高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修 第一冊-教案：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 公開課教學(xué)設(shè)計課件資料

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第三章《圓錐曲線的方程》,

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)拋物線的簡單幾何性質(zhì)

《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》是人教A版選修2-1第二章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課是在

是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比學(xué)習(xí)拋物線的簡單幾何性質(zhì)。

拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點與熱點內(nèi)容。

坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點掌握的基本數(shù)學(xué)方

法.運(yùn)動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點在這節(jié)知識中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利

用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的幾何性質(zhì)

應(yīng)用.2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線的性質(zhì)平行

B.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：拋物線中的定值與定點問題

判斷及相關(guān)問題.4.直觀想象：拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用

C.掌握拋物線中的定值與定點問

題.

重點難點

重點：拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

難點：直線與拋物線位置關(guān)系的判斷

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

yJ2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

（P>O）（P>O）（P>O）（P>O）

1小

圖形i-^—xJ6通過，回顧拋物

H4/

V線的幾何性質(zhì)及直

x10,y￡

范圍x<0,y?Ry>0,xGRy<0,xGR線與圓錐曲線的位

R

對稱軸X軸x軸y軸y軸置關(guān)系，幫助學(xué)生整

理知識。發(fā)展學(xué)生數(shù)

2222

y=-2pxX=2pyx=-2py學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、

標(biāo)準(zhǔn)方程y=2px

（P>O）（P>0）（P>O）（p>0）直觀想象的核心素

F（”）養(yǎng)。

焦點坐標(biāo)F（名,0）F（-4-°）F（O，T）

「包y=—與

準(zhǔn)線方程22y2y=~2

頂點坐標(biāo)0（0,0）

離心率e=l

二、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線1:y=kx+m,拋物線:y=2px5>>），將直線方程與拋物

222

線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程kx^2（km-p）x+m=0.

（1）若kWO,當(dāng)/為時,直線與拋物線相交,有兩個交點；

當(dāng)/小時,直線與拋物線相切,有一個切點；

當(dāng)/<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.

⑵若左力,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物

線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共

點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

二、典例解析

例5.過拋物線焦點少的直線交拋物線于48兩點，通過點

A和拋物

線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點〃求證：直線如平行于

拋物線

的對稱軸.

葉

/

通過典例解析，

【分析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：7=2加（p>0）.設(shè)/（為，綜合運(yùn)用拋物線幾

何性質(zhì)，進(jìn)一步體會

Ji）,B（Xz，為）.直線力的方程為：y=—^-x—2X—型x，

X1YiV1數(shù)形結(jié)合的思想方

了

法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)

2

可得為=設(shè)直線46的方程為：my=x-E，與拋物線算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

為2

建模的核心素養(yǎng)。

的方程聯(lián)立化為7-2加-萬=0,

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得vv=_2.可得為=%.即可證

yly2PD

明.

【解答】證明：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：〃=2px（p>0）.

設(shè)A（Xi,%）,B（蒞，灰）.

直線物的方程為：yj^x—9x—至x，令戶上，

X1YjYl2

了

2

可得yD—』一?

設(shè)直線力8的方程為：m尸x-史，

2

聯(lián)立,11VX2,化為y2-2pm-B=0,

,y2=2px

A2Ay=

y1y2=-p-2~^~-???勿=%?

...直線的平行于拋物線的對稱軸.

例6.如圖，已知定點B(見一磯8。1%軸于點。，M是線

段0B上任意一點，MD1%軸于點D,ME1BC于點E,

0E與MD相交于點P,求P點的軌跡方程。

解：設(shè)點P(x,y),M其中0W%Wa,則點E的坐標(biāo)通過典型例題，提

為(a,m)升學(xué)生綜合運(yùn)用能

有題意，直線。B的方程為力，發(fā)展學(xué)生邏輯推

y—--X①理，直觀想象、數(shù)學(xué)

a

抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

因為點M小。3上，將點M的坐標(biāo)代入①,得

核心素

m=--%,②

a

所以點P的橫坐標(biāo)》滿足②

直線0E的方程為)/=?%③

因為點P在0E上，所以點P的坐標(biāo)(%,y)滿足③

n2

將②代入③，消去m得，%2=--y(0<x<a),

h

即P點的軌跡方程。

例6中，設(shè)點B關(guān)于y軸的對稱點為A,則方程/=-^y(0<

fl

%<a),

對應(yīng)的軌跡是常見的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實生活中有許

多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在天空中

劃過的軌跡也是拋物拱一部分。

通過典型例題，

幫助學(xué)生掌握拋物

線中的定值與定點

問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)

建模，數(shù)形結(jié)合，及

定點。(1,0),且與直線x=T相切,設(shè)動圓圓心￡的軌跡為曲

方程思想，發(fā)展學(xué)生

線C.

邏輯推理，直觀想

(1)求曲線。的方程.

象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

⑵設(shè)過點A1,2)的直線1,1分別與曲線。交于A,8兩點，

12

運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

直線/"的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線N8的斜率

12

為定值.

思路分析：(1)由拋物線的定義可知￡的軌跡為以。為焦點，

以x=T為準(zhǔn)線的拋物線；

(2)設(shè)/"的方程,聯(lián)立方程組消元解出48的坐標(biāo)，代入斜

12

率公式計算k.

AB

⑴解：丁動圓經(jīng)過定點0(1,0),且與直線X=T相切，

,"到點。(1,0)的距離等于￡到直線x=~\的距離，

."的軌跡是以2?(1,0)為焦點，以直線x=T為準(zhǔn)線的拋物

線.

2

.：曲線。的方程為yNx.

