基本計(jì)數(shù)原理和排列組合概念復(fù)習(xí)及專題訓(xùn)練含答案

優(yōu)秀教案歡迎下載優(yōu)秀教案歡迎下載優(yōu)秀教案歡迎下載第一章計(jì)數(shù)原理———基本計(jì)數(shù)原理和排列組合（概念篇）概念回顧：（一）兩個(gè)原理.1.加法原理每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)2.乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同3.可以有重復(fù)元素的排列.從個(gè)不同元素中，每次取出個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第位上選取元素的方法都是個(gè)，所以從個(gè)不同元素中，每次取出個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)例如：件物品放入個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？（解：種）（二）排列組合1、排列（1）排列數(shù)的計(jì)算：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，稱為從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.（2）排列數(shù)公式：注意：規(guī)定注：含有可重元素的排列問題對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集有個(gè)不同元素其中限重復(fù)數(shù)為，且,則的排列個(gè)數(shù)等于.例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).2、組合（1）組合數(shù)的計(jì)算：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示。（2）排列數(shù)公式：：規(guī)定（3）兩個(gè)公式：①②二、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）（A）24個(gè)（B）30個(gè)（C）40個(gè)（D）60個(gè)2．甲、乙、丙、丁四種不同的種子，在三塊不同土地上試種，其中種子甲必須試種，那么不同的試種方法共有（）（A）12種（B）18種（C）24種（D）96種3．某天上午要排語文、數(shù)學(xué)、體育、計(jì)算機(jī)四節(jié)課，其中體育不排在第一節(jié)，那么這天上午課程表的不同排法共有（）（A）6種（B）9種（C）18種（D）24種4．由0，l，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，奇數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)之比為（）（A）l：l（B）2：3（C）12：13（D）21：235．由0，l，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第86個(gè)數(shù)是（）（A）42031（B）42103（C）42130（D）430216．若直線方程的系數(shù)可以從0，1，2，3，6，7六個(gè)數(shù)中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是（）（A）一2（B）（C）+2（D）－27．從這五個(gè)元素中任取四個(gè)排成一列，不排在第二的不同排法有（）（A）（B）（C）（D）8.三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？（5）如果三個(gè)女生站在前排，五個(gè)男生站在后排，有多少種不同的排法？9.6個(gè)人站一排，甲不在排頭，共有種不同排法．10.6個(gè)人站一排，甲不在排頭，乙不在排尾，共有種不同排法．11.五男二女排成一排，若男生甲必須排在排頭或排尾，二女必須排在一起，不同的排法共有種．三、解題方法及訓(xùn)練：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：1、特殊優(yōu)先法：對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有________個(gè)（30個(gè)）2、插空法：解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決。例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是______(答案:3600)3、捆綁法：相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列。例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是________種（答案：240）4、排除法：從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法排列組合應(yīng)用題往往和數(shù)學(xué)其他章節(jié)某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍。例如：從集合中任取3個(gè)元素分別作為直線方程中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條（答案：30）5、剪截法（隔板法）：個(gè)相同小球放入個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于個(gè)相同小球串成一串從間隙里選個(gè)結(jié)點(diǎn)剪成段（插入塊隔板），有種方法練一練：例1求不同的排法種數(shù)：（1）6男2女排成一排，2女相鄰；（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰；（3）4男4女排成一排，同性者相鄰；（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰．解：（1）是“相鄰”問題，用捆綁法解決：（2）是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解．6男先排實(shí)位，再在7個(gè)空位中排2女，即用插孔法解決：另法：用捆綁與剔除相結(jié)合：（3）是“相鄰”問題，應(yīng)先捆綁后排位：（4）是“不相鄰”問題，可以用插空法直接求解:真題訓(xùn)練：20XX年一、選擇題1.（2009廣東卷理）20XX年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.4.（2009北京卷文）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】本題主要考查排列組合知識(shí)以及分步計(jì)數(shù)原理知識(shí).屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.2和4排在末位時(shí)，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.故選C.6．（2009北京卷理）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識(shí)以及分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理知識(shí).屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時(shí)，有（個(gè)），當(dāng)0不排在末位時(shí)，有（個(gè)），于是由分類計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.故選B.7.（2009全國(guó)卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（A）6種（B）12種（C）24種（D）30種答案：C解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運(yùn)用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種。8.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法;(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D10.(2009湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為【答案】C【解析】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有種，所以種數(shù)是12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時(shí)共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。13.（2009全國(guó)卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A.6種B.12種C.30種D.36種解：用間接法即可.種.故選C14.（2009遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（A）70種（B）80種（C）100種（D）140種【解析】直接法：一男兩女,有C51C42＝5×6＝30種,兩男一女,有C52C41＝10×4＝40種,共計(jì)70種間接法：任意選取C93＝84種,其中都是男醫(yī)生有C53＝10種,都是女醫(yī)生有C41＝4種,于是符合條件的有84－10－4＝70種.【答案】A15.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有A.120種B.96種C.60種D.48種【答案】C【解析】5人中選4人則有種，周五一人有種，周六兩人則有，周日則有種，故共有××=60種,故選C16.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會(huì)，其中甲企業(yè)有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【B】A．14B．16C．20D．48解:由間接法得，故選B.17.（2009全國(guó)卷Ⅰ文）甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)，若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（A）150種（B）180種（C）300種（D）345種【解析】本小題考查分類計(jì)算原理、分步計(jì)數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。解：由題共有，故選擇D。18.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時(shí)共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。20.（2009陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(A)432(B)288(C)216(D)108答案:C.解析:首先個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個(gè)中選擇一個(gè)有種，再叢剩余3個(gè)奇數(shù)中選擇一個(gè)，從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中選擇兩個(gè)，進(jìn)行十位，百位，千位三個(gè)位置的全排。則共有故選C.21.(2009湖南卷理)從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位[C]A85B56C49D28【答案】：C【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個(gè)的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7，所以共有42+7=49，即選C項(xiàng)。22.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A.360B.188C.216D.96【考點(diǎn)定位】本小題考查排列綜合問題，基礎(chǔ)題。解析：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。二、填空題1.（2009寧夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數(shù)字作答）。解析：，答案：1407.（2009天津卷理）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個(gè)（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)定位】本小題考查排列實(shí)際問題，基礎(chǔ)題。解析：個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)的有：種；個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)的有：種，所以共有個(gè)。10.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）．答案：336【解析】對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，則有種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．20XX年（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（6）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種（B）18種（C）36種（D）54種【答案】B【命題意圖】本試題主要考察排列組合知識(shí)，考察考生分析問題的能力.【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有種方法，共有種，故選B.（2010全國(guó)卷2文數(shù)）（9）將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種(B)18種(C)36種(D)54種【解析】B：本題考查了排列組合的知識(shí)∵先從3個(gè)信封中選一個(gè)放1，2有3種不同的選法，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選兩個(gè)放一個(gè)信封有，余下放入最后一個(gè)信封，∴共有（2010重慶文數(shù)）（10）某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日（端午節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有（A）30種（B）36種（C）42種（D）48種解析：法一：所有排法減去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即=42法二：分兩類甲、乙同組，則只能排在15日，有=6種排法甲、乙不同組，有=36種排法，故共有42種方法（2010重慶理數(shù)）(9)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào)共有種方法甲乙排中間,丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有種方法故共有1008種不同的排法（2010北京理數(shù)）（4）8名學(xué)生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A）（B）（C）（D）答案：A（2010四川理數(shù)）（10）由1、2、3、4、5、6組