【題型歸類大全】2023年高考一復(fù)習(xí)學(xué)案（理科數(shù)學(xué)）考點03：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

【題型歸類大全】2023年高考一復(fù)習(xí)學(xué)案(理科數(shù)學(xué))

考點03：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

［考綱傳真］

1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非的含義.

2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

［課程標(biāo)準(zhǔn)］

常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，是邏輯思維的

基本語言。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用常用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，

體會常用邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性。

內(nèi)容包括：必要條件、充分條件、充要條件，全稱量詞與存在

量詞，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定。

(1)必要條件、充分條件、充要條件

①通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系。

②通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系。

③通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系。

(2)全稱量詞與存在量詞

通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義。

(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定。

②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定。

［命題分析］

高考對常用邏輯用語考查的頻率較低，且命題點分散，其中含有量詞的命題的否定、

充分必要條件的判斷需要關(guān)注，多結(jié)合函數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等內(nèi)容

命題.

［題型歸類］

1.利用邏輯聯(lián)結(jié)詞來表示命題的關(guān)系

2.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

3.邏輯聯(lián)結(jié)詞與邏輯推理問題

4.根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍

5.全稱命題、特稱命題的真假判斷

6.全稱命題、特稱命題的否命題

7.全稱命題、特稱命題與充要條件綜合問題

題型一：利用邏輯聯(lián)結(jié)詞來表示命題的關(guān)系

?例1（2013?湖北高考）在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題p是''甲降

落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定

范圍”可表示為（）

A.（非p）V（非q）B.JDV（非（?）

C.（非p）A（非q）D.似q

解析：選A命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、

乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指

定范圍，甲沒有降落在指定范圍”.選A.或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范

圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“pAg”的否定.

?例2在一次跳高比賽前，甲、乙兩名運動員各試跳了一次.設(shè)命題0表示“甲的試跳成績

超過2米”，命題q表示“乙的試跳成績超過2米”，則命題p\Jq表示

（）

A.甲、乙兩人中恰有一人的試跳成績沒有超過2米

B.甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績沒有超過2米

C.甲、乙兩人中兩人的試跳成績都沒有超過2米

D.甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績超過2米

解析：因為命題p表示“甲的試跳成績超過2米”，

命題。表示“乙的試跳成績超過2米”，

所以命題pVg表示''甲、乙兩人中至少有一人的試跳成績超過2米”，故選D.

題型二：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

知識與方法

1.命題。八久似q、rp的真假判定

PQpNq似q

真真真真

真假真般

假真假真真

假[來

假假假X

et]

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系

“且”“或”“非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合中的“交”“并”“補”.

判斷“夕八/'、"儀d，、“「0”形式命題真假的步驟

(1)準(zhǔn)確判斷簡單命題小q的真假；

(2)根據(jù)真值表判斷"pt\q"、"似"'、“「0”命題的真假.

?例1(2011?北京高考文科?T4)若p是真命題，q是假命題，則()

(A)是真命題(B)pvq是假命題(C)是真命題(D)r是真命題

解析：選D.為假，pvq為真,-p為假，r為真.

?例2(2014?青島模擬)給出下列兩個命題，命題々尸In[(l-x)(l+x)]為偶函數(shù)；命

1---V

題R：y=lnQ為奇函數(shù)，則下列命題是假命題的是()

A.px/\p,B./?,V(->A)

C.PIVAD.RA(-IR)

1—V

解析：由題意知，夕=1成(1一X)(1+X)]與/=皿=的定義域均為(—1，1),對于函

71I.A

數(shù)=ln[(l-A),(1+x)],/1(—x)=ln[(l+x)(1—x)]=f(x),即y=ln[(l—A-)(1

1—v1-4-V

+x)]為偶函數(shù)，命題n為真命題；對于函數(shù)g(x)=lnH，g(—x)=l%一=-g(x),

1十X1-X

1—x

即y=lnh是奇函數(shù)，命題R是真命題，故nA(「R)為假命題.

1IX

?例3(2014?嘉興模擬)已知命題0：拋物線y=2V的準(zhǔn)線方程為夕=一]命題若函數(shù)

f(x+l)為偶函數(shù)，則/'(*)關(guān)于x=l對稱.則下列命題為真命題的是()

A.p/\qB.p\J("<?)

C.(rp)A(rq)D.pVq

解析：選D拋物線y=21,即的準(zhǔn)線方程是y=—：；當(dāng)函數(shù)F（x+1）為偶函

數(shù)時，函數(shù)f（x+l）的圖象關(guān)于直線x=0對稱,故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱（注：

將函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個單位長度可得到函數(shù)f（x+l）的圖象），因此命題p是假命

題，q是真命題，pt\q、KJd、八（"）都是假命題，pVq是真命題.

