精講精煉（必修第二冊(cè)） 6.4.2正、余弦定理

6.4.2正、余弦定理（精講）

思維導(dǎo)圖

三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的邊a、b、c叫做三角形的元

解三素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形

角形

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方

的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

2bc

余

弦

定lea

理

a2-^-b2一c2

公式c1=a1-\-b1-2abeQSClab

-----------------------------0---------

使用條件…三邊求角^兩邊一角求邊

-------------------------。

內(nèi)容…在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

<3）-----------------------------------------------------------------

—^—=—^—=—^—=2R(R為4ABC外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

正

邊化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=21?sinC

弦--------?-----------------------------------------

定sinAasinsinCC

理99

角化邊…2K2R2R

--------?----------------------------------------

a+b+c

a：b：c=siuZ:sinBZsinC--------

比值sin.4+sin^+sinCsinA

使用條件…一邊求邊角兩邊一對(duì)應(yīng)角求角

<Z>

=

S^4BC~oha(ha為邊。上的高)

SA4BC=L，bsinC=—AcsinA=-ocsinB

222

S=L*(a+6+c)(/*為三角形的內(nèi)切圓半徑)

三角形

的面積0------------------------------------------------

公式

三角形內(nèi)角和定理在AMC中，A+B+C=n.變形：

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

角

三(l)sin(-4+8)=sinC(2)cos(-4+6)=—cosC

中

形

含

隱(3)sind±?=cosl(4)cosd±^=silc

論

結(jié)

三角形中的射影定理

在5c中，，=bcosC+ccos笈3=acosC-bccosAc=3cosA4-acosB

考點(diǎn)一正余弦定理的選擇

【例1】根據(jù)下列條件進(jìn)行求解

(1).(2021云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考)在AASC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為若匕=2近，

c=l,A=45。，貝lja=

(2)(2021?山西?晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校高一月考(理))在三角形ABC中，A8=5,AC=7,3C=8,則WC

大小為___________

⑶(2021?甘肅?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高一期末)在，ABC中，若a=50,c=lO,A=3O,則3=

(4)(2021?廣東?東莞市光明中學(xué)高一月考)在‘ABC中，已知A=6。。，b=4,c=5,貝l]sin3=

【答案】⑴逐⑵￡(3)15°或105(4)組

37

【解析】(1)由余弦定理得〃+。2—2/?ccosA,=8+1—2x2A/2X=5,所以

2

AB2+BC2-AC225+64-491jr

⑵因?yàn)閏os/A5C=所以NA5C=§,

2ABBC2x5x82

小\,。c/口.「csinA10sin30°v2、仁)—一4「c一小工

(3)由一得sinC=--------=———=J,因?yàn)閏>a,所以C>A,又C為二角形內(nèi)角

sinAsmCa5,22

所以C=45?；?35。，由內(nèi)角和為180?？傻?=105?；?=15。

(4)在，ABC中，己知4=60。，6=4,c=5

由余弦定理可知°=742+52-2X4X5COS60°=后

ab,即3L=，，解得$皿2=空故答案為：巫

再利用正弦定理

sinAsinBsin60°sinB77

【一隅三反】

1.（2021?山西?晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校）在三角形ABC中，AB=5,AC=7,5c=8,則NABC大小為()

.2兀

A.—c4

3

【答案】C

【解析】在三角形ABC中，AB=5,AC=7,BC=8,

AB2+BC2-AC252+82-721

由余弦定理得：cosZABC=

2ABxBC2x5x82

因?yàn)镹ABCe（O,乃），所以=g.故選：C

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在△/及7中，若a=3,加6,嗎，則角c的大小為（)

.兀71

A.-B.

64

【答案】D

b_.扁吟

【解析】由正弦定理三-；.—八，得sin廬Z?sinA1.

sinAsmB

a32

7T7171

因?yàn)閍>6,所以所以廬七,所以華“?故選心

636

3.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）已知.ABC中，內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別。也。，若4=1,6=2,sinA=1,

O

則sinB=()

A-1，?iD-1

【答案】B

ab2xl

【解析】在.ABC中，由正弦定理得：sin8=06」.故選：B.

sinAsinB

a13

TT

4.（2021?天津紅橋?高一學(xué)業(yè)考試）在ABC中，若BC=2AC=2,ZA=1,則/廬()

71

A.

