2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)7.1.2蝗制及其與角度制的換算課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)二弧度制及其與角度制的換算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.轉(zhuǎn)化為角度是 ()A.-300° B.-600°C.-900° D.-1200°【解析】選B.因?yàn)?rad,所以【補(bǔ)償訓(xùn)練】把56°15'化為弧度是 ()A. B. C. D.【解析】選D.56°15'=56.25°=.2.與角QUOTEπ終邊相同的角是 ()A.QUOTEπ B.2kπ-QUOTEπ(k∈Z)C.2kπ-QUOTEπ(k∈Z) D.(2k+1)π+QUOTEπ(k∈Z)【解析】選C.選項(xiàng)A中QUOTE=2π+QUOTEπ,與角QUOTEπ終邊相同,故A項(xiàng)錯(cuò);2kπ-QUOTEπ,k∈Z,當(dāng)k=1時(shí),得[0,2π)之間的角為QUOTEπ,故與QUOTEπ有相同的終邊,B項(xiàng)錯(cuò);2kπ-QUOTEπ,k∈Z,當(dāng)k=2時(shí),得[0,2π)之間的角為QUOTEπ,與QUOTEπ有相同的終邊,故C項(xiàng)對(duì);(2k+1)π+QUOTEπ,k∈Z,當(dāng)k=0時(shí),得[0,2π)之間的角為QUOTEπ,故D項(xiàng)錯(cuò).【補(bǔ)償訓(xùn)練】與30°角終邊相同的角的集合是 ()A.QUOTEB.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}D.QUOTE【解析】選D.與30°角終邊相同的角α=k·360°+30°,k∈Z化為弧度制為α=2kπ+QUOTE,k∈Z.3.自行車的大鏈輪有88齒,小鏈輪有20齒,當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí),小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò) ()A.QUOTErad B.QUOTErad C.QUOTErad D.QUOTErad【解析】選B.由題意,當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí),小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)QUOTE周,QUOTE×2π=QUOTE.4.在不等圓中1rad的圓心角所對(duì)的 ()A.弦長(zhǎng)相等B.弧長(zhǎng)相等C.弦長(zhǎng)等于所在圓的半徑D.弧長(zhǎng)等于所在圓的半徑【解析】選D.依據(jù)弧度制的定義,因?yàn)?弧度的角就是弧長(zhǎng)與半徑之比等于1的角,所以1rad的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于所在圓的半徑.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在半徑不等的圓中,半徑長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓心角 ()A.為1弧度B.各不相等,半徑長(zhǎng)則圓心角大C.各不相等,半徑長(zhǎng)則圓心角小D.都相等為QUOTE弧度【解析】選D.60°=QUOTE弧度.5.已知扇形的圓心角α=QUOTEπ,所對(duì)的弦長(zhǎng)為4QUOTE,則弧長(zhǎng)等于 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選D.如圖所示,∠AOB=α=QUOTEπ,AB=4QUOTE,過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB,C為垂足,延長(zhǎng)OC交QUOTE于D,則∠AOD=∠BOD=QUOTE,AC=QUOTEAB=2QUOTE;在Rt△AOC中,r=AO=QUOTE=4,從而弧長(zhǎng)為l=α·r=QUOTEπ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】圓弧長(zhǎng)度等于它所在的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng),則它所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.2【解題指南】先求出半徑為r的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng),再依據(jù)弧長(zhǎng)公式求圓心角.【解析】選C.如圖,設(shè)圓的半徑為r,圓心為O,圓的內(nèi)接正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,在直角三角形ODC中,∠OCD=30°,所以CD=OCcos30°=QUOTEOC,所以a=2×QUOTEr=QUOTEr,代入弧長(zhǎng)公式得QUOTEr=αr,所以α=QUOTE.6.(多選題)若QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),則QUOTE的終邊不行能在 ()A.第一象限 B.第四象限C.x軸上 D.y軸上【解析】選ABC.因?yàn)镼UOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),所以α=6kπ+π(k∈Z),所以QUOTE=3kπ+QUOTE(k∈Z).當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),QUOTE的終邊在y軸的非正半軸上;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),QUOTE的終邊在y軸的非負(fù)半軸上.綜上,QUOTE的終邊在y軸上.二、填空題(每小題4分,共8分)7.如圖所示,圖中馬路彎道處QUOTE的弧長(zhǎng)l=.(精確到1m).

【解析】依據(jù)弧長(zhǎng)公式,l=αR=QUOTE×45≈47(m).答案:47m【補(bǔ)償訓(xùn)練】在單位圓中,面積為1的扇形所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為.

【解析】由題意可得S=QUOTElr?1=QUOTEl×1?l=2?α=QUOTE=2.答案:28.在扇形中,已知半徑為8,弧長(zhǎng)為12,則圓心角是弧度,扇形面積是.

【解析】|α|=QUOTE=QUOTE=QUOTErad,S=QUOTEl·r=QUOTE×12×8=48.答案:QUOTE48【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,扇形AOB的面積是1,它的弧長(zhǎng)是2,則扇形的圓心角α的弧度數(shù)為;弦AB的長(zhǎng)為.

【解析】由扇形面積公式S=QUOTElr,又α=QUOTE,可得S=QUOTE·QUOTE,所以α=2,易得r=1,結(jié)合圖像知AB=2rsinQUOTE=2sin1.答案:22sin1三、解答題(每小題14分,共28分)9.(1)把310°化成弧度.(2)把QUOTErad化成角度.(3)已知α=15°,β=QUOTE,γ=1,θ=105°,φ=QUOTE,試比較α,β,γ,θ,φ的大小.【解析】(1)310°=QUOTE×310=QUOTErad.(2)QUOTErad=QUOTE°=75°.(3)方法一(化為弧度):α=15°=15×QUOTE=QUOTE.θ=105°=105×QUOTE=QUOTE.明顯QUOTE<QUOTE<1<QUOTE.故α<β<γ<θ=φ.方法二(化為角度):β=QUOTE=QUOTE×QUOTE°=18°,γ=1≈57.30°,φ=QUOTE×QUOTE°=105°.明顯,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第幾象限角?(1)-1725°.(2)QUOTE.【解析】(1)因?yàn)?1725°=-5×360°+75°,所以-1725°=-10π+QUOTE.所以-1725°角與QUOTE角的終邊相同.又因?yàn)镼UOTE是第一象限角,所以-1725°是第一象限角.(2)因?yàn)镼UOTE=20π+QUOTE,所以QUOTE角與QUOTE角的終邊相同.又因?yàn)镼UOTE是第三象限角,所以QUOTE是第三象限角.10.x軸正半軸上一點(diǎn)A繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)A每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)θ角(0<θ≤π),經(jīng)過(guò)2min到達(dá)第三象限,經(jīng)過(guò)14min回到原來(lái)的位置,那么θ