?例4已知命題p：mx°WR,X。一2>lg吊，命題q：VxCR,e*>l,則（）

A.命題是假命題B.命題夕Aq是真命題

C.命題。八（非q）是假命題D.命題pV（非q）是真命題

解析：選D對于命題,：例如當(dāng)?shù)?10時，8>1成立，故命題。是真命題；對于命

題（7：VxdR,er>1,當(dāng)x=0時命題不成立，故命題q是假命題，.,.命題（非Q）是真

命題.故選D.

題型三：邏輯聯(lián)結(jié)詞與邏輯推理問題

知識與方法

>例1對于中國足球參與的某次大型賽事，有三名觀眾對結(jié)果作出如下猜測：甲：中

國非第一名，也非第二名；乙：中國非第一名，而是第三名；丙：中國非第三名，而是第

一名.競賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，則中國足球得了第

________名.

解析：由已知可得，甲、乙、丙均為“0且/形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命

題”，即只有一個為真，所以可以知道丙是真命題，因此中國足球隊得了第一名.

?例2

解析：

?例3

解析：

?例4

解析：

題型四：根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍

知識與方法

根據(jù)命題的真假性求參數(shù)的方法步驟

(1)求出當(dāng)命題夕，q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；

(2)判斷命題0,q的真假性；

(3)根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍.

?例1已知命題0：關(guān)于x的不等式(a>0,aWl)的解集是{x|xVO},命題q：

函數(shù)y=lg(af—x+a)的定義域為R,如果夕Vq為真命題，pAg為假命題，則實數(shù)a的取

值范圍為.

解析：由關(guān)于x的不等式a*>l(a>0,a#l)的解集是{x|xVO},知0<a<l；

由函數(shù)y=lg(ax?—x+a)的定義域為R,知不等式a^—x+a>Q的解集為R,則

a>0,

解得

1—4才VO,

因為夕Vq為真命題，0Aq為假命題，所以。和q—真一假，即“0假q真”或“。真

。假”，

'aWO或'0<aVl,

即aG(0,-U[1,+°°).

故<1或<,1

嘵,〔吟，

答案：(o,jU[1,+oo)

L1

-2，葉那.如

>例2已知c>0,設(shè)命題p-.函數(shù)y=c*為減函數(shù)，命題<?：VxG

2J

一

果pVq為真命題，0八9為假命題，求實數(shù)c的取值范圍.

解析：解：若命題P為真，則OVc<L

若命題q為真，則c<f%+Alin,

_1

^-215

又當(dāng)xe-z時，2t+『5,

一

則必須且只需2>c,即c<2.

因為pVq為真命題，0/\g為假命題，

所以0、g必有一真一假.

0<c<l,

當(dāng)P為真，q為假時，無解；

、c—2,

當(dāng)夕為假，。為真時，7。所以1WCV2.

、2,

綜上,c的取值范圍為［1,2).

??例3已知命題p：VxG[1,2],x—a20,命題q：3AI>GR,/+2且苞+2—a=0.若"p

且々”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：由“P且為真命題，得p,q都是真命題.

P-.V2a在［1,2］上恒成立,只需(V)min=l,

所以命題RaWl；

q：設(shè)/'(x)+2ax+2—a,存在x()eR使/'(荀)=0,

只需4=4才一4(2—a)20,

即,a'+a—220=a2l或aW—2,

所以命題<7：a2l或aW—2.

aWl,

得a=l或2.

a21或aW—2,

故實數(shù)a的取值范圍是(,一8,-2］U{1}.

?例4已知命題0：方程系+勿*+1=0有兩個不等的負(fù)實數(shù)根；命題q：方程4V+4(加一2)x

+1=0無實數(shù)根.若“。或/為真命題，“夕且/’為假命題，求力的取值范圍.

/i=/—4>0,

解析：由0得：'則

—m<Q,

由q得:4=16(加一2)2—16=16(病一4勿+3)<0,

則1<^<3.

又?；“P或q”為真，“。且(?”為假，二。與q一真一假.

/〉2,

①當(dāng)Q真q假時,解得力23；

jnW1或勿N3,

加W2,

②當(dāng)。假q真時，解得1〈婷2.

二勿的取值范圍為r23或1<辰2.

題型五：全稱命題、特稱命題的真假判斷

知識與方法

2.全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“匕”表示；存在量詞有：存

在一個，至少有一個，有些，用符號“工”表示.

⑵含有全稱量詞的命題，叫做全.稱命題.“對〃中任意一個x,有夕(x)成立”用符

號簡記為：VxGM,0(x).

(3)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.“存在"中元素即使0(冬)成立"用符號

簡記為：mXoGM,0(苞).

