高中數(shù)學(xué)高考三角函數(shù)重點(diǎn)題型解析及常見試題、答案+數(shù)列常見題型總結(jié)

高中數(shù)學(xué)高考三角函數(shù)重點(diǎn)

型解析及常見試題、答案+數(shù)列常見題型總結(jié)

高考三角函數(shù)重點(diǎn)題型解析及常見試題(附參考答案)

三角函數(shù)的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)(單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值)，

三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換(主要是求值)，三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)

用，平面向量的基本問(wèn)題及其應(yīng)用.

題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正

余弦函數(shù)的有界性，通過(guò)三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

例1若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是

（）

A.-1B.*\/2C.---Fy/0,D.--Fy/o.

22

分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于?的，而（sinx+cosx『=l+2sinxcosx,換元解

決.

解析：由0<x<工，令r=sinx+cosx=0sin（x+囚），而乙<x+工《工萬(wàn)，得

344412

1<?<A/2.

*一］

又r=l+2sinxcosx,Wsinxcosx=----,

得＞=，+一_Mga+i)?—1,有1+0＜＞〈0+電產(chǎn)■=3+g.選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)：涉及到sinx±cosx與sinxcosx的問(wèn)題時(shí)，通常用換元解決.

解法二：y=sinx+cosx+sinxcosx=V2sin|x+—|+—sin2x,

I4；2

當(dāng)X=?時(shí),丁皿=夜+('選D。

例2.已知函數(shù)/(x)=26rsinxcosx+2/?cos~x.,且/(0)=8,/(—)=12.

6

(1)求實(shí)數(shù)a,8的值；(2)求函數(shù)/(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值.

分析：待定系數(shù)求a，b；然后用倍角公式和降塞公式轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

解析：函數(shù)/(x)可化為/(x)=asin2x+6cos2x+b.

嗎）=*"+|6=12,所以

（1）由/（0）=8,/（：）=12可得/（0）=28=8,

b=4,a=4>/3.

(2)/(x)=4>^sin2x+4cos2x+4=8sin(2x+—)+4,

6

故當(dāng)2*+7=2左乃+］即x=br+?(左eZ)時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值為12.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論asine+Z7Cose=d/sin(e+0)是三角函數(shù)中的一個(gè)重要公式，它

在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡(jiǎn)求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)

用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問(wèn)題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題

的重點(diǎn)內(nèi)容.

題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考

所重點(diǎn)考查的問(wèn)題之一.

例3.(2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題)為得到函數(shù)y=cosl2x+jj的圖象,

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象

5兀5兀

A.向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移T個(gè)長(zhǎng)度單位

1212

5715兀

C.向左平移i個(gè)長(zhǎng)度單位D.向右平移竺個(gè)長(zhǎng)度單位

66

分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決.

71715萬(wàn)

解析：函數(shù)y=cos!2x+—I=sinl2x+—+—|=sinl2x+=sin2|x+-

332~6~I12

故要將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移匚個(gè)長(zhǎng)度單位，選擇答案A.

圖象是

分析：分段去絕對(duì)值后，結(jié)合選擇支分析判斷.

Rtanx,Jtanx<sin^結(jié)合選擇支

解析：函數(shù)y=tanx+sin尤Ttanx-sinX='

2sin%,當(dāng)tanx之sinA0寸

和一些特殊點(diǎn)，選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段

不準(zhǔn)確時(shí)，就會(huì)解錯(cuò)這個(gè)題目.

題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過(guò)和與差的，二倍角的三角變換公式解

決.

例5（2008高考山東卷理5）已知cos（?-巴〕+sina=1百，則sin[a+,）的值

16

是

262>/34

A.-----B.---C.-D.—

555

分析：所求的sin[a+*J=sin(a+?),將已知條件分拆整合后解決.

解析：

c(3.G4

C,cosa——+sina=----<=>—sincr+——cosa=----osma+—=—

I6j5225I6j5

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識(shí)，考查分拆與整合的

數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)8$]。-￡]+411。=：百的分拆與整合.

例6（2008高考浙江理8）若cosa+2sina=-石，則tana二

11

A.—B.2C.---D.—2

22

分析：可以結(jié)合己知和求解多方位地尋找解題的思路.

j2?

方法一：\J5sin（a+（p）=-5/5,其中sine=T，cos"=丁，即tan°=一,

冗冗

再由5缶（^+0）=一1知道0+夕=2%%一5（左￡2）,所以a=2%萬(wàn)一5一夕,

所以tana=tanf2%萬(wàn)一工一夕]=tanf--=—1-C0S(P_?.

