初中-初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（修訂版）

初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章實(shí)數(shù)

考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類

「正整數(shù)

<0

理數(shù)I有限或無(wú)限循環(huán)性數(shù):)I負(fù)整數(shù)

了正分?jǐn)?shù)

實(shí)效負(fù)分?jǐn)?shù)

正無(wú)理數(shù)

理數(shù)(無(wú)限不循環(huán)小數(shù))

?負(fù)無(wú)理數(shù)

2、無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住"無(wú)限不循環(huán)"這一時(shí)之，歸納起來(lái)有四類：

(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如等；

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率n，或化簡(jiǎn)后含有II的數(shù)，如+8等;

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001...^;

(4)某些三角函數(shù)，如sin60。等

考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

1、相反數(shù).?實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫

做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)

數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱如果a與b互為相反數(shù)則有a+b=O,

a=—b,反之亦成立。

2、維/魯.?一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，同

>0o零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可看成它的相反數(shù)，若同=a，則a>0;

若|a|=-a,則a<0o正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),

兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

3、倒數(shù)；如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等

于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。

考點(diǎn)三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方

根（或二次方跟\

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有

平方根。

正數(shù)a的平方根記做

2、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

3、立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方

根（或a的三次方根I

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方

根是零。

注意：，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

考點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)

1、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，

這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字,

都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)寫(xiě)做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法

叫做科學(xué)記數(shù)法。

考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)大小的比較

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸(畫(huà)數(shù)軸

時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可)。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是——對(duì)應(yīng)

的，并能靈活運(yùn)用。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

(4)絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。

考點(diǎn)六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法交換律

2、加法結(jié)合律

3、乘法交換律

4、乘法結(jié)合律

5、乘法對(duì)加法的分配律

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有

括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

第二章代數(shù)式

考點(diǎn)一、整式的有關(guān)概念

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代

數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、單項(xiàng)式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用

帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成。一個(gè)單項(xiàng)式中，所

有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。

考點(diǎn)二、多項(xiàng)式

1、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)

多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高

的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果,

叫做代數(shù)式的值。

注意：(1)求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的

取值代入。

(2)求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧,

"整體”代入。

2、同類項(xiàng)：所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫

做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

3、去括號(hào)法則

(1)括號(hào)前是,把括號(hào)和它前面的號(hào)一起去掉，括號(hào)里

各項(xiàng)都不變號(hào)。

(2)括號(hào)前是把括號(hào)和它前面的"號(hào)一起去掉，括號(hào)里

各項(xiàng)都變號(hào)。

4、整式的運(yùn)算法則

整式的加減法：(1)去括號(hào)；(2)合并同類項(xiàng)。

注意：(1)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與

因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

(3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前

面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。

(4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類項(xiàng)的要合并

同類項(xiàng)。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)

式。

考點(diǎn)三、因式分解

1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)

多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：

(2)運(yùn)用公式法：，，

(3)分組分解法：

(4)十字相乘法：

3、因式分解的一般步驟:

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)

式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)

用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分

組分解法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

考點(diǎn)四、分式

1、分式的概念：一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A+B就可以表示

成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式

的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2、分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)

不等于零的整式，分式的值不變。

(2)分式的變號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào),改變

其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算法則

考點(diǎn)五、二次根式

1、二次根式：式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根

號(hào)；被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2、最簡(jiǎn)二次根式

若二次根式滿足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中

不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平

方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（2）如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后

把能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。

3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)

方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

4、二次根式混合運(yùn)算：二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一

樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括

號(hào)工

第三章方程（組）

考點(diǎn)一、一元一次方程的概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)

果仍是等式。

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零）,所得

結(jié)果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元

一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的

系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。

考點(diǎn)二、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的

整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，

特征：等式左邊十一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零,

其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)

系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

考點(diǎn)三、一元二次方程的解法

1、直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的

解的方法叫做直接開(kāi)平方法。

直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知,

是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

2、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用,

而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全

平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有。

3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是

解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的

解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考點(diǎn)四、一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通

常用""來(lái)表示，即

考點(diǎn)五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么,o也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)

根的一元二次方程,兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)

所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

考點(diǎn)六、分式方程

1、分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法：解分式方程的思想是將"分式方程"轉(zhuǎn)化

為"整式方程、它的一般解法是：

(1)去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母

(2)解所得的整式方程

(3)驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)

