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習(xí)題12.4(A)組1.計(jì)算下列第一類(lèi)曲面積分(1),其中為上半球面。解：下面考慮。曲面為上半球面，我們將其分為和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影區(qū)域相同，為由對(duì)稱(chēng)性則因此。(2),其中為錐面與平面所圍成區(qū)域的整個(gè)邊界曲面。解：將曲面分為和，其中為的平面，為錐面，則和在面上投影區(qū)域相同為于是。(3),其中為圓柱面介于及之間的部分()。解：我們將c分為和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影區(qū)域相同，為曲面面積微元為于是。(4),其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部。解：S在上的投影為方程為，于是(5),其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面。解：將S分為四個(gè)區(qū)域，分別是上的截面，為上的截面，于是在投影，方程是則。(6),其中為平面在第一卦限中的部分。解：S在平面上的投影區(qū)域?yàn)榉匠虨椋瑒t。2.求由半球面與旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的立體的整個(gè)表面的面積。解：。3.求球面被柱面截下部分的面積。解：S在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋€方程為或，由對(duì)稱(chēng)性得，則面積4.設(shè)拋物面殼的殼密度為，試求該殼的質(zhì)量。解：由題意知。5.求均勻曲面的重心坐標(biāo)。解：設(shè)均勻曲面的重心為，則由于曲面關(guān)于和面對(duì)稱(chēng)，故則，故重心坐標(biāo)為。(B)組1.當(dāng)是xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí),曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?解：設(shè)為對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，則。2.設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面,在點(diǎn)(x,y,z)處的面密度為(x,y,z),(1)用對(duì)面積的曲面積分表示這曲面對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;(2)對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;(3)求均勻圓錐面

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