⑵證明：設(shè)直線1的方程為尸A(x-l)2

1

丁直線1,1的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ)，

12

的方程為尸-A(xT)+2.

2

聯(lián)立得方程組”中“)+2，消元得

U=4x,

行-(22-W4)x+(k2)2小.

設(shè)4吊,”)，則出安=年譽(yù).

KK

同理,設(shè)BU,⑥，可得1+：”

kz

?，2k2+8-8k-8

??El/'否蒞卜2一卜.

"

%”-[A(XiT)+2]-[3(蒞T)+2]Z(xi+苞)-2A-k-2^k.

%l-%2

.：直線46的斜率為定值T.

定值與定點問題的求解策略

1.欲證某個量為定值,先將該量用某變量表示,通過變形化

簡若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.

2.尋求一條直線經(jīng)過某個定點的常用方法：(1)通過方程判

斷；(2)對參數(shù)取幾個特殊值探求定點,再證明此點在直線

上；(3)利用曲線的性質(zhì)(如對稱性等)，令其中一個變量為定

值,再求出另一個變量為定值；(4)轉(zhuǎn)化為三點共線的斜率相

等或向量平行等.

2

跟蹤訓(xùn)練1.已知拋物線的方程是yNx,直線/交拋物線于

A,8兩點,設(shè)力(x,y),B(x,y).

1122

(1)若弦47的中點為⑶3),求直線1的方程；

⑵若yy=-12,求證:直線/過定點.

12

解：⑴因為拋物線的方程為/NX,則有無禿幺的因為

弦四的中點為⑶3),所以為W蒞.

兩式相減得比-董NXI~4X2,

所以0=」=|,

xi-x2yi+y23

所以直線1的方程為_7-34(、-3),即W'乩

(2)當(dāng)1的斜率存在時,設(shè)1的方程為y=kx+b,代入拋物線方

程，整理,得ky-4y-fAb=Q,%%丹=T2"=-3A,

k

1的方程為y=kxTk=k〈x?,過定點⑶0）.

當(dāng)1的斜率不存在時,yy=-12,則x=x=3,1過定點（3,0）.

1212

綜上"過定點（3,0）.

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.若拋物線/=2x上有兩點8且N8垂直于x軸，若恒引通過練習(xí)鞏固本

=2短，則拋物線的焦點到直線四的距離為（）節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)

1111生解決問題，發(fā)展學(xué)

A'2B'4C'6D，8

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

【答案】A[線段組?所在的直線的方程為x=l,拋物線的

推理、直觀想象、數(shù)

焦點坐標(biāo)為2,ol則焦點到直線48的距離為1—4=[]

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

2.若直線x—尸2與拋物線/=4x交于N,8兩點，則線段

的中點坐標(biāo)是_____.

[x-y=2

【答案】（4,2）[由z,得8x+4=0,設(shè)力（西，

Ji）>6（北，必），貝U石+蒞=8,%+%=Xi+吊一4=4,故線

段4?的中點坐標(biāo)為（4,2）.]

3.設(shè)直線y=2x+6與拋物線/=4x交于/,8兩點，已知

弦48的長為火后，求6的值.

[y=2x-\-b,

【答案】由「,消去乃得4f+4（6—l）x+8=

L/=4X,

0.

由4>0,得設(shè)力（X，/）,6（x2，%）.

,g

則nX1+&=1-6,x^——.

\x1—x2\=N（X1+怒）2—4豆苗=41—24

/.AB\=11+22XI—涇=/一2b=3鄧,「.I—25=9,

即Z?=—4.

4.過拋物線j2=2px的頂點0作兩條互相垂直的弦交拋物線

于A、B兩點。

(1)求證:A,B兩點的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值

(2)證明：直線AB過定點；

解：設(shè)A(X,%),B(質(zhì),為),中點P(兩,％)

⑴左一區(qū)左一&

(1)KOA一，KOB~

X]x2

?:OA±OB

AbAAbB=_l荀用+%必=0

V7i2=2pxi,

22

4=2p吊力~?*~+1172=0

2p2p

,:%wo,必wo

%K=-4P2而豆=4p2

(2)Vy；=2pxi,%2=2p蒞(y-y2)(%+%)=2p(荀-蒞)

.Ji-y_2

??2—P?.?R.a,-—2P

J1+J2%+%

???直線AB：j—jj=———(x—Xj)

.2px2px.

??y-1Ji

Ji+%%+y2

._2Pxy2-2px+yy

??y—r1112

%%%+%

?；y：=2px?%%=-4p2

.2px-4p2

??y=+

%%%+%

.2p/

??y=--------(x-2p)

J1+J2

AAB過定點(2p,0).

2

5.如圖，已知直線/:片2x"交拋物線yNx于4,8兩點,試在

拋物線/如這段曲線上求一點月,使△為6的面積最大,并求

出這個最大面積.

思路分析:先求出弦長〃￡/,再求出點尸到直線力方的距離,從

而可表示出△為8的面積,再求最大值即可.

.2（4,4）,8（1,-2）,

（方法1）設(shè)尸（芯,④為拋物線力如這段曲線上一點，d為點P

到直線N3的距離，

則有聲部=舊醇如4k表/（%-1）對.

.："磋[9一（％-1）2].

從而當(dāng)Jo-1時，（Xax35Siax]XX3V5=

因此,當(dāng)點P的坐標(biāo)為Q,l）時,APAB的面積取得最大值,最

大面積為f.

4

（方法公由沅黑，解得仁:，或O

設(shè)點尸的坐標(biāo)為（4R4力，

丁點尸（4備4b）在拋物線AOB這段曲線上，.：-2〃1里得

2

由題意得點尸（4德4方）到直線AB的距離公隼|匕1