高中數(shù) 3.3-2幾何概型(2)試題 蘇教版必修3

第2課時幾何概型(2)eq\a\vs4\al\co1(雙基達標(biāo)限時15分鐘)1.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT是60°角的終邊，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________．解析設(shè)B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)}，則由∠xOT＝60°，得P(B)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).所以射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)2．電腦“掃雷”游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點擊一下，碰到地雷的概率為________．解析樣本空間為480塊，設(shè)“碰到地雷”為事件A，則事件A發(fā)生的區(qū)域為99塊，∴P(A)＝eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).答案eq\f(33,160)3．假設(shè)△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AC＝BC，AB為圓的直徑，向該圓內(nèi)隨機投一點，則該點落在△ABC內(nèi)的概率是________．解析設(shè)圓的半徑為R，則AB＝2R，則樣本空間對應(yīng)的幾何區(qū)域D的測度為πR2，事件發(fā)生對應(yīng)的幾何區(qū)域d的測度為R2，∴P＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).答案eq\f(1,π)4．在長為10cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，則正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率是________．解析設(shè)AM＝x，則36＜x2＜81，∴6＜x＜9，∴P＝eq\f(9－6,10)＝0.3.答案0.35．在區(qū)間(10,20]內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)不大于13的概率是________．解析P＝eq\f(13－10,20－10)＝eq\f(3,10)＝0.3.答案0.36．某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站停靠3分鐘．(1)求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率；(2)求乘客到站候車時間不超過10分鐘的概率；(3)求乘客到達車站立即上車的概率．解(1)如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時刻為T1、T2，T1T2＝15.設(shè)T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A，則當(dāng)乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發(fā)生．因為T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝eq\f(T1T,T1T2)＝eq\f(2,15).(2)如上圖所示，當(dāng)時間t落在TT2上時，乘客到站候車時間不超過10分鐘，故所求概率為P＝eq\f(TT2,T1T2)＝eq\f(13,15).(3)如上圖所示，當(dāng)t落在T0T2上時，乘客立即上車，故所求概率為P＝eq\f(T0T2,T1T2)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．地球上的山地、水和陸地面積比約為3∶6∶1，那么太空的一塊隕石恰好落在陸地上的概率為________．解析因為陸地所占比例為eq\f(1,3＋6＋1)＝eq\f(1,10)，所以隕石恰好落在陸地上的概率為eq\f(1,10).答案eq\f(1,10)8.如圖的矩形，長為5，寬為3，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為120顆，則我們可以估計出陰影部分的面積為________．解析矩形的面積S＝5×3＝15，陰影部分的面積設(shè)為S陰影，由幾何概型的概率公式知P＝eq\f(S陰影,15)≈eq\f(120,300)，∴S陰影≈eq\f(120×15,300)＝6.答案69．在邊長為2的正方形中有一個內(nèi)切圓，向正方形中隨機撒一把芝麻，用隨機模擬的方法來估計圓周率π的值．如果撒了1000顆芝麻，落在圓內(nèi)的芝麻總數(shù)是776顆，那么這次模擬中π的估計值是________(精確到0.001)．解析由于芝麻落在正方形內(nèi)任一位置的可能性相等且可以落在任一位置，由幾何概型的概率公式知：eq\f(S內(nèi)切圓,S正方形)＝eq\f(776,1000)，∴eq\f(π·12,22)＝eq\f(776,1000)，∴π＝eq\f(776,250)＝3.104.答案3.10410．甲、乙兩人約定上午7：00至8：00之間到某站乘公共汽車，在這段時間內(nèi)有3班公共汽車，它們開車時刻分別為7：20,7：40,8：00，若他們約定，見車就乘，則甲、乙同乘一車的概率為________．解析設(shè)甲到達汽車站的時間為x，乙到達汽車站的時間為y，則7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙兩人到達汽車站的時刻(x，y)所對應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中畫出(如圖所示)是大正方形．將三班車到站的時刻在圖形中畫出，則甲、乙兩人要想乘同一班車，必須滿足7≤x≤7eq\f(1,3)，7≤y≤7eq\f(1,3)；7eq\f(1,3)≤x≤7eq\f(2,3)，7eq\f(1,3)≤y≤7eq\f(2,3)；7eq\f(2,3)≤x≤8,7eq\f(2,3)≤y≤8.即(x，y)必須落在圖形中的三個帶陰影的小正方形內(nèi)，所以由幾何概型的計算公式得，P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×3,12)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)11．設(shè)點M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1時按均勻分布出現(xiàn)，試求滿足：(1)x＋y≥0的概率；(2)x＋y＜1的概率；(3)x2＋y2≥1的概率．解如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點組成一個邊長為2的正方形ABCD，則S正方形ABCD＝4.(1)方程x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點在AC的右上方，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝eq\f(1,2)S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)E(0,1)、F(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，所以P(x＋y＜1)＝eq\f(S五邊形ABCFE,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(7,2),4)＝eq\f(7,8).(3)滿足x2＋y2＝1的點是以原點為圓心的單位圓O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝eq\f(S正方形ABCD－S⊙O,S正方形ABCD)＝eq\f(4－π,4).12．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的．如果甲船的停泊時間是1h，乙船是2h，求它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出的概率．解設(shè)甲、乙兩船到達碼頭的時刻分別是x及y，則x及y均可能取區(qū)間[0,24]內(nèi)的任一值，即0≤x≤24,0≤y≤24.而要求它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出，也就是要求兩船不可能會面．那么必須甲比乙早到1h以上，即y－x≥1.或者乙比甲早到2h以上，即x－y≥2.在平面上建立直角坐標(biāo)系，如圖，則(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為24的正方形．而兩艘船不可能會面的時間由圖中陰影部分所表示，這是一個幾何概型問題．依上述分析，記A表示“兩艘船都不需要等待碼頭空出”．則P＝eq\f(A1的面積＋A2的面積,正方形的面積)＝eq\f(\f(1,2)24－12＋\f(1,2)24－22,242)＝0.879，即它們中的任何一艘都不需要等待碼頭空出的概率為0.879.13．(創(chuàng)新拓展)設(shè)有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中各個最小等邊三角形的邊長都是4eq\r(3)cm.現(xiàn)用直徑為