《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題典》備選1000題十四

題1103；

nx+InY

已知函數(shù)g(x)=——-(a是常數(shù))

x

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與最大值；

(2)設(shè)/(x)=x-g(x)在區(qū)間(O,e］(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為—1—InlO,求。的值

題1104：

已知函數(shù)f(x)=m\nx-e~x(m0)

(1)若函數(shù)/(幻是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)證明：對于任意的正實(shí)數(shù)a、b,當(dāng)a>b時(shí)，都有e?一0

b

題1105：

jr2

若對任意xeR,都有2sin(—x+—%)—Z，+2x+3)〈龍〃成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

63

A.(-oo」+l)5.(-1,-+3)C.(2+-,+oo)￡>.(1+—,+°o)

eee2e

題1106：

y

已知函數(shù)f(x)=ax3-bx-a(aeR,xeR),g(x)=——(xGR)

1-x

(1)如果x=二更是關(guān)于X的不等式/(x)<0的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2

(2)判斷g(x)在(—1,二更］和［業(yè)/)的單調(diào)性，并說明理由；

22

(3)證明：函數(shù)/(尤)存在零點(diǎn)4,使得。=4+/+/+…+q3”-2+…成立的充要條件是

2

1

題1107：已知函數(shù)/(x)=lnx+-ar*-9-(6r+l)x,(4ZeR)

(1)當(dāng)。之0時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

12

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，X￡(l,+^o)時(shí)，求證：xf(x)—%3+x2+InxH—>0

題1108：

已知函數(shù)/(x)=微尤2-2x+lnx

(1)函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)/(x)的圖象與它在x=l處的切線有且只有一個(gè)公共電，求。的值或者取值

范圍

題1109：

已知直線/：去一y—3=O(aKeR),曲線C的方程為y=e、

(1)當(dāng)a=2時(shí)，若直線/與曲線C相切，求左值；

2

(2)若直線/與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，且公共電橫坐標(biāo)為王,工2，證明：xlx2-?(xl+x2)<l-a

2

解：要證：x,x2-a(x,+x2)<1-a,即證：(玉一。乂馬一。)<1

x2

由題知：e'-k(xt-a)=0,e'-k(x2-a)=0,不妨設(shè)%>々

則有M=Ink(xt-a),x2=Ink(x2-a),

,、/..x.-alx.-a\x-a

作差有：(玉一公一(馬一0=比二1---<----------7---,

x2-a\x2-ayx,-a

整理有：(%—。)(工2-。)<1

題1110：

設(shè)f(x)=(ax2-x)lnx+a-l,記g(x)=/'(x)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)。>1時(shí)，證明：f(x)>0

題1111：

函數(shù)/(x)=若函數(shù)y=g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)

(1)求g(x)的解析式；

(2)若g(x)—工20對任意xe(OJ恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

a

題1112：

已知函數(shù)f(x)=\nx-x--,aeR

x

(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)當(dāng)(x)的極大值;

(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)”>1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(x-l)+x-l+-^-,若實(shí)數(shù)人滿足：b>a且

x-i

g(7^7)=g(a),g3)=2g(W^),求證：4<b<5

b-i2

題1113：

."皿,,、21nx+2

已知函數(shù)f(x)=--------.

e

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

27

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，都有/'(x)ln(x+l)<—+—

exe

第二問相當(dāng)于證明不等式：ln(X+1)-(l-xlnx-x)<l+-4>這與數(shù)學(xué)小丸子的解題筆記85頁【題6】

xe

題1114：已知函數(shù)/(x)=lnx-or-2,a&R,g(x)=-3x.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)對VNe,—1],Vx2e[4e,e],不等式2k"(—%)一時(shí)+2]+g'(%)—6<ln[g'(%)+3]恒成立，求實(shí)

數(shù)人的取值范圍.(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，g'(x)為函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù))

題1115：

已知函數(shù)/(》)=缶一2)/4底")一3一2比

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>(。一2)(6-1)-3。，求。的取值范圍

題1116：已知函數(shù)/(*)="Inx+ox-x3+a

(1)討論/(九)在(l,+o。)上的單調(diào)性；

(2)若Hr?！?0,+8),/(工0)>。----,求正數(shù)。的取值范圍

題1117：

已知函數(shù)/(x)=k\nx--,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7(I))處的切線與y軸垂直.