[2)(2J4->臼9

方法二：將已知式兩端平方得

cos26r+4cos6zsincif+4sin2a=5=5(sin2cir+cos2a

=>sin2or-4sinacosa+4cos2a=0

=tan2a—4tana+4=0=>tana=2

方法三：令sina—2cosa=，，和已知式平方相加得5=5+/，故，=0,

即sin。-2cosa=0,故tana=2.

方法四：我們可以認(rèn)為點(diǎn)A/（cosa,sin。）在直線x+2y=->/5上，

[x=6------

而點(diǎn)"又在單位圓f+y2=i上，解方程組可得|5,

2V5

、，=一丁

從而tana=2=2.這個(gè)解法和用方程組卜；+2sm：=-不求解實(shí)質(zhì)上是一致

xsin-a+cos-a=1

的.

方法五：a只能是第三象限角，排除C.D.,這時(shí)直接從選擇支入手驗(yàn)證，

由于，計(jì)算麻煩，我們假定tana=2,不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出

2

=-半,cosa=—1g,檢驗(yàn)符合已知條件，故選B.

sina

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的"已知

sin夕+cos4=g,尸e（0,萬(wàn)），求tan￡的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后

一題第一問(wèn)）”之類的題目，背景是熟悉的，但要解決這個(gè)問(wèn)題還需要考生具有相當(dāng)?shù)?/p>

知識(shí)遷移能力.

題型4正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類問(wèn)題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問(wèn)題，主要表現(xiàn)在

航海和測(cè)量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型.

例7.（2008高考湖南理19）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)

為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛

的船只位于點(diǎn)A北偏東45'且與點(diǎn)A相距40近海里的位置3,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該

船已行駛到點(diǎn)A北偏東45。+。（其中sin9=，?S,0。<8<90,）且與點(diǎn)A相距

26

10河海里的位置C.

（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖.第一問(wèn)實(shí)際上就是求BC的長(zhǎng)，在AABC中用余

弦定理即可解決；第二問(wèn)本質(zhì)上求是求點(diǎn)E到直線BC的距離，即可以用平面解析幾何

的方法，也可以通過(guò)解三角形解決.

解析：（1）如圖，AB=4O0AC=lOy/13,ZBAC=G,sin0=-.

26

由于0。<6<90°,所以cos9=

由余弦定理得BC=VAB2+AC2-2AB.AC?cos0=1075.

所以船的行駛速度為號(hào)6=15石（海里/小時(shí)）.

3

（2）方法一：如上面的圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別是3（玉,y）,C（%2,%），6C與x軸的交點(diǎn)為。.

由題設(shè)有，芯=乂=5-48=40,

赴=ACcosZG4D=10V13cos（450-6>）=30,

必=ACsinACAD=10713sin（45-0=20.

20

所以過(guò)點(diǎn)B,C的直線l的斜率k=^=2,直線/的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E（0,-55）到直線/的距離d==375<7,所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二：如圖所示，設(shè)直線4E與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。.在AABC中，由余弦

定理得,

A3?+302—AC?402x2+102x5-1()2x133710

cosZABC=

2ABBC_2x4072x107510

從而sinZABC=Vl-cos2Z/15C=

40&巫

ABsinZABC

在AABQ中，由正弦定理得，4。=_______10_=40.

sin(45-ZABC)V225/10

—x------

210

由于AE=55>40=AQ,所以點(diǎn)0位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且上Q=AE—AQ=15.

過(guò)點(diǎn)￡作EP_L6C于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)、E到直線BC的距離.

在RtAQPE中，

號(hào)=3后

PE=QEsinNPQE=QE-sinZAQC=QE-sin(45-ZABC)=15x<7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

點(diǎn)評(píng)：本題以教材上所常用的航海問(wèn)題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能

力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫出正確的解題圖.本題容易出現(xiàn)兩個(gè)方面的錯(cuò)

誤，一是對(duì)方位角的認(rèn)識(shí)模糊，畫圖錯(cuò)誤；二是由于運(yùn)算相對(duì)繁瑣，在運(yùn)算上出錯(cuò).

題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的

結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問(wèn)題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量

問(wèn)題，更多的時(shí)候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問(wèn)題才是考查的重點(diǎn).

