工科數(shù)學(xué)分析 課件 9-7 斯托克斯公式與旋度

第七節(jié)斯托克斯公式與旋度工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期斯托克斯（Stokes）公式與旋度斯托克斯公式(Kelvin–Stokestheorem,thefundamentaltheoremforcurls,curltheorem)簡(jiǎn)單的應(yīng)用物理意義

–環(huán)流量（環(huán)量-Circulation）與旋度（Curl）

小結(jié)一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分121根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證故有結(jié)論成立.另一種形式便于記憶形式Stokes公式的實(shí)質(zhì):

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有解則即空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件斯托克斯公式的應(yīng)用：空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件．問(wèn)題：空間曲線積分在什么條件下與路徑無(wú)關(guān)？注意：空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于沿任意閉曲線的曲線積分為零．用定積分表示為例3

驗(yàn)證曲線積分與路線無(wú)關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)解對(duì)于顯然有取如圖,從沿平行于x軸的直線到

所以曲線積分與路線無(wú)關(guān).現(xiàn)在求原函數(shù):再沿平行于y

軸的直線到最后沿平行于z軸的直線到

于是為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一

任意常數(shù).其中是一個(gè)常數(shù).若取三、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:利用Stokes公式,有2.旋度的定義類似于由向量場(chǎng)的通量可引出向量場(chǎng)在一點(diǎn)的通量密度（即散度）一樣，由向量場(chǎng)沿一閉曲線的環(huán)流量可引出向量場(chǎng)在一點(diǎn)的環(huán)量密度或旋度。旋度表示三維向量場(chǎng)對(duì)某一點(diǎn)

附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度，

其刻畫(huà)了向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。Calculus-JamesStewart/Bookshelves/Calculus/Calculus_(OpenStax)/16%3A_Vector_Calculus/16.07%3A_Stokes_Theorem

斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解釋:解由力學(xué)知道點(diǎn)的線速度為由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系.四、小結(jié)斯托克