X

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意XG(0,1)u(1,e)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，都有,(a〉0)恒成立,求a的取值范圍.

x-1xa

題1118：

己知函數(shù)/(x)=lnx-,g(x)=xInx—n(x2-l)(m,nGR)

x+1

(1)若函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間(0,1)上均單調(diào)且單調(diào)性相反，求加，〃的取值范圍；

(2)若0<a<b,證明：\[ab<-----v"+"

\na-\nb2

題1119：

設(shè)函數(shù)f(x)=2ex-2ax+3a(aGR).

()1討論/(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，對于X/XER,都有/(x)N5a成立.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：l+L+1+...+，>ln(〃+l)(〃eN").

23n

題1120：

已知函數(shù)/(》)=/一X2一儂有兩個(gè)極值點(diǎn)和々(3<々)。

(1)求a的取值范圍；

(2)求證：ex'+eXi>4

題1121：

已知函數(shù)/(x)=(x+b)(ex-a),(b>0),在(一1,/(一1))處的切線方程為(e-l)x+緲+e-1=0

(1)求a,/?；

(2)若〃zWO,證明：/(x)>mx2+x

題1122：

已知函數(shù)/(x)=(x+份("-a),S>0),在(一1,/(—1))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-1=0

(1)求求

(2)若方程/(x)=機(jī)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉,々，且玉<々，證明：馬—%<1+'C二也

題1123：2018屆高三十四校聯(lián)考第二次模擬文科

3

已知函數(shù)/(x)=(x2-ax)Inx--x2+2ax

(1)求/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

2511

(2)證明：當(dāng)。=1時(shí)，f(x)<—x3——f+2x+—ln2+—(x>0)恒成立

題1124：

已知函數(shù)/。)=靖.

(1)討論函數(shù)gO)=/(ar)-x-a的單調(diào)性;

34

(2)證明：f(x)+InxH—>—1=.

34

構(gòu)造的函數(shù)g(x)=ln九+----4,

Xy/x

(G1)(4+3)

g'(x)=9，因此0<%<1送'(幻<0超(幻單調(diào)遞減；x>l,g)x)<0,g(x)單調(diào)遞增;

X

34

g(x)Ng⑴—/W+lnx+--7=>l-l=0

題1125：

設(shè)函數(shù)/(x)=e*-ax+a(aeR),其圖象與x軸交于4%,0),8(*2,0)兩點(diǎn)，且為<々

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：尸(衣己)<0(/'(幻為函數(shù))(x)的導(dǎo)函數(shù))

(3)設(shè)g(x)=3ax2-6a+2+。，若/(為+-*Ng(x)對xeR恒成立，求。的取值范圍

題1126：

32

已知三次函數(shù)/.(x)=qx，+6/2+qx+d,g(x)=a2x+b2x+c2x+d(a1a2*0),且/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，若三

次函數(shù)p(x)=3/(x)+g(x)和q{x}=/(x)-g(x)均為R上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，則

g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()個(gè)

AlB.2C.3D2或3

解：函數(shù)p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)—g(x)均為R上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn),

則必有：p'(x)=町(工一〃1)2,q，(x)=//(x-〃2尸，因此f'(x)=；［p'(x)+q'(x)］=；［町+丐(1-%)2］

由于/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則/(幻不單調(diào)，即/")必有兩個(gè)不等零點(diǎn)，因此明?<0,又因

g'(x)=；［p'(x)-3q'(x)］=；［叫(x-勺了一3m2(x-〃2了］，因此有g(shù)'(%)>0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)，