例8(2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第18題)已知向量

a=(2cos〃x,cos2?:)》=(sin?:,l),(<w>0),令=a%,且/(x)的周期為

⑴求的值；⑵寫出/(x)在［一李自上的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)/(X)的解析式求出來(lái)，再根據(jù)/(X)的

周期為7就可以具體確定這個(gè)函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決即

可.

解析：⑴

/(x)=aB=2coswsinoir+cos26m:=sin2柄+cos2g=V2sin(26izr+—),

4

f(x)的周期為乃.a)=i,f(x)=V2sin(2x+—)，

4

.,./(?)=sin'+cos/=1.

(2)由于/(x)=J^sin(2x+工)，

4

當(dāng)一g+2x+?W1+2攵萬(wàn)(左cZ)時(shí)，單增，

即一旦+工+Z乃(kGZ),*/xe

8822

???/(x)在［—工，工］上的單調(diào)遞增區(qū)間為［―也,芻.

2288

點(diǎn)評(píng):本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì),

這是近年來(lái)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

例9(2009江蘇泰州期末15題)

已知向量a=（3sina,cosa）,B=（2sina,5sina-4cosez）,aey,2^-L且

a.Lb.

(1)求tana的值；

(2)求的值.

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的等式，通過(guò)這個(gè)等式

探究第一問(wèn)的答案，第一問(wèn)解決后，借助于這個(gè)結(jié)果解決第二問(wèn).

解析：(1)a.Lb,/.a-b=0.而q=(3sina,cosa),

B=(2sina,5sina-4cosa),

故?-^=6sin2a+5sinacosa-4cos2a=0,由于cosawO,

/.6tan2a+5tan-4=0,

4i手兀），

解得tana=——，或tana=—?*/aG2tancr<0,

32

故tana=—（舍去）.tana=——.

23

/-、..（3兀八、.a/3兀、

（2）.CX€--，271t.?—G（---，兀）.

（2）24

4、/cczy

由tana=——，求得tan—=——tan-=2（舍去）.

3222

2525

（aait.a.n261石百2A/5+V15

cos——I——|=cos-cos——sin—sin—=-------x--------x——=

V23J2323525210

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的垂直為依托，實(shí)質(zhì)上考查的是三角恒等變換.在解題要注意角的范

圍對(duì)解題結(jié)果的影響.

題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)

角和是萬(wàn)，有的時(shí)候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化,

然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來(lái)高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型.

例10.(安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17題)三角形的三內(nèi)角A,

B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)向量加=(c-a,b-a),〃=(a+/?,c),若加//〃，

(1)求角3的大??；

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余

弦定理解決第一問(wèn)，第一問(wèn)解決后，第二問(wèn)中的角AC就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其

中的一個(gè)表達(dá)另一個(gè)，就把所要解決的問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)角的三角函數(shù)問(wèn)題.

解析：(1)vmlIn,:.c(c-a)-(b-a)(a+b),

c2-ac^b2-a2,a2+c2-^2=1.由余弦定理，得cosB=L,B=三.

ac23

一,2萬(wàn)

(2)?.?A+8+C=乃,，A+C=—,

3

2〃*TT2九"

/.sinA+sinC=sinA+sin(-—A)=sinA+sin—cosA-cos—sinA

=—sinA+—cosA=\/3sin(A+—)

226

八，2JIn，萬(wàn)5萬(wàn)

0<A<—,—<AH—<—

3666

—<sin(A+—)<1,—<sin/I+sinC<V3

262

點(diǎn)評(píng)：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等

變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對(duì)結(jié)果的影

響.

題型7用平面向量解決平面圖形中的問(wèn)題：由于平面向量既有數(shù)的特征(能進(jìn)行類似

數(shù)的運(yùn)算)又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問(wèn)題就是必然的

了，這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn).考試大綱明確指出用會(huì)用平面向量解決平面幾何問(wèn)

題.

例11.如圖，已知點(diǎn)G是AA3。的重心，點(diǎn)尸在。4上，點(diǎn)0在08上，且PQ過(guò)

AABO的重心G,OP=mOA,OQ^nOB,試證明,為常數(shù)，并求出這個(gè)常

mn

數(shù).

o

分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量

表達(dá)出來(lái)，本題的本質(zhì)是點(diǎn)P,G,Q共線，利用這個(gè)關(guān)系尋找相，〃所滿足的方程.

