湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程３-１-1橢圓的標準方程練習含答案

第3章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標準方程基礎(chǔ)過關(guān)練題組一橢圓的定義及其應(yīng)用1.已知平面內(nèi)兩定點A,B及動點P,命題甲:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙:“點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓”,那么甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.(2022河南焦作期末)已知F1,F2為橢圓x29+y216=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|F2A|+|FA.2B.4C.6D.103.(2022甘肅永登一中期末)設(shè)P是橢圓C:x2m+y27=1上一點,F1(-3,0),F2(3,0)分別是C的左、右焦點,|PF1|=3,A.5B.103-3C.4D.258-34.(2022廣東執(zhí)信中學期中)已知F1,F2是橢圓C:x216+y212=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MFA.28B.16C.12D.95.(2022重慶八中期中)已知P是圓C:(x+2)2+y2=64上的動點,A(2,0).若線段PA的中垂線交CP于點N,則點N的軌跡方程為.

題組二橢圓的標準方程6.(2021北京交大附中期末)已知橢圓的標準方程為x2k-3+y25-k=1,A.4<k<5B.3<k<5C.k>3D.3<k<47.以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點P35,-4和Q-A.y225+xB.x225+yC.x225+y2=1或y2D.以上都不對8.(2022甘肅蘭州一中期末)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,過F1的直線l垂直于x軸且交橢圓于A,B兩點,|AB|=3,橢圓與y軸正半軸交于點D,|DFA.x24+y2=1B.x2+C.x24+y23=1D.9.(2020天津一中期末)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點為10.(2022陜西黃陵中學期末)過點(3,-5)且與橢圓y225+x29題組三橢圓的標準方程的應(yīng)用11.(2021江西上饒月考)已知橢圓x210-m+y2m-2=1的焦點在yA.4B.5C.7D.812.在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC的頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢圓x225+y29=1上A.43B.C.45D.13.(2022河南鄭州期末)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x225+y29=1的左、右焦點,O為坐標原點,點P在橢圓C上,且滿足|OP|=4,則△PF1A.3B.33C.6D.914.(2022廣西玉林期中)已知點P(n,1),橢圓x29+y24=1,點P在橢圓外,則實數(shù)15.已知橢圓x29+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF16.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點M1,32,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,|F1(1)求橢圓C的標準方程;(2)若點P在第一象限,且PF1·PF2≤1417.設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓E:x24+y22=1上,過點M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足(1)求點P的軌跡方程;(2)設(shè)A(1,0),在x軸上是否存在一定點B,使|BP|=2|AP|恒成立?若存在,求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.能力提升練題組一橢圓的定義及其應(yīng)用1.(2022安徽蚌埠期末)已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點,P是橢圓C上的任意一點且不在x軸上,M是線段PF的中點,O為坐標原點.連接OM并延長,交圓x2+y2=a2于點A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由點P的位置決定2.(2022江西贛州期末)已知定圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定點M(2,1),動圓C滿足與C1外切且與C2內(nèi)切,則|CM|+|CC1|的最大值為()A.8+2B.8-2C.16+2D.16-23.(多選)(2020山東濰坊期末)已知P是橢圓E:x28+y24=1上一點,F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,且△F1PF2A.點P的縱坐標為3B.∠F1PF2>πC.△F1PF2的周長為42+4D.△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為3224.(2022湖南岳陽一中月考)已知橢圓C:x29+y24=1,M,N是坐標平面內(nèi)的兩點,且點M與C的焦點不重合,若點M關(guān)于C的左、右焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在橢圓C上,題組二橢圓的標準方程及其應(yīng)用5.(2022山西長治二中期末)橢圓x2100+y264=1的焦點為F1,F2,橢圓上的點P滿足∠F1PF2=60°,則點PA.6433B.91336.(2022四川威遠中學月考)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1的直線交橢圓于A,B兩點,交y軸于點C,若F1,C是線段AB的三等分點,△F2AB的周長為4A.x25+y24=1B.C.x25+y22=1D.7.(2022上海延安中學期末)橢圓x26+y22=1的焦點為F1,F2,P為橢圓上的動點,當∠F1PF2為鈍角時,點8.(2022廣東廣州期末)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點是F1,F在橢圓C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,M是橢圓C上不同于P,Q的一點,直線MP和MQ與x軸分別相交于點E,F,O為原點.證明:|OE|·|OF|為定值.