又因?yàn)間(x)為三次函數(shù)，則必有一個(gè)零點(diǎn)

題1127：

若對任意m,ne(0,+oo),不等式n2In--amn<Iz/z2-4磯恒成立，(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)。的取

n1

值范圍是一

…1、DZ1、?e2-2eln2—4、-2^In2-4

A(—00,-)A(一,+8)C.(-8,------------------)D(,+8)

ee2e2e

題1128：

若對于任意的[0,1],不等式〃優(yōu)恒成立，則一定有()

Jx+1

A.k>0,zn>-B.k>0,w<1-C.k>-,m>-D.k>-,m<\--

324322

解：構(gòu)造函數(shù)/(%)=/.+Zx—1,X>—1，

Vx+1

f\x)=t一一.1易知/'(x)單調(diào)遞減，則/—Lr--Uj

2j(x+l)324V2

題1129：

已知函數(shù)/(x)=(2x+2/(。)心(幻=小)+乎(1)2,心)=小)+心2+敘)+4

⑴求/(x)；

(2)求g(x)單調(diào)區(qū)間；

(3)若不等式4(x)20在［0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

題1130：

已知函數(shù)/(幻=/一2/—4x-7

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>2時(shí)，證明：對任意的x〉2且恒有：f(x)>f(a)+f\a)(x-a)

(3)設(shè)X。是函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a滿足：/(a)>0,￡=a—1經(jīng)，試探究實(shí)數(shù)a,/?,公的大小關(guān)

/'(a)

題1131：

設(shè)函數(shù)f(x)=Inx,g(x)=—(a>0)，h(x)=/(x)+g(尤)

x

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/z(x)的最小值；

(2)若〃(x)在(0,+8)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)證明：>“In.)'””!)

k=1k22

題1132：

-L1

當(dāng)x〉0,求證：(無+l)e+F>2

題1133：

已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'--x2+x+2

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

1a1

(2)證明：當(dāng)x21時(shí)，/(x)>———x

62

題1134；2016春瑯珊區(qū)校級模擬

b

已知函數(shù)/(%)=<2Inx——,g(x)=-3x+4

x

(1)若函數(shù)/(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線為2x—y—3=0,求a力的值；

(2)若人=一1,當(dāng)xNl時(shí)，/(x)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

234n+l1

(3)求證：對于一切正整數(shù)〃，恒有一--+——-—+——--+???+——-->-ln(2?+l)

4xl2-l4X22-14X32-14XH2-14

題1135：

若兩曲線y=f-l與y=alnx—1存在公切線，則正實(shí)數(shù)”的取值范圍是

題1136：2014秋紅山區(qū)期末

I222

證明:-------F------1■…H--------------~~^對于一切N*恒成立

1x33x5(2n-l)(2n+l)4〃+2

題1137：湖南省永州市2018屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題

bA2

x22

己知/(x)=2ae-'+2a]nx--,g(x)=+21nx-y+a.

(1)若對任意的實(shí)數(shù)a,恒有/(x)<g(x),求實(shí)數(shù)h的取值范圍；

(2)當(dāng)2<a<4,/?=—10a時(shí)，求證：方程/(x)=2e*T+e‘恒有兩解.

題1138：湖南省永州市2018屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題

已知函數(shù)/(x)=(l-2a)lnx+ar2+x.