解析：令=OB=b,則而=〃而，OQ=nb,設(shè)A3的中點(diǎn)為M,顯然

OA/=5（￡+B）.，因?yàn)镚是AABC的重心，所以06=耳0貶=］（￡+5）.由P、

G、。三點(diǎn)共線，有對(duì)、詼共線，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使PG=AGQ,

而PG=OG-OP=g（。+B）-ma=（；-m）a+，

GQ=0Q-0G=nb-^（a+h）=一++（〃一；歷,

1-1-1一1一

所以（§_m）a+—/?=A［--Q+（〃—-）/7］.

11.

—m=—A

又因?yàn)?、B不共線，由平面向量基本定理得,33,消去;I,

整理得3,初?=機(jī)+〃，故'+'=3.結(jié)論得證.這個(gè)常數(shù)是3.

mn

【點(diǎn)評(píng)】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問(wèn)題

是一個(gè)重要方面，其基本思路是根據(jù)采用基向量或坐標(biāo)把所要解決的有關(guān)的問(wèn)題表達(dá)出

來(lái)，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)加以處理.課標(biāo)區(qū)已把幾何證明選講列入選考范圍，應(yīng)

引起同學(xué)們的注意.

題型8用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問(wèn)題：導(dǎo)數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)里引進(jìn)的一個(gè)研究函數(shù)的重要工

具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問(wèn)題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值.

例12.已知函數(shù)/（x）=cos2x+2rsin%cosx-sin2x,若函數(shù)f（x）在區(qū)間（土,工］上

126

是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

分析：函數(shù)的/（X）導(dǎo)數(shù)在（展,今］大于等于零恒成立.

TTTTITTC

解析：函數(shù)/（%）在區(qū)間（―,-］上是增函數(shù),則等價(jià)于不等式f（x）＞0在區(qū)間（―,-］

126126

上恒成立，即/''(?=—2sin2x+2rcos2x20在區(qū)間(立,芻上恒成立，從而

126

r2tan2x在區(qū)間(―，工］上恒成立，而函數(shù)y=tan2x在區(qū)間(―,—］上為增函數(shù)，

126126

所以函數(shù)y=tan2x在區(qū)間(土,。上的最大值為jmax=tan(2x工)=6，所以

1266

t>V3為所求.

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的

思想意識(shí).本題如將/(x)化為/(x)=fsin2x+cos2x=J?Hsin(2x+9)的形式，

則。與;有關(guān)，討論起來(lái)極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題就很容易解決.

題型9三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合

性的試題，解決這類問(wèn)題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方

向進(jìn)行思考.

例13.設(shè)二次函數(shù)/。)=/+云+0(仇。6/?),已知不論a,夕為何實(shí)數(shù)，恒有

/(sina)20和f(2+cos/?)<0.

(1)求證：b+c=—\；

(2)求證：cN3；

(3)若函數(shù)/(sin。)的最大值為8,求力，c的值.

分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出/(1)=0,再結(jié)合有界性探求.

解析：(1)因?yàn)椤?4而041且/何11。)20恒成立，所以/⑴20,又因?yàn)?/p>

142+cos〃43且/(2+cos/?)《。恒成立，所以/⑴40,從而知/⑴=0,

l+/?+c=0,即〃+c=—1.

(2)由l〈2+cos￡W3且/(2+cos/?)K0恒成立得/(3)<0,即9+3Z?+c<0,

將匕=一1一。代如得9-3—3c+c4。，即c23.

(3)/(sina)=sin2a+(-l-c)sina+c=(sina——^)2+c-(-^-)2,

1+c1—〃+c'=8

因?yàn)椤?2,所以當(dāng)sina=—l時(shí)[/(sina)]nwt=8,由<,解得

2[l+Z?+c=0

b=Y,c=3.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是A+c=-l,由1,(sin‘)”°利用正余弦函數(shù)的有界性得出

/(2+cos/?)<0

川)20

從而了⑴=0,使問(wèn)題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用.

〃1)40

【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】

一、選擇題

1.若aG[0,2TT),且Jl-cos?a+J1-sin?a=sina-cosa,則a的取值范圍是()

A.[0,彳]B.[—C.[TT,--]D-

2222

2.設(shè)a是銳角，且lg(l-cosa)=m,1g------=n,則lgsina=()

1+cosa

1/1、m-n11

A.m-nB.—(m——)C.-----D.—(z---n)

2n22m

3.若|￡|=2sinl50,出|=4cosl50,￡與B的夾角為30°,則()

A./

B.y/3C.273D.—

22

4.若。為ZVIBC的內(nèi)心，且滿足(而—女)?(礪+玄—2函)=0,則AA8C的形狀為

()

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

5.在AABC中，若，-則ZVLBC是)

cosAcosBcosC

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.已知向量03=(2,0)、OC=(2,2)、C4=(V2cosa,V2sin?),則直線Q4與直線OB

的夾角的取值范圍是)

A.[―,—]B.]D.嗚]

1212412

二、填空題

7.sin6JC+COS6x+3sin2xcos2x的化簡(jiǎn)結(jié)果是.