該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分

式方程具有某種特殊形式,一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元

法。

考點(diǎn)七、二元一次方程組

1、二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的

整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未

知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解。

3、二元一次方程組：兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，

就組成了一個(gè)二元一次方程組。

4、二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的

值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法：（1）代入法（2）加減法

6、三元一次方程：把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)

都是1的整式方程。

7、三元一次方程組：由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，且含有

三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

第四章不等式（組）

考點(diǎn)一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的

值，都叫做這個(gè)不等式的解。

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的

解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。

求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

考點(diǎn)二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的

方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

考點(diǎn)三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，

未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一

元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）

合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1

考點(diǎn)四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念

幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次

不等式組的解集。

求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)X都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或

其解為空集。

2、一元一次不等式組的解

(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組

的解集。

第五章統(tǒng)計(jì)初步與概率初步

考點(diǎn)一、平均數(shù)

1、平均數(shù)的概念

(1)平均數(shù)：一般地，如果有n個(gè)數(shù)那么，叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

讀作"x拔"。

(2)加權(quán)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次(這

里)，那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為，這

樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中叫做權(quán)。

2、平均數(shù)的計(jì)算方法

(1)定義法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散時(shí)，一般選用定義公式：

(2)加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，一般選用加權(quán)平均數(shù)

公式：，其中。

(3)新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選

用簡(jiǎn)化公式2

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較"整"的數(shù)是新數(shù)據(jù)的

平均數(shù)(通常把叫做原數(shù)據(jù)，叫做新數(shù)據(jù)X

考點(diǎn)二、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)基本概念

1、總體：所有考察對(duì)象的全體叫做總體。

2、個(gè)體：總體中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。

3、樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。

4、樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計(jì)

中，通常用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。

考點(diǎn)三、眾數(shù)、中位數(shù)

1、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)

數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

考點(diǎn)四、方差

1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這

組數(shù)據(jù)的方差。

2、方差的計(jì)算

方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡(jiǎn)化計(jì)算公式(口)：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可以依照簡(jiǎn)化平均數(shù)的計(jì)算方法,將每

個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)

據(jù)，，…，，那么，

此公式的記憶方法是:方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均

數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)的方差與新數(shù)據(jù)，，.?.，的方差相等，也就是說(shuō)，根據(jù)方差的基

本公式，求得的方差就等于原數(shù)據(jù)的方差。

3、標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用"s"表示，即

考點(diǎn)五、頻率分布

1、頻率分布的意義

在許多問(wèn)題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)

在各個(gè)小范圍所占的比例的大小,這就需要研究如何對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行

整理，以便得到它的頻率分布。

2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念

(1)研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計(jì)算極差(最大值與最小值的差)；②決定組距與組數(shù)；③決定分

點(diǎn)；④列頻率分布表；⑤畫(huà)頻率分布直方圖

(2)頻率分布的有關(guān)概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)(樣本容量n)的比值叫做這一

小組的頻率。

考點(diǎn)六、確定事件和隨機(jī)事件

1、確定事件

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，在每次試驗(yàn)中必

然會(huì)發(fā)生的事件。

不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，這樣的事件

叫做不可能的事件。

2、隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為

隨機(jī)事件。

考點(diǎn)七、隨機(jī)事件發(fā)生的可能性

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,我們利用反復(fù)試驗(yàn)所獲取一定的經(jīng)

驗(yàn)數(shù)據(jù)可以預(yù)測(cè)它們發(fā)生機(jī)會(huì)的大小。要評(píng)判一些游戲規(guī)則對(duì)參與游

戲者是否公平，就是看它們發(fā)生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可

能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的大小是否一樣，用數(shù)

據(jù)來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。

考點(diǎn)八、概率的意義與表示方法

1、概率的意義：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻

率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般，事件用英文大寫(xiě)字母ABC…，表

示事件A的概率p,可記為P(A)=P

考點(diǎn)九、確定事件和隨機(jī)事件的概率之間的關(guān)系

1、確定事件概率

(1)當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí),P(A)=1

(2)當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)，P(A)=0

2、確定事件和隨機(jī)事件的概率之間的關(guān)系

事件發(fā)生的可能性越來(lái)越小

0<1概率的值

不可能發(fā)生>必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能性越來(lái)越大

考點(diǎn)十、古典概型

1、古典概型的定義：某個(gè)試驗(yàn)若具有：①在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)