(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

13

(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明：/(x)<-2aln(l——)+。一一

2a4。

題1139：陜西西安交大附中高三模擬

己知函數(shù)/(x)=cosx+ax2,當(dāng)x20時(shí)，使/(x)21恒成立。的最小值為攵，存在幾個(gè)正數(shù)p/i=1,2,…,〃)，

且Pl+〃2+,,?+，,=1，任取〃個(gè)自變量的值和工2,…，毛，記/=22]/(尤，)

/=|

(1)求女的值；

(2)如果。=攵，當(dāng)〃=2時(shí)，求證：J>/(PjXj+p2x2)

JT

⑶如果"h且存在〃個(gè)自變量的值g,…,力使PR+PV+M石,求J的最小值

解:/(X)=C0SX+(x22(2一當(dāng))(%一?)+亮+1,

P|/(為)+“2)+…+P,J。,,)之力化([一日)&_[)+(力Pi)R+1)=2+：

i=[3，3j-\1o，1oL

題1140：

已知實(shí)數(shù)滿足：，+>'=x+l

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)解關(guān)于x的不等式二i)-JE>ln=

e

題1141：

2

設(shè)函數(shù)/(x)=x-(a-2)x-a\nx關(guān)于x的方程,f(x)=c(c為常數(shù))有兩解x,,x2

(1)求證：xi+x2>a

(2)求證：x.x<—

?7~4

題1142：2016廣東佛山二模

2r

設(shè)函數(shù)/'(幻=辦+人—xlnx(a>0),g(x)=-5—，若直線y=e-x是曲線￡：y=/(x)的一條切線，其中e

x"+1

是自然對數(shù)的底數(shù)，且/⑴=1

(1)求a,b的值;

(2)設(shè)Ov/ivmvl,證明：/(m)>g(n)

題1143：

設(shè)函數(shù)/(x)=

x

(1)設(shè)〃(%)=/(尤)+(々+2)111]3￡7?),且〃(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)斗,工2，其中石￡(O,e],求力(％)—〃(w)的最

小值

(2)證明：Vin—^->--；—/7--3--(HGA^*)

念k+2j2(〃+l)(〃+2)

k]n2〉I2l(n+l)(n+2)n2—3n

k+2(〃+1)(〃+2)\(n+l)(n+2)V2j2(〃+l)(a+2)

題1144：湖南省長沙市雅禮中學(xué)2018屆高三月考(八)數(shù)學(xué)(理)

已知函數(shù)/(x)=x'+x；—x*；(尤>0,f為正有理數(shù))

(1)求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)xN2時(shí)，f(x)<0

解：(1)/'(X)=￡X‘T(1—/)+?(l—x')

當(dāng)0<x<1,/'(x)>O,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1,f(力<O,f(x)單調(diào)遞減;

(2)由(1)知，第二問即證明：2'+2'-2+1<0,2/+2;-2，+;<0<=2^-2Z+1<0

h(t)=2'-2'+i,〃⑺=2,ln2-(l+4)-2,ln2=2/ln2-(l+—-2,),求導(dǎo)即可

題1145：

已知X；In%=x；Inx2，月.王<々，若整數(shù)4="|(X]2+x；+2玉々)，求左的值

解：考慮證明:\<xi+x2<-^=(右鏈極值點(diǎn)偏移)

?2992-1x,X.Inx.Inx,xIn

-X>xL7

X,+x2>1<=x2->x2-x,<=2i-X<=——<—=------=-<=------<-------

-1x2xxIn%,xx-1x2-1

構(gòu)造函數(shù)/。)=弛￡(0<%<1),/'(幻=匕匚空>0

x-l(%-1)■*

題1146：2018年浙江嘉興4月?？?平中小包公眾號)

31?

已知數(shù)列｛4｝滿足4=不，an+i=(1+—)an+-(neN*)

(1)判斷數(shù)列｛4,｝的單調(diào)性；

(2)證明：^-<1+—+---(n>2)

a,,3"3n(n+l)

(3)證明：an<34e

題1147：

已知函數(shù)/(用=里二

X-1

(1)求方程八幻=爐的根的個(gè)數(shù)；

(2)證明:ae(0,l)時(shí)，方程.f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)根；

(3)證明：當(dāng)aw(2,+oo)時(shí)，方程/(幻=」一有且僅有兩個(gè)實(shí)根

X+1

5“、(x+1)Inx.(x+l)lnx,,

解：(3)/(x)=-----------4z,x>1,------------a<x-\r\-a,x=a-\

x-lx-l

(x+l)lnx〃

-----------a>lnx-a,x=e

x-l

八i八、(x+l)lnxx+11

0<x<1,f(x)=-----------a<------a,x=----,x=e

x—1xa-1

題1148：廣東省廣州市2018屆高三4月綜合測試(二模)數(shù)學(xué)理試題(已經(jīng)錄入)

