高中數(shù)學《一元線性回歸模型及其應用》教案、導學案與同步練習

問題7：兒子身高與父親身高的關(guān)系，運用殘差分析所得的一元線性回

歸模型的有效性嗎？

殘接國,作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)

據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.

觀察表可以看一到,殘差有正有負,殘差的絕對值最大是4.413.觀察殘差的

散點圖可以發(fā)現(xiàn),殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明殘差比較符合

2

一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為。的隨機變量的觀測

值.可見,通過觀察殘差圖可以直觀判新模型是否滿足一元線性回歸模型

的假設.

一般地,建立經(jīng)驗回歸方程后,通常需要對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進行分

析，借助殘差分析還可以對模型進行改進，使我們能根據(jù)改進模型作出更

符合實際的預測與決策。

概

(1)(2)

(3)(4)

問題8：觀察以下四幅殘差圖，你認為哪一個殘差滿足一元線性回歸模

型中對隨機誤差的假定？

根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應是均值為0、方差

為M的隨機變量的觀測值.

圖（1）顯示殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應將時間變量納入模型；

圖（2）顯示殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應在模型中加入時間的非

線性函數(shù)部分；

圖（3）說明殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間變大而變大；

國（4）的質(zhì)的比妣物崢申在物柳NMMft的相*狀區(qū)域內(nèi).所

以，只有圖（4）滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假設。

二、典例解析

例L經(jīng)驗表明,對于同一樹種,一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上L3m

處的直徑）越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人

員希望由胸徑預測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時,某林場收集了

某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)

驗回歸方程.

編號123456

胸徑

18.120.122.224.426.028.3

/cm

樹高/m18.819.221.021.022.122.1

編號789101112

胸徑

29.632.433.735.738.340.2

/cm

樹高/m22.422.623.024.323.924.7

解：以胸徑為橫坐標,樹高為縱坐標作散點圖如下:

樹高/m

26

24

22

is--/=0.2493d+14.84

16?一???A—------------------------------------------?

15202530354045胸徑/cm

散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性

相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之

間的關(guān)系.

用d表示胸徑,h表示樹高,根據(jù)據(jù)最小二乘法,計算可得經(jīng)驗回歸方程為

0.2493d+14.84

編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預測值/m殘差/m

118.118.819.4-0.6

220.119.219.9-0.7

322.221.020.40.6

424.421.020.90.1

526.022.121.30.8

通過典型例題的

628.322.121.90.2

分析解決，提升

729.622.422.20.2學生對回歸方程

的理解和運用。

832.422.622.9-0.3

發(fā)展學生邏輯推

933.723.023.2-0.2理，直觀想象、

數(shù)學抽象和數(shù)學

1035.724.323.70.6

運算的核心素

1138.323.924.4-0.5養(yǎng)。

1240.224.724.9-0.2

根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預測值(精確到

0.1)以及相應的殘差，如下表所示.

以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，作殘差圖，得到下圖.

1.0

0.5

0.0

15202530,354645胸徑/cm

-0.5

-1.0

觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對值最大是0.8,所有殘差分

布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗回歸方程較

好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預測

樹高.

皿胞回歸I國的若木步%

(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應變量.

(2)畫出解釋變量與響應變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否

存在線性關(guān)系等).

(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型.

(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù).

(5)得出結(jié)果后需進行線性回歸分析.

①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.

②決定系數(shù)?取值越大，說明模型的擬合效果越好.

需要注意的是：若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題

意進行分析檢驗即可.

例2.人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給

出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)

據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年

份的經(jīng)驗回歸方程。

編號12345678

年份1891912192119301936195619601968

6

記錄11.10.610.410.310.210.110.09.95

/s80000000

解：以成對數(shù)據(jù)中的世界紀錄產(chǎn)生年份為橫坐標,世界紀錄為縱坐標作

散點圖，得到下圖，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一

元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.

用Y表示男子短跑100m的世界紀錄,t表示紀錄產(chǎn)生的年份，利用一元

線性回歸模型來刻畫世界紀錄和世界紀錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)

y,=-0.02033743?+49.76913031

將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖:

仔細觀察：從圖中可以看到，經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨

勢，請再仔細觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎？

篥f世界紀錄所對應的散點薄廨仝驗回歸直線，并且旗后廊時阿殿更

的戢盛郁森焦蕤屬色直線般上壽，中卿腐卿段岫散盛就嫡魅網(wǎng)羯直線

的下方.

