工科數(shù)學(xué)分析 課件 8-5 重積分的換元法及含參變量的積分

第五節(jié)重積分的換元法及

含參變量的積分工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期重積分的換元法及含參變量的積分重積分的換元法含參變量的積分的連續(xù)性含參變量的積分的微分萊布尼茨公式小結(jié)0、重積分的換元法

注意：基本要求:變換后定限簡便，求積容易．(A).二重積分換元法（1）的面積元素

（2）的面積元素（1）柱面坐標(biāo)的體積元素（2）球面坐標(biāo)的體積元素(B).三重積分換元法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)（3）廣義球面坐標(biāo)的體積元素一、含參變量積分的連續(xù)性設(shè)函數(shù)是在矩形是變量在上的一個一元連續(xù)函數(shù),上的連續(xù)函數(shù).在上任意確定的一個值,于是從而積分存在,這個積分的值依賴于取定的值.當(dāng)?shù)闹蹈淖儠r,一般來說這個積分的值也跟著改變.這個積分確定一個定義在上的的函數(shù),

我們把它記作即這里變量在積分過程中是一個常量，通常稱它為參變量.uniformlycontinuous一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)的未必一致連續(xù)。圖像區(qū)別:

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，所以在閉區(qū)間上來講二者是一致的；在開區(qū)間連續(xù)的未必一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無限變陡的情況，連續(xù)的卻有可能出現(xiàn)，比如在（0，1）上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。一致連續(xù)，就是要求當(dāng)函數(shù)的自變量的改變很小時，其函數(shù)值的改變也很小，從而要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值不能太大——當(dāng)然只要有界即可。函數(shù)f(x)在[a,b]上一致連續(xù)的充分必要條件是在[a,b]上連續(xù)。函數(shù)f(x)在[a,b)上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在(a,b)上連續(xù)

且f(b-)存在。定理1

如果函數(shù)在矩形確定的函數(shù)在上也連續(xù).

上連續(xù)，那么由積分證設(shè)和是上的兩點，則就有于是由（1）式有由于在閉區(qū)域上連續(xù)，從而一致連續(xù).因此對于任意取定的,存在,使得對于內(nèi)的任意兩點及,只要它們之間的距離小于,即因為點與的距離等于,所以當(dāng)

時,就有所以在上連續(xù).定理得證注====即當(dāng)f(x,y)在區(qū)域R上連續(xù)時，求極限與求積分可以交換次序.注

既然函數(shù)在上連續(xù),那么它在上的積分存在,這個積分可以寫為右端積分式函數(shù)先對后對的二次積分.定理2

如果函數(shù)在矩形上連續(xù),則公式（2）也可寫成即定理刻畫了積分次序交換性.

我們在實際中還會遇到對于參變量的不同的值，積分限也不同的情形，這時積分限也是參變量的函數(shù).這樣,積分也是參變量的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).證設(shè)和是上的兩點，則則由積分（3）確定的函數(shù)在上也連續(xù).定理3

如果函數(shù)在矩形上連續(xù),又函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，并且當(dāng)時，上式右端最后一個積分的積分限不變，根據(jù)證明定理1時同樣的理由，這個積分趨于零.其中是在矩形上的最大值.根據(jù)與在上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，當(dāng)時，（4）式右端的前兩個積分都趨于零.于是，當(dāng)時，所以函數(shù)在上連續(xù).定理得證又下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)的微分問題.二、含參變量的函數(shù)的微分矩形上連續(xù),那么由積分(*)確定的函數(shù)在上可微分,并且定理4

如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在即求導(dǎo)與積分可交換次序.證因為為了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的連續(xù)性，我們有

小于某個正數(shù).因此其中，可小于任意給定的正數(shù)，只要這就是說綜上所述有令取上式的極限，即得公式（5）.##三、萊布尼茨公式則由積分(3)確定的函數(shù)在上可微，并且定理5

如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上可微，并且證由(4)式有當(dāng)時，上式右端的第一個積分的積分限

不變，則由定理4對于(8)右端的第二項，應(yīng)用積分中值定理得其中在與之間.當(dāng)時,類似地可證,當(dāng)時,因此，令，取(8)式的極限便得公式(7).##

公式(7)稱為萊布尼茨公式.于是應(yīng)用萊布尼茨公式，得例1設(shè)求解例2

求解

這里函數(shù)在矩形上連續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有例3

計算定積分

考慮含參變量的積分所確定的函數(shù)顯然，根據(jù)公式(5)得解把被積函數(shù)分解為部分分式,得到于是上式在