的結(jié)構(gòu)有有限多個(gè)；②在一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。

我們把具有這兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可

能性都相等，事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率

為P(A)=

考點(diǎn)十一、列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法

叫做列表法。

2、列表法的應(yīng)用場(chǎng)合：當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，且可能出現(xiàn)的

結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表

法。

考點(diǎn)十二、樹(shù)狀圖法求概率（10分）

1、樹(shù)狀圖法：就是通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求

出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法。

2、運(yùn)用樹(shù)狀圖法求概率的條件：當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因

素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,

通常采用樹(shù)狀圖法求概率。

考點(diǎn)十三、利用頻率估計(jì)概率（8分）

1、利用頻率估計(jì)概率：在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一

個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生

的概率。

2、在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用較為簡(jiǎn)單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試

驗(yàn)來(lái)完成概率估計(jì)，這樣的試驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。

3、隨機(jī)數(shù)：在隨機(jī)事件中,需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)

據(jù)來(lái)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)工作。把這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐

標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫

做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)0(即公共的原點(diǎn))叫

做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置才巴坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而

成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。

2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間

有分開(kāi)，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，(a,b)和(b,a)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

考點(diǎn)二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征(3分)

1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一象限;點(diǎn)P(x,y)在第二象限

點(diǎn)P(x,y)在第三象限;點(diǎn)P(x,y)在第四象限

2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)；點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x(chóng),y同時(shí)為零點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,

0)

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x(chóng)與y相等

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x(chóng)與y互為相反數(shù)

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的

直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于X軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)p與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于；(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于;

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于

考點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量：在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，

數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)

值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的

函數(shù)。

2、函數(shù)解析式：用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函

數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

(1)解析法：兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)

變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示。

(2)列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表

來(lái)表示函數(shù)關(guān)系。

(3)圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值

(2)描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線

連接起來(lái)。

考點(diǎn)四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)(3~10分)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念:一般地，如果(k,b是常數(shù)，kO),

那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為。時(shí)，(k為常數(shù),kO)o這時(shí)，y叫做

x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(0,b)的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線。

k的b的

函數(shù)圖像圖像特征

符號(hào)

圖像經(jīng)過(guò)一、二、三

k>0b>0象限，y隨x的增大

而增大。

k的b的

函數(shù)圖像圖像特征

符號(hào)

X

十

圖像經(jīng)過(guò)一、三、四

b<0象限，y隨x的增大

X

而增大。

圖像經(jīng)過(guò)一、二、四

k<0b>0象限，y隨x的增大

一而減小

k的b的

函數(shù)圖像圖像特征

符號(hào)

0

X

+

圖像經(jīng)過(guò)二、三、四

b<0象限，y隨x的增大

而減小。

X

k的b的

函數(shù)圖像圖像特征

符號(hào)

注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函

數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大;

(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)

ko確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)k

和bo解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。

考點(diǎn)五、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)(k是常數(shù),kO)叫做反比例

函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成的形式。自變量x的取值范圍

是xO的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第

一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)

中自變量xO,函數(shù)yO,所以，它的圖像與x軸、v軸都沒(méi)有交點(diǎn)，

即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比

例函

數(shù)

k的

k>0k<0

符號(hào)

i

Jy

圖像

0-r

X

①x的取值范圍是xO,①x的取值范圍是xO,

V的取值范圍是yO；y的取值范圍是yO;

②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩

性質(zhì)個(gè)分支分別個(gè)分支分別

在第一、二象限。在每個(gè)象在第一、四象限。在每個(gè)象

限內(nèi),V限內(nèi)，V

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及謨是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)

待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求

出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖過(guò)反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM,PN,

則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=O。

第七章二次函數(shù)

考點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。

叫做二次函數(shù)的T殳式。

2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條

曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征：

①有開(kāi)口方向；②有對(duì)稱軸;③有頂點(diǎn)。

3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法

五點(diǎn)法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出

頂點(diǎn)M,并用虛線畫(huà)出對(duì)移由

(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)才苗出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸

的交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連

接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)才苗出拋物線與y軸的交點(diǎn)

C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如

果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,然后順次

連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像。

考點(diǎn)二、二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：

(2)頂點(diǎn)式：

(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，

根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交

點(diǎn)，則不能這樣表示。

考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值

如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值

(或最小值)，即當(dāng)時(shí)

如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi),

若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x二時(shí)，;若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范

圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)

時(shí)如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)

考點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì)

1、二次函數(shù)的性質(zhì)

函

二次函數(shù):

數(shù)

a>0a<0

小

/11

y

工--?