這說明散點并不是隨機分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗

回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相

關(guān)的特征.

思考：你能對模型進行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？

仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附

近.回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀

特征

注意到100m短跑的第一個世界紀錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認為散點

是集中在曲線y=f(t)=c+cln(t-1895)的周圍，其中c、c為未知參

I212

數(shù)，且c<0.

2

用上述函數(shù)刻畫數(shù)據(jù)變化的趨勢,這是一個非線性經(jīng)驗回歸函數(shù),其中

CC是待定參數(shù),現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)C和C；令

1.2I2

x=ln(t-1895),則Y=cx+c對數(shù)據(jù)進行變化可得下表：

21

編號12345678

年份/t18961912192119301936195619601968

X0.002.833.263.563.714.114.174.29

記錄11.810.610.410.310.210.110.09.95

Y/s0000000

y2=-0.4264398x+l1.8012653

得到散點圖，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：

%=-0.4264398x4-11.8012653

衛(wèi)鹵表明,經(jīng)驗回歸方程對于成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.將

x=ln(t-1895)代入：將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：

y2=-0.4264398%+11.8012653

y2=-0.4264398In(，一1895)+11.8012653

對于通過創(chuàng)紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型,

得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？

國=-O-4264398X+11.8012653

%=-0.4264398ln(r-1895)+11.8012653②

我們發(fā)現(xiàn)，散點圖中各散點都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗回

歸方程②

對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠遠好于經(jīng)驗回歸方程①.

(1).直接觀察法.在同一坐標系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回

歸方程②的圖象(藍色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色).

8282

Qi=Z（e）=0.669,Q2=Z@）?0.004

i=\i=l

人①

y2=-0.4264398%+11.8012653

②

%=-0.4264398ln(?-1895)+11.8012653

(2).殘差分析:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.

Q明顯小于Q,說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.

21

2

(3).利用決定系數(shù)R刻畫回歸效果.

,殘差平方和

一總偏差平方和。

i=l

2

R越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好

R.越小，表示殘差平方和越大，即模型擬合效果越差.

①和②的R分別為0.7325和0.9983說明非線性回歸方程的擬合效果要

優(yōu)于線性回歸方程。

(4)用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗模型的擬合效果,事實上,我們還有1968年之

后的男子短跑100m世界紀錄數(shù)據(jù),如表所示

編號910JI12131415

1983198819911991199419961999

y9.939.929.909.869.859.849.79

編號161718192021

t200220052007200820082009

Y9.789.779.749.729.699.58

在散點圖中,繪制表中的散點(綠色)，再添加經(jīng)驗回歸方程①所對應的經(jīng)

驗回歸直線(紅色)，以及經(jīng)驗回歸方程②所對應的經(jīng)驗回歸曲線(藍色)，

得到右圖.顯然綠色散點分布在藍色經(jīng)驗回歸曲線的附近,遠離紅色經(jīng)驗

回歸直線，表明經(jīng)驗回歸方程②對于新數(shù)據(jù)的預報效果遠遠好于①.

思考：在上述問題情境中，男子短跑100m世界紀錄和紀錄創(chuàng)建年份之間

呈現(xiàn)出對數(shù)關(guān)系,能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫這種關(guān)系的強弱嗎？

在使用經(jīng)驗回歸方程進行預測時,需要注意下列問題：

(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體,例如,根據(jù)我國父親身

高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程,不能用來描述美國父親身高

與兒子身高之間的關(guān)系，同樣,根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的

數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述北方干早地區(qū)的樹高與胸徑之

間的關(guān)系。

(2)經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性,例如,根據(jù)20世紀80年代的父親身

高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程,不能用來描述現(xiàn)在的父親身

高與兒子身高之間的關(guān)系。

(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠，一般解釋變量的取值在

樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預報效果會比較好，超出這個范圍越

遠,預報的效果越差，

(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值，事實

上,它是響應變量的可能取值的平均值。

建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟：

1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；

2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；

3.通過財L將料I性經(jīng)驗回歸模型歸搬

4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；

5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；

6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.