~2B-7

71

C.71D.-

64

【答案】c

2A/32

ab

【解析】在ABC中，BC=2^3,AC=2,ZA=y,由正弦定理可得，即.》sin2，解

sinAsinBsin—

3

得sinB="因?yàn)?儀0,乃），所以3=2或8=竺，又a>b,所以A>B,所以3=￡；故選：C

2666

5.（2021?新疆?新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）在.ABC中，若a=5應(yīng),c=10,A=3O。，則8等于（）

A.105°B.60°或120°C.15°D.105°或15°

【答案】D

【解析】由題知：上度=旦，所以sinC=包，

sin30sinC2

又因?yàn)?。<。<180,c>a,所以C=45或135.所以5=105或15.故選：D

6.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在回中，a,b,c分別為角4B,。的對(duì)邊，若。=60°,a=5,方=8,

則△/回的周長(zhǎng)為（）

A.20B.30C.40D.25

【答案】A

【解析】根據(jù)余弦定理，c=a+!j-2aZ7cosC=:512+82-5X8=49,所以c=7則△力氏7的周長(zhǎng)為20.故選：A.

考點(diǎn)二邊角互換

【例2】⑴（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）在△Z8C中，若sin/usin?班sin2G則NZ=（）

A.45°B.75°C.90°D.60°

（2）.（2021?吉林?延邊二中高一期中）在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,。，若

62（sinA-sin+Z?sinB=csinC,則角C的大小為（）

A.—B?9C.D.-7i

3636

3

⑶（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在△/夕。中，角的對(duì)邊分別為2。，作24cosA=-,則一c的值為（）

4a

13

A.2B.—C.—D.1

22

（4）（2021?貴州師大附中高一月考）已知ABC的內(nèi)角4B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,若

2bcosB=41acosC+V2ccosA，則/B=

TT

【答案】⑴c⑵A⑶C⑷了

【解析】（1）由正弦定理知，三b_c

sinBsinC

2222

VsinJ=sin^-sinG/.a=t^+c9即N4=90。.故選：C.

(2)解：在ABC,因?yàn)閍(sinA-sin5)+Z?sin3=csinC,

222

由正弦定理可化簡(jiǎn)得a(a—b)+/=/,gpa+b-c=ab,

由余弦定理得cosC=《i^^=L,因?yàn)镃e(O,7),所以c=&,故選：A.

lab23

/c、f十4日csinCsin2A2sinAcosA_33八

(3)由正弦定理，得一=----=-----=----------2cos4=2又一=一.故選：C

asinAsinAsinA42

(4)H2Z?cosB=s/2acosC+-JlccosA,

由正弦定理可得2sinBcos3=V2(sinAcosC+sinCcosA)=^sin(A+C),

因?yàn)锳+C=?—B,可得sin(A+C)=sin(?—3)=sinB,所以2sin5cos3=0sinB，

又因?yàn)?w(0,7r),可得sin3>0,所以cos2=變，所以3=f.故答案為：

244

【一隅三反】

1.(2021?新疆新源?高一期末)已知。也c是一ABC三邊長(zhǎng)，若滿足(a+0-c)(a+Z;+c)="，則NC=(

A.120B.150C.60°D.90°

【答案】A

【解析】+/?+(?)=d!2+2tz/?+Z?2—c2=ab,BPa2-^-b2-c2=—ab?

cr+bc

e=~~'CG(0,^),所以NC=120.故選：A

cos2ab2''

2.(2021?重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考)在,ABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為。，6,c,若/=廿+!,

4

r,acosB,,，一、1/、

則------的值為()

C

A.-B.-C.-D.-

4848

【答案】B

a2+c2-b2

【解析】由題意，結(jié)合余弦定理acosB"2ac片十。?.?

CC2c2

又/二82+.../一。2=J_02acosBa2+c2-b2~^c5故選：B

44丁直

3.(2021?福建州科技中學(xué)高一月考)已知在，ABC中，內(nèi)角46,C的對(duì)邊分別是a",c,且/-〃=瓜

sinC=2&nB，則A=()

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】A

【解析】由sinC=26sinB得：c=2揚(yáng)，所以a2-b1=#>bc=m-2幣b1,即片=7好，

?.+c~—a~b~—1b~V3d、匚匚…“兀

則ncosA=--------------=---------——=—,又Ae（O,%）,所以A=二.故選：A.

2bc46b226

4（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，6,J若（4+c?-〃，曲8二島。,

則角B的度數(shù)為一.

【答案】60或120##120或60

【解析】由余弦定理可得/+c?-尸=2accos3,

因?yàn)椋╝?+c?一廿卜犯臺(tái)二所以2accosB?必”■=,所以sinB=立，

''cosB2

因?yàn)?<3<180,所以3=60或120,故答案為：60或120.