已知函數(shù)—女

(1)若函數(shù)/(幻在R上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若a=l,證明：當(dāng)x>0,/*)>1—平—(野f

,2.In2In2

e>x--x+\-------(——)2

22

2149

x+x+——

-------225<1

e'

*21492.In22,In2In2x2

225222

題1149：

已知函數(shù)f(x)=e~x?(2nvc2+nx+l)

(1)若x=l和2是函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;

(2)若/(1)=1,則方程/(x)=l在(0,1)內(nèi)有解，求加的取值范圍

證明：其中aNlaxek'-lnx-Ax-1>0,主元轉(zhuǎn)換，求得最小值Ina

題1150：延安市2018屆高考模擬試題數(shù)學(xué)(理科)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2+a)x(aeR)

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若a>0,求證：對任意xNl,Inx+a(x2+x)>2(1-x)；

x

(3)設(shè)g(x)=2-2,若對任意給定的(0,2],關(guān)于x的方程/(x)=g(x0)在(0,e]上有兩個(gè)不同的實(shí)根,

e

求實(shí)數(shù)。的取值范圍(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

題1151：湖南省株洲市2018屆高三年級教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(二)理科數(shù)學(xué)

設(shè)函數(shù)/(x)="—ar+a,其中。實(shí)常數(shù)，其圖像與x軸交于A(%,0),8(々,0)兩點(diǎn)，且

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)朝=Jow，證明：/(/)<°

題1152：2017-2018屆東莞市高三畢業(yè)班第二次綜合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)

已知函數(shù)/(%)=ex-ax-a(a0),且/(x)的最小值為0

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)g(x)=(x-2)e'+/(x),若g(x)的極小值為求證：—2.5<M<—2

題1153：陜西省師大附中2018屆高三第五次?？嘉目?/p>

設(shè)函數(shù)/(x)=(ar+GR)

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(2)對任意xe[0,+oo),/(x)<x+l恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

題1154：新疆烏魯木齊市2018屆高三第三次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)理科卷

設(shè)〃(x)=xlnx,/(x)="x+")其中a為非零實(shí)數(shù)

x+a

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)的極值；

(2)是否存在。使得/(x)Wa恒成立？若存在，求a的取值范圍，若不存在，請說明理由

，/、a、a\nx

/(x)=ln(l+-)+------a

xx+a

、ci、aa

%e^-1

4ZInxa.2a+x1_

---->—,lnx<—x<-----,——x<a.x>-5a

x+a2525

題H55：湖南省株洲市2018屆高三年級教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(二)文科數(shù)學(xué)

已知函數(shù)/*)=a[nx+h(a?2,a70),函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線過點(diǎn)(3,0)

X

(1)求。/滿足的關(guān)系式，并討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)已知g(x)=x+—-a-2,若函數(shù)/⑴=/⑴+冢幻在①②上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

x

題1156：浙江省杭州市2018屆高三第二次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(已經(jīng)錄入)

Inr

已知函數(shù)/'(x)=-^匚

X+X

(1)求函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)；

(2)證明：/(%)<——(e為自然對數(shù)的底數(shù))

le+4e

題1157：浙江省臺州市2018年高三年級第一次(4月)調(diào)考數(shù)學(xué)試題

已知函數(shù)/(x)=2x3-3(m+l)x2+6mx,m&R

(1)若加=2,寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若對于任意的1,1],都有/(x)<4,求加的取值范圍