8.若向量7與B的夾角為。，則稱ZxB為它們的向量積，其長(zhǎng)度為|￡x坂|=|￡|.|B|sin。,

已知|a|=1,|區(qū)1=5,S.a-b=-4,則|ax5|=.

9.一貨輪航行到某處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨后貨

輪按北偏西30。的方向航行30分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為

每小時(shí)海里.

三、解答題

[sin2(---dz)+4cosa

10.已知：tan(〃+a)=一—,tan(a+/)=-----------------.

310cosa-sin2a

(1)求tan(a+O)的值;

(2)求tan￡的值.

已知函數(shù)/(x)=>/3sin(j+2sin2(x--^-)(xe/?).

12

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期;

(2)求使函數(shù)/(X)取得最大值的x的集合.

12.已知向量a=(cosa,sina),B=(cos￡,sin/?),卜一q=2f.

(1)求cos(c—/)的值；

TTTTS

(2)若0<a<一,——</?<0,且sin〃=-----,求sina.

2213

【參考答案】

1.解析：B由已知可得sina2(),且cosa<0,故得正確選項(xiàng)B.

2.解析：Clg(l+cosa)=-n與lg(l-cosa)=m相加得lg(l-cos2a)=m-n

21gsina=m-nf故選C.

3.解析：Ba-S=4sin30°cos30°=2sin60°=^,選B.

4.解析：A已知即麗?(而+/)=0,即邊BC與頂角NBAC的平分線互相垂直，這表

明A48C是一個(gè)以AB、AC為兩腰的等腰三角形.

5.解析：B依題意，由正弦定理得sinA=cosA,且sinB=cosB,sinC=cosC,故得.

6.解析：A由|C%|=2為定值，7.A點(diǎn)的軌跡方程為(x—2)2+(>-2)2=2,由圖形易知

所求角的最大、最小值分別是該圓的切線與x軸的夾角，故得.

7解析：1原式

=(sin2x+cos2x)3-3sin4xcos2x-3sin2xcos4x+3sin2xcos2x=1.

,,43--3

8.解析：3由夾角公式得cos6=——,??.sin6=-,|ax式|=lx5x-=3.

555

9.20(V6-V2)解析：設(shè)輪速度為x海里/小時(shí)，作出示意圖，由正弦定理得

1

一x20

二一=,解得尤=20(八一加).

sin30°sin105°

10.解析：(1)?「tan(4+。)=——tana=——,

sin(?-2a)+4cos2a_sin2a+4cos之a(chǎn)

tan(a+,)=

10cos?a-sin2a10cos26r-sin2cr

2sinacosa+4cos2a_2cos?(sina+2cosa)_sina+2cosa_tana+2

10cos2a-2sinacosa2cosa(5cosa-sina)5cosa-sina5-tana

--+2

a5

tan(a+￡)=—-

16

5+l

3

51

—i—

/、c「/小rtan(cr+/?)-tana31

(2)tanp=tan[(a+/)—a]=-----------------------，'tanQ=23]

l+tan(a+0tana43

11.解析：(1)因?yàn)?(x)=6sin(2x—3)+l—cos2(x—^

=2sin(2x-yj+l

所以〃x）的最小正周期T=1?=%.

(2)當(dāng)取最大值時(shí)，sin(2x—gj=l,此時(shí)2x_q=2版■+"(ZeZ),即

57T.5〃

“八"弋（左￡Z）,所以所求工的集合為,XX=K7T-\-->(Z:eZ).

12

12.解析：(1)a=(cosa,sina),b=(cosy?,sin/?),

「?a-B=(cosa-cos/?,sina-sin尸).

.平斗平,J(cosa-cos夕『+(sina-sin夕『二2f

43

即2-2cos(a-/7)=(，/.cos(f)=g.

717T

(2)0<av—,—~v4<0,Ova—，

,/cos（a—/?）=—,sin（?-/7）=—.

?05q12

,/sinp=---,/.cosp=一,

1313

sina=sin+=sin（o-/?）cos4+cos（a-/?）sin/?

