蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程3-1-1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)含答案

第3章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一橢圓的定義及其應(yīng)用1.(教材習(xí)題改編)(多選題)過(guò)已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓C與已知圓相切,則圓心C的軌跡可能是()A.圓B.橢圓C.線段D.射線2.(2024江蘇南通如東期中)已知點(diǎn)P為橢圓x24+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F1,F2分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2=π2時(shí),△F1A.1B.2C.3D.43.(2022江蘇宿遷沭陽(yáng)期中)已知橢圓x2A.6B.5C.4D.34.(2024江蘇南通如皋調(diào)研)已知F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),且F1F2=25,M,N是橢圓上兩點(diǎn),且MF1=2F1N,以F1FA.4B.6C.8D.12題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用5.(2024江蘇南通崇川、通州期中聯(lián)考)已知橢圓C:x2A.(-1,3)B.(-5,-1)C.(-5,3)D.(-5,-1)∪(-1,3)6.(2024江蘇常州溧陽(yáng)期中)若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足(xA.x2C.x27.已知△ABC的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)B(0,-4),C(0,4),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.x236+y220=1(xC.x26+y220=1(x8.(2024江蘇連云港華杰高級(jí)中學(xué)月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1,F29.(教材習(xí)題改編)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點(diǎn);(2)經(jīng)過(guò)P(-23,1),Q(10.(2024福建廈門(mén)新店中學(xué)期中)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為C上一點(diǎn),且∠F2PF1=30°,求△F1PF2的面積.題組三直線與橢圓的位置關(guān)系11.(2023江蘇淮安金湖中學(xué)、洪澤中學(xué)等四校學(xué)調(diào))過(guò)橢圓x2+2y2=2的左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為()A.312.(2024廣東東莞三校期中)如圖,已知F1,F2為橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)A在第一象限,且AF2⊥x軸,若線段BFA.BF1=AF1B.BF1>AF1C.BF1<AF1D.不能確定13.(2024浙江寧波期中)已知橢圓x26+y214.(2023江西南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知橢圓C:x22+y2=1,直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(1)求直線l的方程;(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.能力提升練題組一橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用1.(2024江蘇南通崇川、通州期中聯(lián)考)已知橢圓C:x212+A.432.(2024福建廈門(mén)第一中學(xué)期中)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯所著的八冊(cè)《圓錐曲線論》中,首次提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),其中之一的內(nèi)容為:若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn),F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)P處的切線平分∠F1PF2的外角.根據(jù)此信息回答下列問(wèn)題:已知橢圓C:x28+y2A.223.(2023四川成都第七中學(xué)質(zhì)檢)已知F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A(0,b),點(diǎn)B在橢圓C上,且AFA.x2C.x24.(多選題)(2024福建莆田期中)已知橢圓C:x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,FA.不存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=πB.cos∠APB的最小值為-3C.若∠F1PF2=π3,則△F1PF2的面積為D.點(diǎn)P到點(diǎn)(1,0)的距離的最小值為6題組二直線與橢圓的位置關(guān)系5.(2023江蘇無(wú)錫期末)橢圓x245+A.±46.(2023江蘇高郵中學(xué)月考)已知F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,且PF1⊥x軸,點(diǎn)A、B分別是橢圓與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn),且AB(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F1作不與坐標(biāo)軸垂直的直線,交橢圓于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是-13

答案與分層梯度式解析第3章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.AB設(shè)已知圓的圓心為A,半徑為R,圓內(nèi)的定點(diǎn)為B,動(dòng)圓C的半徑為r,則r=BC,若點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,由題意知圓A與圓C內(nèi)切,則AC=R-r=R-BC,即CA+CB=R,∴動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之和為常數(shù)R.∵B為圓A內(nèi)的定點(diǎn),∴AB<R,∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為橢圓.若A,B重合,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以R為直徑的圓.故選AB.2.A由題意可得a=2,b=1,c=3,設(shè)PF1=m,PF2=n,則m+n=2a=4,m2+3.C不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F,右焦點(diǎn)為F1,連接MF1,因?yàn)镹是MF的中點(diǎn),O是FF1的中點(diǎn),故ON是△MFF1的中位線,故ON=12MF1由橢圓方程得a=6,由橢圓的定義可知MF+MF1=2a=12,因?yàn)镸F=4,所以MF1=8,故ON=12MF1=4,故選C4.D由于以F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)M點(diǎn),所以MF1⊥MF2,不妨設(shè)NF1=x,則MF1=2x,MN=3x.由橢圓的定義可得MF2=2a-2x,NF2=2a-x,由勾股定理可得F即20=4x故△MNF2的周長(zhǎng)為4a=12,故選D.5.A因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以5+k>3-k>0,解得-1<k<3.