考點(diǎn)三三角形的面積

【例3】（1）（2021?江西?南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一月考（文））在鈍角.ABC中，已知42=退，AC=1,

ZB=30°,貝UABC的面積是（）

A.@B.昱

24

（2）（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在，5c中,內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=1,B=45°,S=2,

則ABC的外接圓直徑為（）

A.4AB.60C.5A/2D.672

【答案】（1）B（2）C

1

【解析】（1）由正弦定理,=>sinC=

sinCsin30°2

若C=60。，則ABC為直角三角形，不合題意；

所以C=120。，則4=180。一120。-30。=30。，所以S.A8C=Lx6xlxsin30。=立.故選：B.

24

⑵在，ABC中，a=l,B=45°,SABC=2,

所以SARC=—acsinB=—xlxcx^^-=2,解得：c-4^/2.

■ABC222

由余弦定理得：=a2+c2-2accosB=l2+（4^）2-2xlx4V2x^=25,WW：左5.

i2R_5_

設(shè)/ABC的外接圓半徑為凡由正弦定理得：一^=2H,所以，直徑為飛一.故選：C

sinB——

2

【一隅三反】

1.（2021?山西?晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校）在qABC中，a=2,b=5C=30。,貝U"C的面積是（）

A.-B.3C.3D.73

222

【答案】B

【解析】根據(jù)三角形的面積公式得S」°bsinC」x2x出xsin30=走.故選：B

222

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在△/比■中，AB=2,BO5,△/比1的面積為4,貝Ucos//比1等于（）

3332

A.-B.±-C.—D.±-

5555

【答案】B

【解析】S=^AB*BC*sinZABQ得4=gX2X5sinNZ8C,

43

解得sinNZ8信不，從而cosN/%=±y.故選：B

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）△/■的三個(gè)內(nèi)角/、B、。的對(duì)邊分別是不b、c,若△/回的面積是66,

7T

B=—,a=2c,則6=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)椤鞔–的面積是60，B=—,a=2c,

所以66=-acsinB=-x2cxcx—,解得c=2\/3,可得。二4小，

222

由余弦定理可得b==/48+12-2x46x2如xg=6.故選：C.

4.（2021?山東省濰坊第四中學(xué)高一開學(xué)考試）三角形兩邊長(zhǎng)分別是8和6,第三邊長(zhǎng)是一元二次方程

/-8k20=0一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該二角形的面積是（）

A.24B.48C.24或8君D.8石

【答案】A

【解析】由*-8『20=0解得：X=10或X=—2.

因?yàn)槿切蔚牡谌呴L(zhǎng)是一元二次方程7-8^-20=0一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以第三邊長(zhǎng)是10.

又因?yàn)槿切蝺蛇呴L(zhǎng)分別是8和6,所以62+82=102,所以三角形是直角三角形，其中直角邊為6和8,

所以三角形的面積為gx6x8=24.故選：A.

考點(diǎn)四判斷三角形的形狀

【例4】（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在ABC中，^ABBC+AB2=0,貝憶例。的形狀一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】因?yàn)?AB，=0，所以accosO-B）+c2=0,

?22,2

2

所以4CCOSB=，，所以acx---------=c,

lac

所以/+。2=合，所以三角形是直角三角形.

故選：B

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在3ABe中，角A,況C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S,b2+c2=a2+bc,bc=a2,

則ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】因序+/=/+6c,6c=/,貝!I有"+c2=26c,即（6-c）2=0,可得6=c,此時(shí)/二片，有a=b,

所以ABC是等邊三角形.故選：C

2（2021?內(nèi)蒙古包頭?高一期末）ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cos20=",則ABC的

22a

形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】由==等再由余弦定理得:11a2+b2-c2a+b722

—+—X-------------=>Z?+c二a

22lab2a

故三角形為直角三角形故選：A

3.（2021硼北?大冶市第一中學(xué)高一月考）設(shè)△相。的內(nèi)角48。所對(duì)的邊分別為a",c,且滿足如Me）（界8

—O=3ab,2cos/sin廬sinG則比1是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】D

222

［解析］由（〃+b+c）（〃+b—c）=3而有a+b-c=ab,

a2+b2-c2ab_1

由余弦定理有:cosC=

lablab2

TT

又角0<C<?,所以c=§.

又2cosAsinB=sinC,即2cosAsinB=sin(A+B),

所以2cosAsin5=sinAcosB+cosAsinB

則cosAsinB-sinAcosB=0,即sin(A-B)=0,

2萬(wàn)27r

所以A-B=0,

即A=3,故為&ABC等邊三角形.