4123f5A33

二---1—---------=—.

5135I13J65

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列一數(shù)列（常見、?？碱}型總結(jié)）（附參考答案）

題型一：求值類的計(jì)算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）

A）根據(jù)基本量求解（方程的思想）

1、已知S,為等差數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和，%=9,%=-6,S〃=63,求“；

2、等差數(shù)列｛凡｝中，4=10且。3,%，即）成等比數(shù)列，求數(shù)列｛凡｝前20項(xiàng)的和S20.

3、設(shè)｛4｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若%=1嗎=16,求數(shù)列｛%｝前7項(xiàng)的和.

4、已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37,中間

兩數(shù)之和為36,求這四個(gè)數(shù).

B）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）

1、已知S,為等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和，a5=100,則L=；

2、設(shè)S“、分別是等差數(shù)列｛4｝、｛4｝的前〃項(xiàng)和，&=義t2,則&=______.

T,n+3b5

3、設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若&=』,則邑=（）

%955

4、等差數(shù)列｛e,｝,｛a｝的前〃項(xiàng)和分別為S“,7；,若a=3-,則%=（）

Tn3〃+1bn

5、己知Sn為等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和，Sn=m,Sm=n（n*⑼，則Sni+n=.

6、在正項(xiàng)等比數(shù)列｛?！埃?，+2%%+。3%=25，則%+%=.。

7、已知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，若

%+%+。10=17,%++“6-----F《2+%3+。14=77且/=13,則k=

8、己知S,為等比數(shù)列｛七｝前〃項(xiàng)和，S“=54,S2n=60,則%=.

9、在等差數(shù)列｛%｝中，若§4=1,§8=4,則如+陽(yáng)+%+2。的值為（）

10、在等比數(shù)列中，已知名+勾。=。（a*0），49+40=人，則49+即）0=.

11、已知｛4｝為等差數(shù)列，《5=8,4（）=20，則的5=

12、等差數(shù)列｛4,｝中，已知顯=L求生.=_____________________,

§83S16

題型二：求數(shù)列通項(xiàng)公式：

A)給出前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,???,

3,-33,333,-3333,33333……

B)給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式

2

1、(1)Sn=2/7+3n；(2)S“=3"+1.

2、設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4+3出+32%+…+3"求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

c)給出遞推公式求通項(xiàng)公式

a、⑴已知關(guān)系式。,用=%+/(〃)，可利用迭加法或迭代法；

an=(。"一/T)+(a,I-4"-2)+3"-2一。"-3)+…+(。2一。|)+%

例：已知數(shù)列｛%｝中，%=2,凡=/_1+2〃一1(〃22),求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

b、已知關(guān)系式*+1=?！?/(〃)，可利用迭乘法……2

an-\an-2an-3。2

例、已知數(shù)列｛4｝滿足：-^=—(?>2),a1=2,求求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

%〃+1

c、構(gòu)造新數(shù)列

n

1°遞推關(guān)系形如“a?+l=pa,,+q,利用待定系數(shù)法求解

例、己知數(shù)列｛%｝中，卬=1,??+1=2??+3,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

2°遞推關(guān)系形如“，兩邊同除"陽(yáng)或待定系數(shù)法求解

例、q=l,a?+l=2an+3",求數(shù)歹U｛%｝的通項(xiàng)公式.

n

3°遞推已知數(shù)列｛a,,｝中，關(guān)系形如“an+2=p-。,田+q-an,利用待定系數(shù)法求解

例、己知數(shù)列｛4｝中，6=1,七=2,*=3a?+1-2an,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

4°遞推關(guān)系形如"an-pa“_i=qa“a“_](p,q/0),兩邊同除以a,,。,一

例1、已知數(shù)列｛%｝中，a“-=2a“a,i(n22),a1=2,求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式.

例2、數(shù)列｛%｝中，q=2,/用=烏J(〃eN+),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

4+%

d、給出關(guān)于5?和品的關(guān)系

例1、設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知q=a,an+i=5?+3"(〃eN.),設(shè)hn=S?-3",

求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

例2、設(shè)S“是數(shù)列",｝的前〃項(xiàng)和，％=1,S；=a,[s,一>2).

⑴求｛"“｝的通項(xiàng)；

⑵設(shè)bn=一&一,求數(shù)列物,｝的前〃項(xiàng)和Tn.

2n+l

題型三：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列

A)證明數(shù)列等差

C

例1、已知S,為等差數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和，2=E(〃eN+).求