陜西省延安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

PAGE15-陜西省延安市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）一?選擇題1.數(shù)列，3，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.8項(xiàng) B.7項(xiàng) C.6項(xiàng) D.5項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知中數(shù)列的前若干項(xiàng)，我們可以歸納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程得到答案．【詳解】解：數(shù)列，3，，，，可化為：數(shù)列，，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，則，解得：，故是這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng).故選：C．點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中依據(jù)已知?dú)w納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是解答的關(guān)鍵．2.若數(shù)列滿意，則數(shù)列是（）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.搖擺數(shù)列【答案】A【解析】【分析】作差可得恒成立,所以是遞增數(shù)列.【詳解】，∴，即是遞增數(shù)列．故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性的推斷,作差(或作商)是推斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法,本題屬于基礎(chǔ)題.3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).4.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函數(shù)公式化簡可得．【詳解】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1+a7+a13=4π，∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)中特別角的正切函數(shù)值的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．5.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】分析】由于中，，利用正弦定理將等式兩邊的邊化成相應(yīng)角的正弦即可求解．【詳解】解：中，，由正弦定理得：，又，，又為三角形內(nèi)角，或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，著重考查正弦定理的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，2a7－a8＝5，則S11為A.110 B.55C.50 D.不能確定【答案】B【解析】∵數(shù)列{}為等差數(shù)列，2a7－a8＝5，∴,可得a6=5，∴S11===55．故選：B．7.下列四個(gè)命題：①任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式；②給定了一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就給定了這個(gè)數(shù)列；③給出了數(shù)列的有限項(xiàng)就可唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；④數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)其中正確的有（）A1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的表示方法以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義即可推斷各命題的真假．【詳解】對①，依據(jù)數(shù)列的表示方法可知，不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式，比如：的近似值構(gòu)成的數(shù)列，就沒有通項(xiàng)公式，所以①錯(cuò)誤；對②，依據(jù)數(shù)列的表示方法可知，②正確；對③，給出了數(shù)列的有限項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)公式形式不肯定唯一，比如：，其通項(xiàng)公式既可以寫成，也可以寫成，③錯(cuò)誤；對④，依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的概念可知，④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的表示方法以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義的理解，屬于基礎(chǔ)題．8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acosA＝bcosB，且c2＝a2+b2﹣ab，則△ABC的形態(tài)為（）A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角轉(zhuǎn)化acosA＝bcosB，逆用余弦定理轉(zhuǎn)化c2＝a2+b2﹣ab，即可推斷三角形形態(tài).【詳解】因?yàn)閍cosA＝bcosB，故可得，即，又，故可得或；又c2＝a2+b2﹣ab，即，又，故可得.綜上所述，.故三角形是等邊三角形.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理推斷三角形形態(tài)，屬綜合基礎(chǔ)題.9.已知的三個(gè)內(nèi)角之比為，那么對應(yīng)的三邊之比等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為,∴有,再由,可得，故三內(nèi)角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，很簡潔得出三個(gè)角的大小，利用正弦定理即出結(jié)果10.已知數(shù)列首項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)滿意，若△的三邊長分別為、、，則△最大角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，則可求出、、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值.【詳解】當(dāng)時(shí)滿意，則數(shù)列為首項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，則、、分別為，，，則最大角的余弦值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡潔.11.一艘海輪從A處動(dòng)身，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里【答案】A【解析】【分析】先確定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可干脆求解.【詳解】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.12.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力，屬于中檔題.二?填空題13.已知中，，那么________．【答案】45°【解析】【分析】干脆利用正弦定理即可得解．【詳解】解：由正弦定理可得：，即，又因?yàn)?，即，則，所以.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使取得最大為__________．【答案】6【解析】【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到第七項(xiàng)小于0，第六項(xiàng)和第七項(xiàng)的和大于0，得到第六項(xiàng)大于0，這樣前6項(xiàng)的和最大．【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，，，∴達(dá)到最大值時(shí)對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)的值為6．故答案為：6【點(diǎn)睛】一般地，假如為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______．【答案】；【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列滿意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進(jìn)而得到，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿意，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16.我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得的面積為________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理的邊角互化可得ac＝4，代入(a＋c)2＝12＋b2，從而可得答案.【詳解】依據(jù)正弦定理及a2sinC＝4sinA，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，所以＝＝.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的邊角互化，考查了考生的基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.三?解答題17.在△中，，.（1）求的值；（2）若，求△的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理可求得的值；（2）依據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出，再依據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求出，利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?；?）若，則，，，又由（1）可得，，．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題目.18.已知數(shù)列滿意，.（1）數(shù)列是否為等差數(shù)列？請說明理由；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，則可證明出是等差數(shù)列；（2）由（1）的結(jié)果，先寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后得出的通項(xiàng)公式.【詳解】解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：由可得：，即，依據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，則.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的推斷及證明，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題，較簡潔.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若成等差數(shù)列，的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡已知可得sinA=sin（A+），結(jié)合范圍A∈（0，π），即可計(jì)算求解A的值；（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得b+c=，利用三角形面積公式可求bc的值，進(jìn)而依據(jù)余弦定理即可解得a的值．【詳解】（1）∵asinB=bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．∵sinB≠0，∴sinA=sin（A+）．∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，∴A=．（2）∵b，a，c成等差數(shù)列，∴b+c=，∵△ABC的面積為2，可得：S△ABC=bcsinA=2，∴=2，解得bc=8，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，∴解得：a=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為，（1）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若公差，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的的公差為，由，，建立方程組求解；（2）由（1）可知，依據(jù)項(xiàng)的正負(fù)關(guān)系求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的的公差為由，得所以又得，即所以，或即或（2）當(dāng)公差時(shí)，1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿意，當(dāng)時(shí)，也滿意，所以數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，等差數(shù)列求和，以及含肯定值數(shù)列的前項(xiàng)的和，屬于中檔題.21.如圖，某報(bào)告廳座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從其次排起每一排都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位數(shù)；（2）某會(huì)議依據(jù)疫情防控的須要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前后排要錯(cuò)位就坐．那么該報(bào)告廳里最多可支配多少人同時(shí)參與會(huì)議？（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證支配的參會(huì)人數(shù)最多）【答案】（1）19；（2）95．【解析】【分析】（1）構(gòu)造等差數(shù)列，寫出首項(xiàng)及公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和求得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，得每排的座位數(shù)會(huì)構(gòu)成等差數(shù)列，其中首項(xiàng)，公差，所以第六排的座位數(shù)．（2）因?yàn)槊颗诺淖粩?shù)是奇數(shù)，為保證同時(shí)參會(huì)的人數(shù)最多，第一排應(yīng)坐5人，其次排應(yīng)坐6人，第三排應(yīng)坐7人，……，這樣，每排就坐的人數(shù)就構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以數(shù)列前10項(xiàng)和．故該報(bào)告廳里最多可支配95人同時(shí)參與會(huì)議．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列求