故選：D

考點(diǎn)五三角形個(gè)數(shù)的判斷

【例5】（2021?四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高一期中（理）），ABC中，已知下列條件：@b=3,c=4,B=30；②

a=5,b=8,A=30；③c=6）=30.2=6。；@c=9,b=U,C=60.其中滿足上述條件的三角形有兩解的是

A.①④B.①②C.①②③D.③④

【答案】B

342

【解析】①b=3,c=4,B=30,所以sinC=；＞sin30,故滿足條件的角。有2個(gè)，一個(gè)

sin30sinC3

為銳角，另一個(gè)為鈍角，三角形有兩解；

584

②a=5,b=8,A=30,^――=--,所以sin3==＞sin30,故滿足條件的角夕有2個(gè)，一個(gè)為銳角，

sm30smB5

另一個(gè)為鈍角，三角形有兩解；

③c=6,6=3石,8=60,得￡L=-^_,所以sinC=l,C=g,故三角形有一解；

sin60sinC2

④c=9,6=12,C=6。，得—k=g，所以sinB=2叵＞1,所以8不存在，故三角形無(wú)解；故選：B

sin60sinB3

【一隅三反】

L（2021.貴州?威寧民族中學(xué)高一月考）在中‘角A‘8,C所對(duì)的邊分另炳o,b,0,若-%

。=5,c=10,則滿足條件的ABC的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)多個(gè)

【答案】A

1n0

【解析】由正弦定理三lOx——

可得sinC=2工____2

smAsinC=母'

a5

所以角C不存在，滿足條件的ABC的個(gè)數(shù)為0,故選：A.

2.（2021?廣東?鐵一中學(xué)高一月考）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（）

A.。=81=16,NA=3O。，有兩解B.〃=18,c=20,/B=60。，有唯一解

C.a=5,6=2,ZA=90。，無(wú)解D.a=3O,b=25,ZA=150。，有唯一解

【答案】D

【解析】選項(xiàng)A,Z?sinA=16sin30°=8=a,sinB=l,3=90。，只有一解，A錯(cuò);

選項(xiàng)B,csinB=20sin60°=10^/3<b<c>有兩解，B錯(cuò)；

選項(xiàng)C,豆113=竺以=和"=：<1,8為銳角，有唯一解，C錯(cuò)；

a55

.cZ?sinA25sin150°5口?"十”

選項(xiàng)D.sinB=-----=---------=—,8是銳角，有唯一解.D正確.

a3012

故選：D.

3.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知a,b,c分別為一ABC的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，

ZC=45°,c=^,a=x,若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的值可能為（）

A.1B.1.5C.1.8D.2

【答案】BC

ac,口?AasinCxsin451

【解析】在ABC中，由正弦定理一=得，sinA=-----=-

smAsmCc422

因滿足條件的三角形有兩個(gè)，則必有Ae（45,135）,且Aw90，即正<sinA<l,

2

于是得二解得應(yīng)<x<2,顯然x可取1.5,1.8.故選：B

22

考點(diǎn)六最值問題

【例6】⑴（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,3,a,則a的范圍是（）

A.（2,4）B.（2.5,3.5）C.（272,V10）D.（2五,4）

（2）（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）設(shè)，ABC的內(nèi)角ABC所對(duì)的邊分別為。也c,b=也,

（2a-c）cos5=73cosC,則ABC面積的最大值是

【答案】（i）c⑵空

4

【解析】（1）設(shè)角對(duì)應(yīng)的邊為1,3,〃，

1_|_Q_Z72._

當(dāng)。是最大邊時(shí)，cosC=------->0,所以

2x1x3

當(dāng)。不是最大邊時(shí)，COSB=>。,所以2行<。<3,所以。的取值范圍是（20,J市），故選：C.

"2X-1X9Q

(2)b=K，.'.(2a—c)cosB=bcosC

由正弦定理得：(2sinA-sinC)cos5=sin5cosC,

2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

]7T

AG（0,^-）,「.sinAwO,/.cosB=—,又5?0,萬(wàn)），B=—；

a2c23

由余弦定理可得：l=+-,即/+。2=3+農(nóng)22或（當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào)），

2lac

:.ac<3,:.SABC=-acsinB<—,即ABC面積的最大值為更.

ABC244

故答案為：也

4

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在ABC中，角4B,C對(duì)邊分別為&b,c,若酢匕+bc,