2024-2025版高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價(jià)三不等式素養(yǎng)評價(jià)檢測含解析新人教A版必修5

PAGE單元素養(yǎng)評價(jià)(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.實(shí)數(shù)a,b滿意a>b>0,則下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<1 B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE-QUOTE<QUOTE D.a2<ab【解析】選C.a>b>0,則QUOTE>1,QUOTE>QUOTE,a2>ab,所以A,B,D錯(cuò)誤.(QUOTE)2-(QUOTE-QUOTE)2=a-b-(a-2QUOTE+b)=-2b+2QUOTE>2QUOTE-2b=2b-2b=0,即(QUOTE)2>(QUOTE-QUOTE)2,即QUOTE>QUOTE-QUOTE.故C正確.2.若a,b,c∈R,a>b,則下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<QUOTE B.a|c|>b|c|C.QUOTE>QUOTE D.a2>b2【解析】選C.當(dāng)a>0,b<0時(shí)QUOTE>QUOTE,故A錯(cuò)誤;當(dāng)c=0時(shí),a|c|=b|c|=0,故B錯(cuò)誤;當(dāng)a=-b(b<0)時(shí),a2=b2,故D錯(cuò)誤;又a>b且c2+1>0,故QUOTE>QUOTE,故C正確.3.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},則M∩N為 ()A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7}B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7}C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x<-2或x≥3}【解析】選A.M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x>3或x<-2},所以M∩N={x|-4≤x<-2或3<x≤7}.4.函數(shù)f(x)=QUOTE則不等式xf(x)-x≤2的解集為 ()A.[-2,2] B.[-1,2]C.(1,2] D.[-2,-1]∪(1,2]【解析】選B.不等式等價(jià)于QUOTE或QUOTE解得-1≤x≤2.5.原點(diǎn)和點(diǎn)(2,-1)在直線x+y-a=0的兩側(cè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.0≤a≤1 B.0<a<1C.a=0或a=1 D.a<0或a>1【解析】選B.因?yàn)樵c(diǎn)和點(diǎn)(2,-1)在直線x+y-a=0的兩側(cè),所以(0+0-a)(2-1-a)<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1.6.已知x,y均為正實(shí)數(shù),且x+y=1,若QUOTE+QUOTE的最小值為9,則正實(shí)數(shù)a的值為 ()A.2 B.4 C.8 D.80【解析】選B.因?yàn)閤,y均為正實(shí)數(shù),且x+y=1,QUOTE+QUOTE的最小值為9,所以QUOTE+QUOTE=(x+y)QUOTE=1+a+QUOTE+QUOTE≥1+a+2QUOTE=1+a+2QUOTE=9,解得a=4.7.關(guān)于x,y的不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿意x0-2y0=3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-3) B.(-1,1)C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)【解析】選C.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖,若平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿意x0-2y0=3,則說明直線x-2y=3與區(qū)域有交點(diǎn),即點(diǎn)A(-m,m)位于直線x-2y=3的下方即可,則點(diǎn)A在區(qū)域x-2y-3>0內(nèi),即-m-2m-3>0,得m<-1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1).8.若直線l:x=my+n(n>4)過點(diǎn)A(4,4QUOTE),若可行域QUOTE的外接圓的面積為QUOTE,則實(shí)數(shù)n的值為 ()A.8 B.7 C.6 D.9【解析】選A.設(shè)l:x=my+n(n>4)與x軸的交點(diǎn)為B(n,0),因?yàn)橹本€l:x=my+n(n>0)過點(diǎn)A(4,4QUOTE),QUOTEx-y=0也過點(diǎn)A(4,4QUOTE),所以直線l:x=my+n(n>4)經(jīng)過第一、二、四象限,所以m<0.所以可行域?yàn)椤鱋AB,且∠AOB=60°,如圖,因?yàn)榭尚杏騋UOTE的外接圓的面積為QUOTE,所以△OAB外接圓的直徑為QUOTE.由正弦定理得:QUOTE=2R=QUOTE,所以AB=QUOTE×QUOTE=8.由兩點(diǎn)間的距離公式得:QUOTE=8,解得n=0(舍)或n=8.9.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿意x>QUOTE,y>2,不等式QUOTE+QUOTE≥m恒成立,則m的最大值為 ()A.2QUOTE B.4QUOTE C.8 D.16【解析】選D.設(shè)y-2=a,3x-2=b,(a>0,b>0),QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+QUOTE=8QUOTE≥16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2,即x=QUOTE,y=4時(shí)取等號.10.把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)三角形的面積之和的最小值為 ()A.QUOTEcm2 B.4cm2C.3QUOTEcm2 D.2QUOTEcm2【解析】選D.設(shè)其中一段細(xì)鐵絲長度為x,則面積和為QUOTE+QUOTE=QUOTE(x2-12x+72)=QUOTE[(x-6)2+36],當(dāng)x=6時(shí),取最小值2QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是.

【解析】依題意,一年購買貨物QUOTE次.所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為6×QUOTE+4x=4QUOTE.又0<x≤600.所以QUOTE+x≥2QUOTE=60.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=x時(shí),即x=30時(shí)等號成立.所以4QUOTE≥240,當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)等號成立.故要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是30.答案:3011.若正數(shù)x,y滿意x+3y=5xy,當(dāng)3x+4y取得最小值時(shí),x+2y的值為 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.5【解析】選B.因?yàn)閤+3y=5xy,x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE=1,所以3x+4y=(3x+4y)QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE×3≥QUOTE+2QUOTE=5,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=2y=1時(shí)取等號,x+2y的值為2.12.已知x,y都是正實(shí)數(shù),則QUOTE+QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閤,y都是正實(shí)數(shù),則QUOTE+QUOTE=QUOTE=1+QUOTE=1+QUOTE≤QUOTE.當(dāng)y=2x時(shí)取等號,所以QUOTE+QUOTE的最大值為QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)13.不等式QUOTE≤0的解集為.