圖

像

0

X

0x

性(1)拋物線開(kāi)口向上，并向上(1)拋物線開(kāi)口［可下并向

質(zhì)無(wú)限延伸；卜尢限延伸；

(2)對(duì)稱軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)對(duì)稱軸是X=，頂點(diǎn)坐標(biāo)

是(，)；是(，)；

(3在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)

時(shí)，y隨X的增大而減小;X＜時(shí),y隨x的增大而增

在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞大；在對(duì)神由的右側(cè)，即

時(shí)，y隨X的增大而增大，當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大

簡(jiǎn)記左減右增；而減小，簡(jiǎn)記左增右減；

(4)拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x=(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x二

時(shí)，y有最小值，時(shí)，y有取人值，

2、二次函數(shù)中，的含義:

表示開(kāi)口方向：＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下

與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=

表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：(0,)

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與X軸是否有交點(diǎn)。

當(dāng)＞0時(shí)，圖像與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與X軸有一個(gè)交

點(diǎn)；當(dāng)＜0時(shí)，圖像與X軸沒(méi)有交點(diǎn)。

補(bǔ)充：

L兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思

路，以尋求解題方法)

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為(xi,yi)點(diǎn)B坐標(biāo)為(X2,y2)

則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為

2、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減

第八章圖形的初步認(rèn)識(shí)

考點(diǎn)一、直線、射線和線段

1、幾何圖形：從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面

圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體

圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖

形。

2、點(diǎn)、線、面、體

(1)幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。

(2)點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

3、直線的概念：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線

是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。

4、射線的概念：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個(gè)點(diǎn)叫做

射線的端點(diǎn)。

5、線段的概念：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段。這兩個(gè)

點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。

6、點(diǎn)、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示。一條直線可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示。

一條射線可以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示。一條線段可用它的端點(diǎn)

的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示。

注意：

(1)表示點(diǎn)、直線、射線、線段時(shí)，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線、

射線、線段。

(2)直線和射線無(wú)長(zhǎng)度，線段有長(zhǎng)度。

(3)直線無(wú)端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，線段有兩個(gè)端點(diǎn)。

(4)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有線面兩種：

①點(diǎn)在直線上，或者說(shuō)直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。②點(diǎn)在直線外，或者說(shuō)直線

不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

7、直線的性質(zhì)

(1)直線公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。它可

以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。

(2)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較

大小。

(4)直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。

(5)兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。

8、線段的，睦

(1)線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：

兩點(diǎn)之間線段最短。

(2)連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

(3)線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。

9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)

端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分

線上。

考點(diǎn)二、角

1、角的相關(guān)概念

有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂

點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線上時(shí)，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角

的角叫做鈍角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)

角叫做另一個(gè)角的余角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)

角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角。

2、角的表示

角可以用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的

有一下四種表示方法：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,N2,N3等。

②用小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如NOC，/B,NY，N0等。

③用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角)的

角,如NB,zC等。

④用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如NBAD,zBAE,zCAE等。

注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，

邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè)。

3、角的度量

角的度量有如下規(guī)定:把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，

單位是度,用"°"表示,1度記作"1°",n度記作"n。"。把1。的角

60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1'把1'的角60等

分，每一份叫做1秒的角,1秒記作"1"\1°=60/=60"

4、角的性質(zhì)

(1)角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小

有關(guān)。；(2)角的大小可以度量，可以比較；(3)角可以參與運(yùn)算。

5、角的平分線及其性質(zhì)：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這

條射線叫做這個(gè)角的平分線。

角的平分線有下面的性質(zhì)定理：（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊

的距離相等。（2里1」一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

考點(diǎn)三、相交線

L相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)

角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直

線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做

臨補(bǔ)角。

臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。

直線AB,CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線AB,CD被第三條直線

EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中N1與N5這兩個(gè)角分別在AB,CD的上

方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；z3與

Z5這兩個(gè)角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的

兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；Z3與N6在直線AB,CD之間，并側(cè)在EF的同

側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線

互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂

足。

直線AB,CD互相垂直，記作"AB_LCD"(或"CD_LAB"),讀作

"AB垂直于CD"(或"CD垂直于AB”\

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1:過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；性質(zhì)2:直線外

一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最

短。

考點(diǎn)四、平行線

1、平行線的概念

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號(hào)"II"

