高中數(shù)學人教A版 習題課時提升作業(yè) 九

課時提升作業(yè)九

二維形式的柯西不等式

圓25分鐘練/

分值：60分

一、選擇題（每小題6分，共18分）

1.（2016?泰安高二檢測）若3x2+2y24l,則3x+2y的取值范圍是（）

A.[0,V5]B.[-V5,0]

C.[-V5,V5]D.[-5,5]

【解析】選C.|3x+2y|<J（V3x）2+（V2y）2-J（V3）2+（V2）2<V5,^ifu-V5<

3x+2y<V5.

2.設a,b￡R,a2+b2=3廁3a-b的最大值為（）

A.30B.-30C.V30D.-V30

【解析】選C.3a-b=3a+（-DbwJ"+（一1）2丁2+b2=VID5n=同,當且

僅當3b7即a=鬻,b=噂時等號成立

3.（2016?長春高二檢測）已知a;bzc,d,m,n都是正實數(shù)

Q=，am+cnj?+則P與Q的大小關系為()

A.P<QB.P<QC.P>QD.P=Q

【解析】選A.

Q2=(am+cn)《+!)

>^Varn-+Ven-4)=(Vab+Vcd)2

二P4

因為a,b,c,dzmzn都是正實數(shù)，所以P<Q.

二、填空題(每小題6分，共12分)

4.設x,y￡R+^!J(x+y>e+的最小值是

【解析】(x+y)(：+券

(五?(+J)=(V3+V2)2=5+2V6,

當且僅當代片&招時，等號成立?

答案:5+2遇

5.已知x>0,y>0,且§+：=1,貝U2x+y的最小值為.

【解析】2x+y=(2x+y)([+[)

二[(怎)2+(招)2MM+(北

2

>4+

=3+2V2,

當且僅當怎力心”時，等號成立

2+V2

X二十,

又;+:=1,貝恥匕時

丫=等

答案:3+2迎

【一題多解】2x+y=（2x+y）C+/

=y+-+3>2Fy--2+x3

xyxy

=2V2+3.

當且僅當（與即2x2=y2時取等號.

1r

又一+-=1,

xy

2+V2

X二丁,

則此時

20+2

答案2遮+3

【拓展延伸】利用柯西不等式的關鍵

利用柯西不等式時關鍵問題是找出相應的兩組數(shù)，當這兩組數(shù)不太容易找時，需

分析、增補（特別對數(shù)字1的增補:a=l-a）、變形等.

三、解答題（每小題10分，共30分）

6.(2016?天津高二檢測)已知m>0zn>0zm+n=p,

求證：之+23指出等號成立的條件.

mnp

【解析】根據柯西不等式彳導+^(m+n)>(Jm.1+Jn?=4,

于出+冬告

mnm+np

當m=n=史寸等號成立.

7.求函數(shù)f(x)=Jx2-8x+20-Jx2-6x+10的最大值.

【解題指南】由二維形式的三角不等式稍作變化，

即得J(X]_X2)2+(y1一丫2)2-卜2+y/w

x22

J2+y2-

[解析]由于f(x)=Jx2-8x+20-Jx2-6x+10

=J(X-4)2+22-7(X-3)2+1

=7[(x-3)-1]2+[1--3)2+12<V(-1)2+(-1)2=V2.

8.已知函數(shù)f(x)=|x-4|.

⑴若f(x)42,求x的取值范圍.

⑵在⑴的條件下，求g(x)=2麻國+灰二包的最大值.

【解析】⑴由已知得,|x-4區(qū)2,即-2WX-4W2,

即2<x<6,BPx的取值范圍為[2,6].

(2)由2<x<6可得g(x)=2Vx^2+V6^x;

由柯西不等式，

得g(x)<7(4+l)(x-2+6-x)=2V5.

當且僅當寫二寫，即x=g時,g(x)的最大值為2V5.

(0因鮑20分鐘練/

分值：40分

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.已知a,b,Xl,X2為互不相等的正數(shù)若力二駕著,丫2=駕詈廁y?2與X1X2的關

系為()

A.yiy2<xiX2B.yiy2=xiX2

C.yiy2>xiX2D.不能確定

【解析】選C.因為a,b,xi,X2為互不相等的正數(shù)

（ax】+bx2）（ax2+bx。

（a+b）2

[<7^!）2+（75^）2].[（7^）2+（75^）2]

（a+b）2

(a+b)2-(a+b)2一

【補償訓練】已知a,b￡R,且P=券Q=J孚廁RQ的大小關系是()

A.P>QB.P>Q

C.P<QD.P<Q

【解析】選C.因為Q2+b2)G+；)

需+用

當且僅當a?[b?押a=b時"="成立.

所以佰愛碧，即QNP.

2.函數(shù)y=：+言(XG(0切的最小值是()

A.20B.25C.27D.18

【解題指南】由函數(shù)式的特征，兩項分母x及l(fā)-2x的關系可表示為2-x+l-2x=l,

這為創(chuàng)造條件利用柯西不等式提供了可能.

【解析】選B.yq2+言9令22匕3^

=侍+工)[2x+Q-2刈

之忌*怎+春*71^)2=25,

當且僅當時等號成立.

二填空題(每小題5分洪10分)

3.(2016?廣州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=3，^二^+4后1廁函數(shù)f(x)的最大值

為.

【解析】由柯西不等式知(3AM=^+4VjTE)2w(32+42)-[(?與/

+(6=)2]=25.當且僅當36==4A僅二^時，等號成立，因此f(x)<5.

答案：5

4.已知a,bGR+zHa+b=l廁去+：的最小值是

D

【解析】因為a,b￡R+且a+b=l,

11

,2a+b+u

(^+D(a+b)-

/方、22(b_a

=(y+l)W+V1當且僅當嗎=b/時等號成立，此時a=V2-l,b=2-V2.

(a+b=1

答案|+走

【一題多解】+放a+b)

ba3、力ba3

=—+-+->22a,b+2

2ab2

=|+魚,

當且僅當a=V^-l,b=2-迎時等號成立.

答案|+走

三、解答題(每小題10分，共20分)

Y2V2

5.(2016?天津高二檢測)設x>0,y>0,且x+y=2,求廣+R的最小值.

Z-xz—y

【解題指南】利用柯西不等式求最小值，需要出現(xiàn)(a2+b2)(c2+d2)的結構，我們把

看作一部分，利用x+y=2構造出一部分(2-x+2-y).

2-x2-y

【解析】因為x+y=2,根據柯西不等式，有

[(2-x)+(2-y)](七十六

[(莊為)2+(1方)2][(高)2+(言)2]

?馬士+療=4,

^rl^—+—>——-——

「""2-x2-y(2-x)+(2-y)

=^=&=2.

4-(x+y)4-2

當且僅當即總=許總，

即x=y=l時，等號成立.

22

所以當x=y=l時,￡+臺有最小值2.

6.求證:點P(xo,yo)到直線Ax+By+C=O的距離為d=B等吧.

22

JA+B

【證明】設Q(x,y)是直線上任意一點廁Ax+By+C=O.

因為|PQ|2二(x-Xo)2+(y-yo)2,A2+B2/O.由柯西不等式相

22

(A2+B2)[(x-xo)+(y-yo)]

2

>[A(x-x0)+B(y-y0)]

=[(Ax+By)-(Axo+Byo)]2

=(Axo+Byo+C)2,

所以|PQ上牛法￡

22

JA+B

當且僅當受二啜時，取等號,|PQ|取得最小值牛笆工

22