全(特)稱命題問題的常見類型及解題策略

(1)全(特)稱命題的真假判斷.①要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合

中的每個元素X驗證p(x)成立，但要判斷一個全稱命題為假命題，只要能舉出集合〃中的

一個使得夕(曲)不成立即可.

②要判斷一個特稱命題為真命題，只要在限定的集合〃

中，找到一個使0(%)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.

?例1(2010?湖南高考理科?T2)下列命題中的假命題是()

(A)VxeR,2i>0(B)VxeN*,(x—lf〉0

(C)3xe/?,lgx<l(D)3XG7?,tanx=2

解析：選B：2i>0,,xWR,，A是真命題.又???(XT)?>。，,xeR且xWl,而

1WN*,；.B是假命題.又lgx<l,...(XxOO,，C是真命題.又?.?y=tanx的值域為R,...D

是真命題.

?例2.下列命題中的真命題是().

3

A.3xWR,使得sinx+cosx=.

乙

B.VxC(0,+°°),ex>x+l

C.3xC(—8,o),2x<3x

D.VxG(0,n),sinx>cosx

解析：因為sinx+cosx=^/2sin^x+—故A錯誤；當(dāng)x<0時，y=2x的圖

象在y=3x的圖象上方，故C錯誤；因為xe(o,了)時有sinx〈cosx,故D錯誤.所

以選B.

■?例3寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(l)q:VxWR,x不是5xT2=0的根；

(2)r:有些素數(shù)是奇數(shù)；

(3)s:3X0GR,|x0j>0.

解析：(l)->q：3x0GR,xO是5xT2=0的根，真命題.

(2)-1r:每一個素數(shù)都不是奇數(shù)，假命題.

(3)-?s:VXGR,|x|W0,假命題.

?例4下列命題中的真命題是().

3

A.3xCR,使得sinx+cosx="

乙

B.Vx￡(0,+°°),ex>x+1

C.3x￡(—8,0),2x<3x

D.VxG（0,“），sinx>cosx

解析因為sinx+cosx=4^sin（x+Vw隹<T，故A錯誤；當(dāng)x<0時，y=2x的圖

象在y=3x的圖象上方，故C錯誤；因為xe（0,時有sinx〈cosx,故D錯誤.所

以選B.

題型六：全稱命題、特稱命題的否命題

知識與方法

2類否定一一含有一個量詞的命題的否定

（1）全稱命題的否定是特稱命題：全稱命題P-.VXWM,p（x）；rp：mrp（X。）.

（2）特稱命題的否定是全稱命題：特稱命題夕：3XQGM,0（吊）；r〃：v-px）.

（2）全（特）稱命題的否定.全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否

定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為

全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

?例1（2012?湖北高考）命題X°W[RQ,的否定是（）

A.3的住CRQ,B.3%GCRQ,施Q

C.V廨[RQ,/GQD.VxWjQ,—

解析:特稱命題的否定是全稱命題.FX°G[RQ,總GQ”的否定是“VxG-Q,系栽”.D

?例2.已知命題0：3Ab^O,2^o=3,則（）

A.非p：Vx<0,2V3

B.非p：Vx?0,2」#3

C.非p：3Xo2O,2Ab#3

D.非p：3.VO,2荀W3

解析：選B因為命題p：m吊20,2m=3為特稱命題，所以非0：x?O,2v#3.

A例3（2012?遼寧高考）已知命題0：Vx},蒞6*（￡（吊）一/'（不））（為一X1）20，則非夕

是()

A.3xx,為WR,(F(而)-f(xj)(及一才|)WO

B.Vxx,涇GR,(A%)—Ax))(也一Xi)WO

C.3Xt,X2WR，(A%)—f(x))(用一Xi)<0

D.VXi?吊GR,(A%)—f(xi))(也一不)<0

解析：題目中命題的意思是“對任意的無，及GR，(￡(&)一/'(%))(為一的20都成

立”，要否定它，只要找到至少一組茍，如使得(/?(蒞)一/1(%))(也一幻<0即可，故命題

"V.為，X2eR,(/(尼)-F(X1))(*2—"1)20"的否定是‘TX1,X2WR，(『(1)—f(xj)(尼

一小)〈0”.

?例4(2010咬徽高考理科?T11)命題“對任何xeR,上一2+卜-4]>3,,的否定是.

解析：“任何”改為"存在”，改為""，即“存在xeR,|x-2|+次-4區(qū)3

題型七：全稱命題、特稱命題與充要條件綜合問題

?例1若函數(shù)M,g(x)的定義域和值域都是R,則f(x)>g(x)(x±R)成立的充要條

件是()

A.3場WR,F(xo)>g(x(>)

B.有無窮多個x￡R,使得f(x)>g(x)

C.VxeR,f(x)>g(x)+l

D.R中不存在x使得/'(x)Wg(x)

解析：選D由于要恒成立，也就是對定義域內(nèi)所有的x