答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B當|PA|+|PB|=|AB|時,動點P的軌跡為線段AB,當|PA|+|PB|>|AB|時,動點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,充分性不成立;由橢圓的定義可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分條件,故選B.2.C由題意知a=4,由橢圓的定義知|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,∵|F2A|+|F2B|=10,∴|AB|=|F1A|+|F1B|=6.故選C.3.A依題意得橢圓C的焦點在x軸上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因為|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2m=8,所以|PF2|=5,故選A.4.B易知a2=16,所以a=4,因為點M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=8,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=822=16,當且僅當|MF1|=|MF2|=45.答案x216+解析圓C的圓心為C(-2,0),半徑r=8,由線段PA的中垂線交CP于點N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故點N的軌跡是以A,C為焦點的橢圓,且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以點N的軌跡方程為x216+6.A∵方程x2k-3+y25-k=1表示焦點在x7.A設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則925m∴橢圓的標準方程為y225+x2=1.8.C把x=-c代入橢圓方程,得y=±b2a,所以|AB|=2b2a=3,即b2a=32.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|=b2+c2=2,即a=2,故9.答案x29+解析根據(jù)題意知|PO|=95+16故F1(-5,0),F2(5,0).∴|PF1|+|PF2|=-5-=4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4,∴橢圓的方程為x29+10.答案y220+解析由題意知所求橢圓的焦點在y軸上,設(shè)其標準方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),則c2=a2-b2=16①,把(3,-5)代入橢圓方程,得5a2+3b2=1②,由①②得11.D依題意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得2<m<10.由橢圓的焦距為4,得c=2.所以c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.故選D.12.D由已知得a=5,b=3,橢圓的焦點坐標為(-4,0)和(4,0),恰好是A,C兩點,則|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得sinA+sinCsin(A+C)13.D由題意得c=a2-b2=4,則|F1F2|=2c=8,設(shè)點P(x0,y0),則x0225+∴|OP|=x02+y02=25-169y02=4,∴y02=8116,∴|y0|=94,因此14.答案-∞,-33解析因為點P(n,1)在橢圓x29+y24=1外,所以n29+14>1,解得n<-332或n>15.答案120°解析由橢圓的標準方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.∴cos∠F1PF2=|PF1又∵0°≤∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.16.解析(1)由題意得2c=2∴橢圓C的標準方程為x24+y(2)設(shè)P(x0,y0)(x0>0,y0>0),∵c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0),∴PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x∴PF1·PF2=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=∵點P在橢圓C上,∴x024+y02=1,∴PF1·PF2=x02+y02-3=解得-3≤x0≤3,又∵x0>0,∴0<x0≤3,∴點P的橫坐標的取值范圍是(0,3].17.解析(1)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),則N(x1,0),NP=(x-x1,y),NM=(0,y1).∵點M在橢圓E上,∴x124由NP=2NM,得x=代入(*)式,得x2+y2=4,即點P的軌跡方程為x2+y2=4.(2)假設(shè)存在點B(m,0)滿足條件,∵|BP|=2|AP|,∴(x-m即點P的軌跡方程為3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,由(1)知點P的軌跡方程為x2+y2=4,故2m-∴存在點B(4,0)滿足條件.能力提升練1.B不妨設(shè)F是橢圓C的右焦點,左焦點為F1,則|PF1|+|PF|=2a.如圖,在△PFF1中,O,M分別是FF1,PF的中點,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|,∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|,∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以線段PF為直徑的圓上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形狀是直角三角形.故選B.2.A由題意知圓C1的圓心為C1(-3,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為7.設(shè)動圓C的半徑為r,由動圓C滿足與C1外切且與C2內(nèi)切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以動點C的軌跡是以C1和C2為焦點、8為長軸長的橢圓[除去點(-4,0)],如圖,易得其方程為x216+y27=1(x≠-4),由橢圓的定義可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因為|CM|-|CC2|≤|MC2|=2(當點C在MC2的延長線上時取等號),所以|CM|+|CC1|≤8+3.CD由已知得a=22,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).不妨設(shè)P(m,n),m>0,n>0,則S△F1PF2=∴m28+3224=1,∴m=14∴|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2∴|PF1|2+|PF2|∴cos∠F1PF2=|P∴∠F1PF2<π2,故A,B錯誤△F1PF2的周長為2a+2c=42+4,故C正確;設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r,則12r·(42∴r=322-32,故D正確4.答案12解析設(shè)MN的中點為D,橢圓C的左、右焦點分別為F1,F2,如圖,連接DF1,DF2,∵F1,D分別是MA,MN的中點,∴|DF1|=12|AN|,同理|DF2|=12|BN|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵點D在橢圓上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴5.C易得c=a2-b2=6.設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=r12+r22-2r1r2cos60°,即144=r12+r22-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,則r1r2=2563,所以S△PF1F2=12r1r2sin60°=12×2563×6.A由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,△F2AB的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=45,所以a=5,所以橢圓E:x25+y2b2=1.不妨令點A在第一象限,C是F1A的中點,則Ac,b25,所以C0,b225,又因為F1是BC的中點,所以B-2c,-b225,把點B的坐標代入橢圓E的方程,得4c25+b420b27.答案(-3,3)解析由已知得c=2,不妨令F1(-2,0),F2(2,0),設(shè)P(x0,y0),則x026+y022=1,即y02=2-13x02,F1P=(x0+2,y0),F2P=(x0-2,y0