跟蹤訓練1.一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收

集了6組觀測數(shù)據(jù)列于表中：

；agx/℃212324272932

產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777

經(jīng)計算得:

6__6_6_

Z(%-x)(y-y)=557，Za-x)2=84,^(y,.-y)2=3930,

/=!/=!/=!

線性回歸殘差的平方和：

62

W(%-為)=236,64,e80605?3167.

1=1

其中七，X分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，1=1,2,3,4,5,6.

(1)若用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的回歸方程f=左：+6

(精確到0.1)；

(2)若用非線性回歸模型擬合，求得y關(guān)于x回歸方程為

2

y=0.06ea2303x,且相關(guān)指數(shù)R=0.9522.

2

①試與(1)中的線性回歸模型相比較，用R說明哪種模型的擬合效果更

好？

②用擬合效果好的模型預測溫度為35c時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù).(結(jié)果

取整數(shù)).

n

—y.）2

附：相關(guān)系數(shù)/=］，=;1.

E（y,-y）2

i=\

解:（1）由題意得，n=6,x==26,y==33,

66

W（/一元）（%-為=557,2（Xi-元I?=84,

i=li=l

.Z（x,-；）（一）

b=---------------=—?6.6,a?33-6.6x26=-138.6.

￡（“384

r=l

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為夕=6.6%-138.6.

66

（2）對于線性回歸模型，28-衿2=3930,W（%-無）2=236.64

i=li=l

相關(guān)系數(shù)改=1-卻''）=1-空空”0.9398.

i（y.-?）23930

1=1

VO.9398<0.9522

ann（—°?2303r

???非線性回歸模型的回歸方程y=006e1,比線性回歸方程

擬合效果更好

②?=0.06e°-231,3,1==0.06ea231）3x35=0.06Xe80605：=?3167X0.06F90

（個）

預測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)為190個.

三、達標檢測

1.在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了四個不同的模型，且

通過練習鞏固本

它們的R?的值的大小關(guān)系為R版型3〈R氤”〈隘型1〈R嬴2,則擬合效果最好的是

節(jié)所學知識，通

()

過學生解決問

A,模型1B,模型2C.模型3D.模型4

題，發(fā)展學生的

B解析：在片表達式中，片越大，表示擬合效果越好.所以擬合效果

最好的是模型2.故選B.數(shù)學運算、邏輯

2.下列數(shù)據(jù)符合函數(shù)模型()推理、直觀想

X12345678910象、數(shù)學建模的

22.6933.383.63.844.084.24.3

y核心素養(yǎng)。

,1x

A.y=2+-xB.y=2e

o

1

C.y=exD.y=2+lnx

D解析：分別將x的值代入解析式判斷知滿足y=2+lnx.

3.已知經(jīng)驗回歸方程y=2x—1,則該方程在樣本(3,4)處的殘差為

-1解析：因為當x=3時，y=2X3—1=5,所以方程在樣本(3,4)處

的殘差是4—5=-1.

4.已知x與y之間的數(shù)據(jù)如下：

X23456

y2.23.85.56.57.0

(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；

(2)完成下面的殘差表并判斷(1)中經(jīng)驗回歸方程的回歸效果是否良好

(若逢0.9,則認為回歸效果良好).

X23456

yi—yi

z(Xi—x)(力一y)Zx，y:一nxy

八i=I1=1--

附：b=-----------------=-------------,a=y—bx,

X(Xi-X)2x2

Z(y.-yO2

i=l

R2=l-----------

E(y「y)'

i=l

解：(1)由已知圖表可知x=4,y=5,Zx：=90,

i=l

；*112.3-5X4X5*-*-

y^xiYi—112.3,則mlb—90_5義4?—卜21a—丫bx—0.08,

故y=L23x+0.08.

(2)因為ei=yi-y1,所以e1=—0.34,e2=0.03,e3=0.5,6i==0.27,

e5=-0.46,則殘差表為

X23456

yi—yi-0.340.030.50.27-0.46

5

因為Z(yi-7)2=(2.2—5)2+(3.8—5)2+(5.5—5尸+(6.5—5)』(7

i=i

\2八\2ll」20.651

-5)2=15.78,X(外一力)=0.651.所以R-=l-y^七0.96>0.9,

i=i

所以該經(jīng)驗回歸方程的回歸效果良好.