【解析】原不等式等價(jià)于QUOTE即QUOTE即-QUOTE<x≤1.故原不等式的解集為QUOTE.答案:QUOTE14.設(shè)a,b,c∈(0,+∞),若(a+b+c)QUOTE≥k恒成立,則k的最大值是.

【解析】因?yàn)閍,b,c∈(0,+∞),所以(a+b+c)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b+c時(shí),等號成立.由條件可知k≤4,即k的最大值為4.答案:415.已知x,y滿意條件QUOTE則2x+y的最大值是,原點(diǎn)到點(diǎn)P(x,y)的距離的最小值是.

【解析】不等式組對應(yīng)的可行域如圖:當(dāng)動(dòng)直線2x+y-t=0過B時(shí),2x+y有最大值,又B(2,2),故2x+y的最大值為6.原點(diǎn)到P的距離的最小值即為|OA|=QUOTE=QUOTE.答案:6QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·北京高考)若x,y滿意QUOTE則y-x的最小值為,最大值為.

【解析】作出可行域如圖所示,令目標(biāo)函數(shù)z=y-x,即y=x+z,由QUOTE得(2,3),由QUOTE得(2,-1),分別代入目標(biāo)函數(shù)得z=1,-3,所以y-x的最小值為-3,最大值為1.答案:-3116.已知正實(shí)數(shù)x,y滿意x2+xy-2y2=1,則5x-2y的最小值為.

【解析】由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,由x+2y>0,可得x-y>0,5x-2y=(x+2y)+4(x-y)≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=4(x-y)時(shí)等號成立.答案:4【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a>0,b>0,且QUOTE+QUOTE=QUOTE,則ab的最小值是.

【解析】因?yàn)镼UOTE+QUOTE=QUOTE≥2QUOTE,所以ab≥2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2b=3a時(shí)取等號.因此ab的最小值是2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)設(shè)m為正實(shí)數(shù),若(x,y)QUOTE?{(x,y)|x2+y2≤25},求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】依據(jù)題意可知,直線mx+y=0的斜率為負(fù)值.不等式組所確定的區(qū)域如圖所示.因此只須要滿意QUOTE?0<m≤QUOTE.18.(12分)已知不等式ax2-3x+2<0的解集為A={x|1<x<b}.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)=(2a+b)x-QUOTE(x∈A)的最小值.【解析】(1)由題意知:QUOTE解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以A={x|1<x<2}.所以f(x)=4x+QUOTE(1<x<2),而x>0時(shí),4x+QUOTE≥2QUOTE=2×6=12.當(dāng)且僅當(dāng)4x=QUOTE,即x=QUOTE時(shí)取等號,且x=QUOTE∈A,所以f(x)的最小值為12.19.(12分)已知x,y滿意QUOTE(1)求z1=2x-y-1取得最值時(shí)的最優(yōu)解;(2)求z2=QUOTE的取值范圍;(3)若ax+y≥3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】畫出不等式組QUOTE所表示的可行域,如圖所示.其中,A(1,1),B(3,2),C(2,4).(1)將z1=2x-y-1變形為y=2x-z1-1,得到斜率為2,在y軸上的截距為-z1-1的一組平行直線,由圖可知,當(dāng)直線z1=2x-y-1經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí),在y軸上的截距-z1-1最小,即z1最大;當(dāng)直線z1=2x-y-1經(jīng)過可行域上的點(diǎn)C時(shí),在y軸上的截距-z1-1最大,即z1最小.所以z1=2x-y-1取得最值的最優(yōu)解為B(3,2),C(2,4).(2)z2=QUOTE=1+QUOTE.因?yàn)镼UOTE表示M(x,y)與P(2,-1)連線的斜率,又kPA=-2,kPB=3.所以由圖可知,QUOTE∈(-∞,-2]∪[3,+∞).所以z2的取值范圍是(-∞,-1]∪[4,+∞).(3)因?yàn)橹本€ax+y=3恒過定點(diǎn)(0,3),又kQA=-2.所以由圖可知,直線ax+y=3的斜率-a≤-2,得a≥2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).20.(12分)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,求所需租賃費(fèi)最少為多少元?【解析】設(shè)甲種設(shè)備須要生產(chǎn)x天,乙種設(shè)備須要生產(chǎn)y天,該公司所需租賃費(fèi)為z元,則z=200x+300y,A類產(chǎn)品(件)(≥50)B類產(chǎn)品(件)(≥140)租賃費(fèi)(元)甲設(shè)備510200乙設(shè)備620300則滿意的關(guān)系為QUOTE即QUOTE作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)z=200x+300y對應(yīng)的直線過兩直線QUOTE的交點(diǎn)(4,5)時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=200x+300y取得最小值為2300元.21.(12分)已知全集U=R,集合A={x|log2(11-x2)>1},B={x|x2-x-6>0},M={x|x2+bx+c≥0}.(1)求A∩B;(2)若UM=A∩B,求b,c的值;(3)若x2+bx+c=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求z=-2b+c的取值范圍.【解析】(1)由log2(11-x2)>1得QUOTE解得-3<x<3,所以A={x|-3<x<3}.由x2-x-6>0解得x<-2或x>3,所以B={x|x<-2或x>3}.所以A∩B={x|-3<x<-2}.(2)由(1)知,UM=A∩B={x|-3<x<-2},所以M={x|x≤-3或x≥-2}.所以-3和-2是方程x2