寧夏長慶高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理

PAGEPAGE1寧夏長慶高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理第I卷一、選擇題（本大題共12個小題；每小題5分，共60分．在每小題給出的4個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.命題“若，則”的逆否命題是()A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2.“”是“”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3.命題“”的否定是()A．B．C．D．4.方程所表示的曲線形態(tài)是()A．B．C．D．5.已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．相切或相交6.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則()A．B．C．D．與斜交7.焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為，到左頂點(diǎn)的距離為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．B．C．D．8.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是()A．B．C．D．9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為()A．B．C．D．10.如圖所示，，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是，在其次、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形是矩形，則的離心率是()A．B．C．D．11.在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是()A．B．C．D．12.已知，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為()A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共4個小題；每小題5分，共20分）13.過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長是_____________．14.直線被拋物線截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________．15.如圖，在三棱柱中，全部棱長均為，且底面，則點(diǎn)到平面的距離為________．16.已知點(diǎn)是平行四邊形所在的平面外一點(diǎn)，假如，，．對于結(jié)論：①；②；③是平面的法向量；④∥.其中正確的是____________．三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)17.如圖，斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長．18.已知，．(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．選用合適的方法證明以下問題：(1)證明平面∥平面；(2)證明⊥面.20.設(shè)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是在軸上的投影，為上一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被截得的線段的長度．21.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，(1)證明：；(2)推斷并說明上是否存在點(diǎn)，使得∥平面.22.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個端點(diǎn)分別為、.(1)若為等邊三角形，求橢圓的方程；(2)若橢圓的短軸長為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可知，過橢圓焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長最短，弦長為＝＝.14.【答案】(3,2)【解析】設(shè)線段的端點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，將y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)．15.【答案】21【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A32,12,0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則C1A＝32,12,-1，C則有C1A·n=32則所求距離為C1B1·n16.【答案】①②③【解析】由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正確．17.【答案】解(1)由焦點(diǎn)F(1,0)，得＝1，解得p＝2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．直線l的方程為y＝(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立，得消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，所以線段AB的長為.18.【答案】解(1)由(x＋1)(x－5)≤0得－1≤x≤5，∵p是q的充分條件，∴解得m≥4.(2)當(dāng)m＝5時，q：－4≤x≤6，依據(jù)已知，p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，無解；當(dāng)p假q真時，解得－4≤x＜－1或5＜x≤6.綜上，實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－4，－1)∪(5,6].【答案】給出用向量方法的證明，此題用空間幾何的證明法則證明也可(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，設(shè)平面A1BD的法向量為m＝(x，y，z)，∵DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，∴∴取m＝(－1,1,1)，同理平面B1CD1的法向量為n＝(－1,1,1)，∴m∥n，∴平面A1BD∥平面B1CD1；(2)∵M(jìn)、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)，∴MN＝(－1,1,1)，∴MN∥m，∴MN⊥面A1BD.20.【答案】(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xp，yp)，由已知，得x因?yàn)镻在圓上，所以x2＋(54y)2即C的方程為x225＋(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為45的直線方程為y＝45(設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225即x2－3x－8＝0.則Δ＝(－3)2＋32＝41>0，x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以線段AB的長為|AB|＝x＝1+1625x1-x221.【答案】∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)．(1)不妨令P(0,0，t)，∴PF＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，∴PF·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，∴PF⊥DF，即PF⊥FD；(2)設(shè)平面PFD的法向量為n＝(x，y，z)，由n·PF=0,令z＝－1，解得x＝y(tǒng)＝t2，∴n＝t設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,0，m)，又E12,0,0，則EG要使EG∥平面PFD，只需EG·n＝0，即-12×t2＋0×t2＋m×1＝0，即解得m＝14t，從而滿意AG＝14AP的點(diǎn)22.【答案】(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2＋y2b依據(jù)題意知，a＝2b，a2－b2＝1，解得a2＝43，b2＝13，故橢圓C的方程為x2(2)易求得橢圓C的方程為x22＋y當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝1，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)．由y=kx-1,x22+y2=1,得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2