題1158：新疆烏魯木齊市2018屆高三第三次診斷性測驗(yàn)數(shù)學(xué)文科卷

設(shè)/z(x)=xlnx,f(x)=-蛆。，其中。>0,且awl

a

(1)若函數(shù)/(x)在(1,長。)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)是否存在。使得/(x)>-1恒成立？若存在，求。的取值范圍，若不存在，請說明理由

題1159：2018保加利亞不等式(已經(jīng)錄入)

證明：(|)

題1160：浙江省頂級名校沖刺卷數(shù)學(xué)試題(一)(已經(jīng)錄入)

已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)47ae“在[a,+8)上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

題1161：浙江省頂級名校沖刺卷數(shù)學(xué)試題(二)(已經(jīng)錄入)

.石(1一2%)2

已知函數(shù)/(X)=--------(X>0)

e

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)xc(0,+8)時(shí)，(4r―12x+1)(1-2x)>x+2)

題1162：浙江省頂級名校沖刺卷數(shù)學(xué)試題(三)

已知函數(shù)/(x)=xlnx

(1)若直線/過點(diǎn)(0,—1),并且與曲線y=/(x)相切，求直線/的方程；

x2

(2)證明：/(%)>------

e'e

題1162：浙江省頂級名校沖刺卷數(shù)學(xué)試題(五)

2r+,

已知函數(shù)/(無)=('x--e—

x+l

(1)求/'(X)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線的斜率；

(2)求/(%)在區(qū)間［0,3］上的最大值和最小值

題1163：浙江省頂級名校沖刺卷數(shù)學(xué)試題(六)

、△r/\_2x,、_y/15-x2

設(shè)/(x)=，/,，g(x)=---7=-

6-1V2

(1)求〃x)=g(x)的解集;

(2)設(shè)x>0,y>0,/(%)<y<g(x),當(dāng)變動時(shí)，求x+y的最小值

題1164：

，1

設(shè)函數(shù)/(尤)=/+==,%€[0,1],證明:

(1)/(x)>x2-^x+l

⑵金"年

題H65：廣東省廣州市2018屆高三4月綜合測試(二模)數(shù)學(xué)文試題

已知函數(shù)f(x)=a(x-l)-\nx

(1)若函數(shù)/(x)的極小值不大于上對任意a＞0恒成立，求左的取值范圍;

(2)證明：V〃eN*,(1+3)(1+最)(1+最)…(1+合)＜02(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

題1166：山西省孝義市2018屆高三下學(xué)期一?？荚?yán)砜茢?shù)學(xué)

已知函數(shù)/(%)=minx.

(1)討論函數(shù)/(幻=/(#+工-1的單調(diào)性；

X

(2)定義：“對于在區(qū)域。上有定義的函數(shù)y=/(x)和y=g(x),若滿足/(x)Wg(x)恒成立，則稱曲線

r

y=g(x)為曲線y=/(x)在區(qū)域。上的緊鄰曲線”.試問曲線y=/(x+l)與曲線y=——是否存在相同的緊

x+1

鄰直線，若存在，請求出實(shí)數(shù)加的值；若不存在，請說明理由.

題1167：

23

x%1

已知/(x)=ln(x+1)——..-,證明，當(dāng)xc[0,1]時(shí)，f(x)<—

題1168：

已知函數(shù)f(x)=(x--)ex

x

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(幻的圖象在x=l處的切線方程；

(2)求證：當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)/(幻有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)

題1169：

設(shè)實(shí)數(shù)機(jī)＞0,若對任意的xNe,若不等式/inx-me；20恒成立，則加的最大值為()

1e

A-B.-C.2eD.e

e3

m

解：令X=e,則有/一硬e20,

o—m―m//?一m

令g(a)=ee"g\m)=-ee----ee<0,g(zn)單調(diào)遞減，而g(e)=0,因此機(jī)<e,

當(dāng)m二e時(shí)，下證明：x2Inx-eex>0,即證：x\nx>ex-\nex,

ee

令/(x)=xlnx,/'(幻=1+1!1%>0,/(%)單調(diào)遞增，又因?yàn)閤Ne*,因此有/(x)2/(e*),因此加,皿=

題1170：

已知函數(shù)/(x)=lnx-^ax2+x,aeR

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的最值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)/(x)的極值大于0,若存在，求。的取值范圍；若不存在，請說明理由；

