shù)的極值.故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.所以,所以,解設(shè)x,y是兩個(gè)變量,通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得了x與y的一組例3

(最小二乘法)令數(shù)據(jù)是x的線性函數(shù),即如果猜測(cè)變量y試確定常數(shù)a,b,使得最小.解得得能在駐點(diǎn)處取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),但也可能是極值點(diǎn).如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,由極值的必要條件知,可微函數(shù)的極值只可在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)注:還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).并無(wú)其他條件.無(wú)條件極值:對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,條件極值:對(duì)自變量有附加條件的極值.10.7.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法得駐點(diǎn)解例4已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為由題意長(zhǎng)方體的體積為且長(zhǎng)方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)長(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),令上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值.

有時(shí)條件極值可通過(guò)將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介紹解決條件極值問(wèn)題的一般下,這樣做是有困難的,方法——拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:在條件要求函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中(x,y)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).其中

均為常數(shù),可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).下的極值.例如,求函數(shù)在條件先構(gòu)造函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法可推廣:或約束條件多于兩個(gè)的情況.自變量多于兩個(gè)解過(guò)

的切平面方程為

例5在第一卦限作橢球面的切平面,使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).令設(shè)為橢球面上一點(diǎn),則所圍四面體的體積

化簡(jiǎn)得

該切平面在三個(gè)軸上的截距分別為現(xiàn)只要求u的最大值.由在條件

下，求V的最小值,令

先構(gòu)造函數(shù)即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為

時(shí),四面體的體積最小解得唯一駐點(diǎn)其中最大者即為最大值,最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類(lèi)似,可利用函數(shù)的極值求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法:將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,解(1)求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)

因所以,函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值.(2)求函數(shù)在

D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.D例6求函數(shù)