故選A.6.B設(shè)F1(-2,0),F2(2,0),故原式表示點(diǎn)P到F1,F2的距離之和為42,又F1F2=4,所以PF1+PF2=42>F1F2,故點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=42,2c=4,所以b2=a2-c2=8-4=4,故點(diǎn)P的軌跡方程為x28+y7.B由題意得BC=8,故AB+AC=12>BC,所以頂點(diǎn)A的軌跡是以B(0,-4),C(0,4)為焦點(diǎn)的橢圓(去掉點(diǎn)(0,-6),(0,6)).設(shè)橢圓的方程為y2所以b2=a2-c2=20.故頂點(diǎn)A的軌跡方程為y236+易錯(cuò)警示本題隱含A,B,C三點(diǎn)不共線,因此在求軌跡方程時(shí),要去掉y軸上的兩點(diǎn),防止漏掉x≠0導(dǎo)致錯(cuò)誤.8.答案x2解析設(shè)F1(c,0),F2(-c,0),則b2=a2-c2,由PF1⊥PF2,可得43+c·43-∵點(diǎn)P(3,4)在橢圓上,∴9a2+16a2-25=1,解得a2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29.解析(1)橢圓方程可變形為x2故橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c=5,設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2所以a所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(2)設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),把P(-23,1),Q(3解得m=方法技巧在不確定橢圓焦點(diǎn)位置時(shí),經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0),這樣能避免對(duì)焦點(diǎn)所在位置的討論.10.解析(1)由F1F2=2,可得c=1,設(shè)F1(-1,0),F2(1,0),則MF1=(-1-2)由橢圓的定義可得a=MF1+故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(2)在△PF1F2中,由余弦定理得F1F22=PF12+P由橢圓的定義可得PF1+PF2=2a=25,平方得PF12+PF22+2PF1·PF2=20,結(jié)合①得F1F22+3PF1·PF2+2PF1·所以△F1PF2的面積S=12PF1·PF2sin30°=4(2-311.D橢圓方程可變形為x22+y2=1,∴a2=2,b2=1,c2=1,若設(shè)左焦點(diǎn)為F(-1,0),則過(guò)F且斜率為1的直線為y=x+1,代入橢圓方程得3x2+4x=0.①解法一:由①解得x=0或x=-43,則y=1或y=-1∴AB=0+4解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-43,x1x2所以AB=1+1(故選D.12.A由已知得a=2,b=3,則c=1,F1(-1,0),F2(1,0),將x=1代入橢圓方程,可得y=±32,又A在第一象限,∴A1,32,故AF1設(shè)直線AB的方程為y-32由y-32=k(x-1),x∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,整理得4k2+4k+1=0,∴k=-12則直線AB的方程為y-32=?1直線BF1的方程為x=-1,由x=-1,y=-故BF1=52=AF1,故選A13.答案±63解析由已知得直線l的方程為y=kx+1,k≠0,則M-1k,0,設(shè)A(x1,y1),B(x2聯(lián)立y=kx+1,x2∴Δ=36k2+36(2+3k2)>0,x1+x2=-6k又MA=∴x1+1k=-x2,y1=1-y2,即x1+x2=-1k,y14.解析(1)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y-12=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2解法一:由y-12=k(x-1),x因?yàn)辄c(diǎn)P1,12為線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=故直線l的方程為y-12解法二:由題意得x122①-②整理得y1-y2x1-x2=?1所以直線l的斜率k=y1所以直線l的方程為y-12(2)由(1)知x1+x2=2,x1x2=4k所以AB=1+=2·O到直線l的距離d=|2×0+2×0-3|2所以S△OAB=12AB·d=1能力提升練1.B由已知得a=23,b=22,c=2,由(-1)212故PF+PA=43-PE+PA≤43+AE,當(dāng)且僅當(dāng)P是AE的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí),取等號(hào),所以PF+PA的最大值為43+(-1-2)2解題模板求橢圓內(nèi)一點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)間的距離的最值問(wèn)題,一般利用平面幾何知識(shí),轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問(wèn)題解決.設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),Q(x0(1)-QF1≤MQ-MF1≤QF1;(2)2a-QF1≤MF2+MQ≤2a+QF1.2.A不妨設(shè)右焦點(diǎn)為F2,延長(zhǎng)F1M、F2P交于點(diǎn)N,由題意可知∠F1PM=∠NPM,又因?yàn)镻M⊥F1N,所以M為F1N的中點(diǎn),且PF1=PN,所以F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2a=42,又因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M=12F2N=3.B因?yàn)锳F1=2F1B,所以A,F因?yàn)镈,E分別為AF2和BF2的中點(diǎn),所以4a=AB+AF2+BF2=2(DE+DF2+EF2)=8,解得a=2,設(shè)B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),由AF1=2F1則x0=-3c2,y把B的坐標(biāo)代入橢圓方程得9c216+14=1,故c2=44.BCD設(shè)橢圓與y軸的正、負(fù)半軸的交點(diǎn)分別為D,E,由橢圓方程知a=2,b=1,c=3,所以F1(-3,0),F則DF1=(?則∠F1PF2的最大角為鈍角,即存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=π2當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D或E的位置時(shí),∠APB最大,則cos∠APB最小,此時(shí)AD=BD=(-2)在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=AD所以cos∠APB的最小值為-35,故B正確設(shè)PF1=m,PF2=n,由橢圓定義可得m+n=2a=4,即m2+n2+2mn=16①,由余弦定理可得F1F22=PF12+PF即m2+n2-mn=12②,①-②可得3mn=4,即mn=43所以S△F1P設(shè)P(x0,y0),-2≤x0≤2,則x0則點(diǎn)P到點(diǎn)(1,0)的距離為(x當(dāng)x0=43時(shí),[(x0-1)2+5.A由橢圓方程得c=a2①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線AB的方程為x=0,此時(shí)AB=45,S△ABF=12AB·5=1②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),可設(shè)其方程為y=kx,由y=kx,x245+不妨設(shè)xA=654+9k2,則yA∴S△ABF=2S△AOF=2×12×5×|65k|6.解析(1)由題可知F1(-c,0),A(a,0),B(0,b),因?yàn)镻F1⊥x軸,所以可以把x=-c代入x2a2+y2b又AB∥OP,所以kOP=kAB,所以-b2又由橢圓定義知PF1+PF2=2a=22,所以a=2,所以b=c=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y(2)由(1)知F1(-1,0),易知直線MN的斜率存在.設(shè)直線MN的方程為x=my-1,聯(lián)立x=my-1,x2設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y