題1171：)

已知函數(shù)/(x)=ex+mx-\

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線/(幻在點(diǎn)(0,0)處的切線垂直于直線y=-x+2,求證：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)-21nx>3-21n2

題1172：

已知函數(shù)/(x)=(x+1)/—萬d一火(ae穴)在(0,/(0))處的切線與x軸平行

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=(e*+加一2)x-；d+〃，若VxeR,不等式/(x)Ng(x)恒成立，求2〃z+〃的最大值

題1173：

不等式2e“'+G：2+X—_LN()對任意xe/?恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

a

2

解：若Q<0,此時(shí)/(I一一)<0不符合題意，因此有。>0,

a

由題2+(公2+X-L)20,令/?(*)=2+邛?(依2+X—J_),則/'(x)=e-G(1+ax)[ax-2)

aa

11?2

當(dāng)x<——J'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；一一<xv-J'(x)>0J(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xN—"(x)>2>0

aaaa

故只需/(—L)NO,解得。之芻

a2

題1174：

ex

已知函數(shù)/(x)=----,g(x)=ex

x

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(l,e—1)處的切線方程；

九1

(2)求正實(shí)數(shù)租,〃滿足/(〃?)=g("),求證；一>一

m2

題1175：

1,_

已知函數(shù)/(x)=e"-］廠一辦有兩極值點(diǎn)斗工2(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：y(x,)+/(x2)>2

解：(1)f\x)-e'-x-a,令g(x)=e*-尤-a,由題知g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

g'(x)=e'-1，

當(dāng)x<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增

因此必有當(dāng)g(0)<0,即a>l,此時(shí)g(-a)>0,g(a)>0,

不妨設(shè)％<W，因此*e(—a,0)使得g(%)=0；五2e(0,a)使得g(z)=0,符合題意

綜上：ae(l,+oo)

(2)由(1)知當(dāng)x<X|J'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；％<x<0,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

則/(%)2./■(—/)，要證/(內(nèi))+/(電)>2,可證/(—々)+/(%)>2，即證：*+e』-x；>2

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=ex+e~x-x1{x>0),h\x)=ex-e~x-lx,

令e(x)=h'(x)=ex-e~x-2x,cp\x)=ex+e~x-2>2^ex-e~x-2=0,

奴x)單調(diào)遞增，°(x)>°(0)=0,即〃'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，h(x)>h(O)=2,原不等式成立

題1176：

已知函數(shù)f(x)=(x-a)2Inx(a>0)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，判斷/(x)圖象與其在(1,7(I))處的切線公共點(diǎn)個(gè)數(shù);

p5

(2)若對任意恒成立，求”的取值范圍(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

(x-l)2

解：(1)當(dāng)a=]/'(x)=2(x_l)lnx+'),因此/'(1)=0,又因/(1)=0,

x

則/(X)在(1,0)處的切線方程為：y=0,%>1,/(%)>0;x<1,/(%)<0,又因八1)=0,

故/(%)圖象與其在(1,/(1))處的切線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

(2)由題必有/(學(xué)《即(烈嗚)？々，解得0<。42五，

下證明當(dāng)0<。42〃時(shí)，題目成立，只需研究xe(l,*a]情況(若不然/(x)W0<S)

此時(shí)只需證：,一。|<J----ux+J-------a20,x-J------

11V2InxV21nx721nx

①x+J---a>x-F\-^r—2y[e=x+--2yfe>0

V21nx1x2x

憶

與1~e-Ieeae2y[e

②X』a--45ua=1——4f—<0

721nx45I0434J5五

V4