表示,如"ABIICD",讀作"AB平行于CD"。

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。

注意：

(1)平行線是無(wú)限延伸的，無(wú)論怎樣延伸也不相交。

(2)當(dāng)遇到線段、射線平行時(shí)，指的是線段、射線所在的直線平行。

2、平行線公理及其推論

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平

行。

3、平行線的判定：平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，

如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行。

平行線的兩條判定定理：

(1)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平

行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線

平行。簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

補(bǔ)充平行線的判定方法：

(1)平行于同一條直線的兩直線平行。(2)垂直于同一條直線的兩

直線平行。(3)平行線的定義。

4、平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同位角相等。(2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。(3)

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

考點(diǎn)五、命題、定理、證明

1、命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。

理解:命題的定義包括兩層含義(1)命題必須是個(gè)完整的句子t2)

這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確、錯(cuò)誤與否分）

「真命題（正確的命題）

命題

假命題（錯(cuò)誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯(cuò)誤的命題就是如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

3、公理

人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

4、定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明：判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明。

6、證明的一般步驟

（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫(xiě)出

已知、求證。（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明

過(guò)程。

考點(diǎn)六、投影與視圖

1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做

物體的投影。

平行投影：由平行光線（如太陽(yáng)光線）形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。

2、視圖

當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視

圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有

時(shí)也叫做側(cè)視圖。

第九章三角形

考點(diǎn)一、三角形

1三角形的概念：由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成

的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊汴目鄰兩邊的

公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，

簡(jiǎn)稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)

和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形

的中線。

(3)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段

叫做三角形的高線(簡(jiǎn)稱三角形的高X

3、三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫

做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要

穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個(gè)特性：

(1)三角形有三條線段\

(2)三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號(hào)""表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作"ABC",讀

作"三角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下:

<不等邊三角形

三角形;底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

;直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）

三角形f銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）

斜三角形

鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形:等腰直角三角形。

它是兩條直角邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：

三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形。②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三

邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰

的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的

內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大

邊對(duì)大角。

8、三角形的面積：三角形的面積=＞底義高

考點(diǎn)二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫

做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),

互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角

形中相鄰兩角的公共邊,夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的

角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號(hào)0”表示,讀作"全等于"。如SBCwDEF,讀作"三

角形ABC全等于三角形DEF"。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位

置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"邊角邊"或"SAS"）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"角邊角"或"ASA"）

（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成"邊

邊邊"或

"SSS"）o

直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直

角邊定理）:有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可

簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"）

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。

(2)對(duì)稱變換:將圖形沿某直線翻折180。,這種變換叫做對(duì)稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置,這種

變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

考點(diǎn)三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角)

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三

角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2:等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60%

(2)等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可

為鈍角(或直角\

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則＜a

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、NC,則

zA=180°—2zB,zB=zC=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊X這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的

邊相等。

推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2:有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直

角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

1、兩邊上中線相等的三角形

1、等腰三角形底邊上的中線垂

是等腰三角形；

直底邊，平分頂角；

中

2、如果一個(gè)三角形的一邊中

2、等腰三角形兩腰上的中線相

線線垂直這條邊（平分這個(gè)

等，并且它們的交點(diǎn)與底邊

邊的對(duì)角），那么這個(gè)三角

兩端點(diǎn)距離相等。

形是等腰三角形

角1、等腰三角形頂角平分線垂直1、如果二角形的J貞角平分線

平平分底邊；垂直十這個(gè)角的對(duì)邊（平

分分對(duì)邊），那么這個(gè)三角形

2、等腰二角形兩底角平分線相

線等，并且它們的交點(diǎn)到底邊是等腰三角形；

兩端點(diǎn)的距離相等。

2、三角形中兩個(gè)角的平分線

相等，那么這個(gè)三角形是

等腰三角形。

1、如果一個(gè)三角形一邊上的

1、等腰二角形底邊上的高平分

高平分這條邊(平分這條

頂角、平分底邊；

高邊的對(duì)角)，那么這個(gè)三角

2、等腰三角形兩腰上的高相等，

線形是等腰三角形；

并且它們的交點(diǎn)和底邊兩端

2、有兩條高相等的二角形是

點(diǎn)距離相等。

等腰三角形。

角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊

兩邊相等的三角形是等腰三

邊底的一半(腰長(zhǎng)(周長(zhǎng)的一半

角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形