三、小結(jié)

1.比較兩個模型擬合效果的方法：（1）殘差法，殘差越大，擬合效果越

通過總結(jié)，讓學

差；殘差越小，擬合效果越小.（2）產(chǎn)法，R,越接近1,擬合效果越好，

生進一步鞏固本

R2越接近0,擬合效果越差.

節(jié)所學內(nèi)容，提

2.對于線性回歸模型與非線性回歸模型，當數(shù)據(jù)的散點圖分布在直線

高概括能力。

帶狀區(qū)域內(nèi)，則選用線性回歸模型刻畫；當數(shù)據(jù)的散點分布在曲線帶狀

區(qū)域內(nèi)，要先對數(shù)據(jù)進行適當變換，再利用線性回歸模型進行擬合.

【教學反思】

課后通過對教學過程的反思與研究，才能不斷完善教學設計中的不足，才能提升教材分析

的能力和課堂教學實效.

1.多元展示，多方評價.在教學過程中我借問題牽引，保證了課堂教學的順利實施；而在

整個過程中，我對學生所作練習、疑問及時解析評價；學生之間、小組之間的互相評價補

充，使學生共享成果分享喜悅，堅定了學好數(shù)學的信念，實現(xiàn)了預期目標.

2.創(chuàng)造性的使用教材.有別于教材，我在教學中，讓學生考察了分別考察了兩類題型之后

再引導學生進行歸納，這樣更貼近學生的認知水平，學生課后反饋，效果較為理想.

《8.2一元線性回歸模型及其應用》導學案

【學習目標】

1.能通過具體實例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.

2.通過對具體問題的進一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解

決，提高數(shù)學運算能力.

3.能通過實例說明決定系數(shù)R的意義和作用，提高數(shù)據(jù)分析能力。

2

【重點與難點】

重點：決定系數(shù)R的意義和作用

2

難點：某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題

【知識梳理】

一元線性回歸模型

用X表示父親身高,Y表示兒子身高,e表示隨機誤差，假定隨機誤差e的均值為0,方差為與

父親身高無關(guān)的定值。:則它們之間的關(guān)系可以表示為a[：2),(i)

我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型(simplelinearregressionmodel).

其中,Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為

截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機誤差,模型中的Y也是隨機變量,其值

雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加)，前一部分由x所確定，

后一部分是隨機的,如果e=0,那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.

2.經(jīng)驗回歸方程

nn

三（蒼一如（y一歹）_￡Xjyn三歹

￡（x.-x）2￡x.2-nx2y=bx+a

1=11=1

d=y-bx.

我們將y=+&稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式,

其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫最小二乘法.

注意：

1、經(jīng)驗回歸必過醫(yī),9).；2、3,6忑都是估計值.；3、6與r符號相同.

3.殘差分析.

我們稱y為響應變量Y的觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的夕為預測值.為了研究回歸模型

i1

的有效性，定義殘差為TyjZ，殘差是隨機誤差的估計值，通過對殘差的分析可判斷回歸

模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面的工作稱為聶慧

分析.

4.決定系數(shù)V刻畫回歸效果.

-殘差平方和

一總偏差平方和。

1=1

R越大，表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好

R越小，表示殘差平方和越大，即模型擬合效果越差.

【學習過程】

一、問題探究

通過前面的學習我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷

兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強弱等.

如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當?shù)慕y(tǒng)計模型刻

畫兩個隨機變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機關(guān)

系，并通過模型進行預測.

探究1:生活經(jīng)驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說,父親的身高較高時，

兒子的身高通常也較高.為了進一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學生的身

高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.，

編號1234567891011121314

父親身高

174170173169182172180172168166182173164180

/cm

兒子身高

176176170170185176178174170168178172165182

/cm

可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高

線性相關(guān).利用統(tǒng)計軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r比0.886,表明兒子身高和父親身高正線

性相關(guān)，且相關(guān)程度較高

160165170175180185父親身病/cm

探究2.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻

畫嗎？

編號1234567891011121314

父親身高

174170173169182172180172168166182173164180

/cm

兒子身高

176176170170185176178174170168178172165182

/cm

探究3：從成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條直線附

近表明兒子身高和父親身高有較強的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存

在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？

探究4：由探究3我們知道，正是因為存在這些隨機的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機

性各種隨機因素都是獨立的，有些因素又無法量化.你能否考慮到這些隨機因素的作用，用